资源简介

期中 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[山东省东营市期末]下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是(　　)
2．在下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是(　　)
A．∠C＝∠B－∠A B．a2＝(b＋c)(b－c)
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5
3．两根木棒的长度分别是5 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有(　　)
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
4．如图，在△ABC中，∠A＝68°，点D为BC的中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接CE，CF平分∠ACE，交DE的延长线于点F，则∠F的度数为(　　)
A．31° B．54° C．41° D．34°
(第4题) (第5题)
5．如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8 cm，BC＝10 cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则线段CE的长为(　　)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
6．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，若EM和FN分别垂直平分AB和AC，垂足分别是E，F，M，N都在BC边上，且EM＝FN＝1，则BC的长度为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
(第6题) (第7题)
7．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6，DF＝2，则S△AEF＝(　　)
A．6 B．15 C．12 D．30
8．如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝4，已知CD＝5，P是直线MN上的一个动点，记PA＋PB的最小值为a，|PA－PB|的最大值为b，则a2－b2的值为(　　)
A．128 B．194 C．210 D．144
(第8题)　(第9题)
9.如图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4.若按照图①至图③的规律设计图案，则在第n个图中所有等腰直角三角形的面积和为(　　)
A．4n B．8n C．4n D．32
10．如图，AD，CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于点G，AE平分∠CAD交BC于点E，交CF于点M，连接BM交AD于点H，
且BM⊥AE.有下列结论：①AF＝BF；②BC＝BH＋2MH；③∠EMF＝135°；④△ABC是等边三角形；⑤S△CEM＋S△AHM＋S△AFM＝S△ABC，其中正确的结论有(　　)
A．①③⑤ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题(每题3分，共18分)
11．如图所示，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的依据是________________________．
(第11题)　(第12题)　(第13题)
12．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若OC＝8，则PD＝________．
13.已知∠AOB在正方形网格中的位置如图所示．设∠AOB的余角为θ，则∠AOB________θ.(填“>”“<”或“＝”)
14．[黄冈中学自主招生]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC内部，且满足∠ACD－∠BCD＝2∠DAB，若△BCD的面积为18，则CD＝________．
(第14题)(第15题)　　(第16题)
15．如图，圆柱的底面半径为2 cm，高为9π cm，A，B两点分别在圆柱两个底面的圆周上，且在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，棉线最短需要________cm(结果保留π)．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在边BC上，△ABD，△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交边BC于点G，连接FG，∠BAD＝θ，当θ的值等于________时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．
三、解答题(共72分)
17．(8分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，∠α，直线l及l上两点A，B.
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α.
18．(8分)如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
(1)若△ABC的面积为80，BD＝10，求AF的长；
(2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．
19．(8分)[山东省烟台市期末]如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2＝13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米，为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M(只需作图，不需要证明)；
(2)经预算，修建水厂需30万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
20．(10分)庆庆家附近有一条东西走向的公路(AB)，一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从点B开始沿BA所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离(AC)为400 m，与这辆宣传车的起始位置B的距离(BC)为300 m，且∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为260 m的圆形区域内会听到宣传车的声音．
(1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离．
(2)若这辆宣传车的行驶速度为25 m/min，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？
21．(10分)[山东省泰安市期末]如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，BE平分∠DBC，AC与BD交于点F，AE与BD交于点M.
(1)请说明：△DBE≌△CBE；
(2)求∠BDE的度数；
(3)若BD⊥AC，试判断△AEB的形状，并说明理由．
22．(12分)如图，已知等边三角形ABC，∠ACP＝α(0°<α<60°)，点A与点D关于射线CP对称，线段AD，BD分别交CP于点E，F.
(1)求∠DBC的大小(用含α的式子表示)；
(2)连接AF，求∠AFB的度数；
(3)探究线段AF，BD，CF之间的数量关系．
23．(16分)“一线三等角”学习探究．
“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形(以及以后要学习的相似图形)，这个角可以是直角(此时也称“一线三垂直”模型)，也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”．
(1)如图①，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥直线l，BE⊥直线l，垂足分别为点D，E.试说明：△ADC≌△CEB.
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点都在直线l上，并且有∠ADC＝∠ACB＝∠CEB＝α，其中α为任意锐角或钝角，则△ADC与△CEB是否全等？若仍全等，请你给出说明；若不全等，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图③，D，E是D，C，E三点所在直线l上的两动点(D，C，E三点互不重合)，点F为∠ACB的平分线上的一点，且△ACF和△BCF均为等边三角形，连接AD，BE.若∠ADC＝∠ACB＝∠CEB，试猜想DF与EF的关系，并说明理由．
答案
一、1.D　2.C　3.B　
4．D 【点拨】因为在△ABC中，∠A＝68°，所以∠B＋∠ACB＝112°.由题意可得DE垂直平分BC，所以BE＝CE，∠FDC＝90°，所以∠B＝∠BCE.因为CF平分∠ACE，所以∠ACF＝∠ECF.所以∠BCE＋∠ECF＝∠B＋∠ACF＝(∠B＋∠ACB)＝56°，即∠DCF＝56°，所以∠F＝90°－56°＝34°.
5．A 【点拨】由题意得AD＝BC＝10 cm，CD＝AB＝8 cm，∠B＝∠C＝90°.因为将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，所以AB＝AB′＝8 cm，BC＝B′C′＝10 cm，CE＝C′E，∠B′＝∠B＝90°，∠C′＝∠C＝90°.所以B′D＝6 cm，所以C′D＝B′C′－B′D＝4 cm.因为DE2＝C′D2＋C′E2，所以DE2＝16＋(8－DE)2，所以DE＝5 cm，所以CE＝3 cm.
6．B 【点拨】因为在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，所以∠B＝∠C＝＝30°.因为EM和FN分别垂直平分AB和AC，所以BM＝AM，CN＝AN，∠BEM＝∠CFN＝90°，所以∠MAB＝∠B＝30°，∠CAN＝∠C＝30°，所以∠MAN＝60°.因为EM＝FN＝1，所以BM＝2EM＝2，CN＝2NF＝2，所以AM＝BM＝2，AN＝CN＝2，所以△AMN为等边三角形．所以MN＝AM＝2，所以BC＝BM＋CN＋MN＝6.
7．B 【点拨】作AH⊥AE交CD的延长线于点H，如图．因为∠HAE＝∠BAD＝90°，所以∠HAD＝∠BAE.又因为∠ADH＝∠ABE＝90°，AD＝AB，所以△ADH≌△ABE.所以AH＝AE，DH＝BE.因为∠EAF＝45°，所以∠BAE＋∠DAF＝45°，所以∠HAD＋∠DAF＝45°.所以∠HAF＝45°＝∠EAF.又因为AF＝AF，所以△AHF≌△AEF.所以EF＝HF.设DH＝BE＝x，则EF＝HF＝2＋x，CE＝6－x.因为CF＝CD－DF＝AD－DF＝4，
所以(2＋x)2＝42＋(6－x)2，解得x＝3.所以S△AEF＝S△AHF＝×(3＋2)×6＝15.故选B.
8．A 【点拨】如图①，作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，此时PA＋PB最小，线段A′B的长为PA＋PB的最小值．过点A′作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.因为AC＝8，BD＝4，CD＝5，所以易得BE＝8＋4＝12，A′E＝CD＝5，所以a2＝A′B2＝169.如图②，连接AB并延长交MN于点P′.因为P′A－P′B＝AB，AB≥|PA－PB|，所以当点P运动到P′时，|PA－PB|有最大值．过点B作BF⊥AC于点F，易得BF＝CD＝5，AF＝AC－BD＝8－4＝4，所以b2＝AB2＝41.所以a2－b2＝128.故选A.
　　
9．A 【点拨】设题图①中等腰直角三角形的直角边长为a，题图②中最小的等腰直角三角形的直角边长为b，题图③中最小的等腰直角三角形的直角边长为c，在题图①中，因为正方形的边长为4，所以a2＋a2＝42，所以a2＝8，所以题图①中，等腰直角三角形的面积为a·a＝a2＝4；由题图②，易知b2＋b2＝a2，即2b2＝8，所以b2＝4，所以题图②中三个等腰直角三角形的面积和为a2＋b2＋b2＝4＋2＋2＝8；由题图③，易知c2＋c2＝b2，即2c2＝4，所以c2＝2，所以题图③中共计7个等腰直角三角形的面积和为a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋c2＋c2＝4＋2＋2＋1＋1＋1＋1＝12；….由此推理，第n个图中所有等腰直角三角形的面积和为4n.故选A.
10．A 【点拨】如图，因为AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90°，所以∠ACB＋∠CAD＝90°.因为CF平分∠ACB，AE平分∠CAD，所以∠1＝∠2＝∠ACB，∠3＝∠4＝∠CAD，所以∠1＋∠3＝∠ACB＋∠CAD＝(∠ACB＋∠CAD)＝×90°＝45°，
所以∠AMC＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－45°＝135°，所以∠EMF＝∠AMC＝135°，故③正确；
因为∠ADC＝90°，BM⊥AE，
所以∠5＋∠BHD＝90°，∠4＋∠AHM＝90°.
因为∠BHD＝∠AHM，所以∠5＝∠4＝∠3.
在△ACM和△BCM中，
所以△ACM≌△BCM(AAS)，所以AC＝BC.
因为CF是△ABC的角平分线，所以AF＝BF，故①正确；
根据已知条件无法判定AB＝AC或∠ACB＝60°，所以△ABC不一定是等边三角形， 故④错误；延长BM交AC于点N.
因为BM⊥AE，所以∠AMN＝∠AMH＝90°，
在△AMN和△AMH中，
所以△AMN≌△AMH(ASA)，所以MN＝MH，
所以HN＝2MH，所以BN＝BH＋HN＝BH＋2MH.
因为∠BNC＝180°－∠ANB＝∠AMN＋∠3＝90°＋∠5>90°，∠BCN＝90°－∠DAC<90°，所以BC>BN，
所以BC>BH＋2MH，故②错误；
因为△ACM≌△BCM，所以AM＝BM.在△AHM和△BEM中，
因为∠AMH＝∠BME＝90°，AM＝BM，∠4＝∠5，
所以△AHM≌△BEM(ASA)，所以S△AHM＝S△BEM.
因为△ACM≌△BCM，所以S△ACM＝S△BCM.
所以S△CEM＋S△AHM＝S△CEM＋S△BEM＝S△BCM＝S△ACM.
所以S△CEM＋S△AHM＋S△AFM＝S△ACM＋S△AFM＝S△ACF.
因为AF＝BF，所以S△ACF＝S△ABC.
所以S△CEM＋S△AHM＋S△AFM＝S△ABC，故⑤正确．
综上，正确的结论有①③⑤.
二、11.三角形具有稳定性　12.4
13．> 【点拨】如图，取格点C，连接AC，OC，设每小格的边长为1.由网格得AC2＝AO2＝5，OC2＝10，所以AC＝AO，AC2＋AO2＝OC2＝10，所以△AOC为等腰直角三角形，
所以∠AOC＝45°，所以∠AOB>45°，所以∠AOB的余角θ<45°，所以∠AOB>θ.
14．6 【点拨】如图，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，设∠BCD＝α，∠DAB＝β，所以∠ACD＝90°－α.因为∠ACD－∠BCD＝2∠DAB，所以90°－α－α＝2β，所以α＋β＝45°.因为∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA＝45°，所以∠CAD＋∠DAB＝∠CAD＋β＝45°，所以∠CAD＝α＝∠BCD.因为∠BCD＋∠ACD＝90°，所以∠CAD＋∠ACD＝90°，所以∠ADC＝90°＝∠CHB.所以△ACD≌△CBH(AAS)，所以CD＝BH.
因为△BCD的面积为18，所以CD·BH＝18，所以CD＝6.
15．15π 【点拨】圆柱的侧面展开图如图所示，将长方形AMBN平均分成3个小长方形，连接AC，EF，DB，则AC＋EF＋BD即为棉线的最短长度．
因为圆柱底面半径为2 cm，所以AM＝2π×2＝4π(cm)．因为圆柱高为9π cm，所以MC＝CF＝BF＝9π÷3＝3π(cm)．根据勾股定理得AC＝EF＝DB＝5π cm，所以AC＋EF＋DB＝15π cm.
16．28°或31° 【点拨】因为AB＝AC，∠BAC＝124°，所以∠B＝∠C＝28°.所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝152°－θ.因为△ABD和△AFD关于直线AD对称，所以△ADB≌△ADF，所以∠ADB＝∠ADF＝152°－θ，∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF.所以AF＝AC.因为AG平分∠FAC，所以∠FAG＝∠CAG.又因为AG＝AG，所以△AGF≌△AGC(SAS)，所以∠AFG＝∠C＝28°.所以∠DFG＝∠AFD＋∠AFG＝28°＋28°＝56°.①当DF＝GF时，∠FDG＝∠FGD.因为∠DFG＝56°，所以∠FDG＝∠FGD＝62°.所以∠ADG＝∠ADF－∠FDG＝152°－θ－62°＝90°－θ.因为∠ADB＋∠ADG＝180°.所以θ＝31°.②当DF＝DG时，∠DFG＝∠DGF＝56°，所以∠GDF＝180°－56°－56°＝68°.所以∠ADG＝∠ADF－∠FDG＝152°－θ－68°＝84°－θ.因为∠ADB＋∠ADG＝180°，所以θ＝28°.综上，当θ＝28°或31°时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．
三、17.【解】如图所示，△ABC为所求作的直角三角形．
18．【解】(1)因为AD是△ABC的中线，BD＝10，
所以BC＝2BD＝2×10＝20.
因为AF是△ABC的高，△ABC的面积为80，
所以BC·AF＝×20×AF＝80，所以AF＝8.
(2)因为∠BED＝40°，
所以∠AEB＝180°－∠BED＝140°.
在△ABE中，∠AEB＝140°，∠BAD＝25°，
所以∠ABE＝180°－140°－25°＝15°.
因为BE是△ABD的角平分线，
所以∠ABC＝2∠ABE＝2×15°＝30°.
因为AF是△ABC的高，所以∠AFB＝90°，
所以∠BAF＝90°－∠ABC＝90°－30°＝60°.
19．【解】(1)如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．
(2)如图，设A′A交CD于点H，过点B作PB⊥AH，
由题意可知AH＝A′H＝1千米，PH＝3千米，AB2＝13，所以PA＝PH－AH＝2千米，PA′＝PH＋A′H＝4千米．
所以BP＝3千米，
所以A′B＝5千米，
由对称性质可知AM＝A′M，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B＝5千米．
所以完成这项工程乡政府投入的资金至少为30＋5×3＋5＝50(万元)．
20．【解】(1)因为∠ACB＝90°，AC＝400 m，BC＝300 m，所以AB＝500 m.
答：监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离为500 m.
(2)如图，以点C为圆心，260 m为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，
则CE＝CF＝260 m，当宣传车在EF上行驶时，庆庆家能听到宣传车的声音．
因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
所以×400×300＝×500CD，所以CD＝240 m.
所以DE＝100 m，
所以易得EF＝2DE＝2×100＝200(m)．
因为宣传车的行驶速度为25 m/min，
所以200÷25＝8(min)．
答：庆庆家能听到8 min的宣传车声音．
21．【解】(1)因为△ABC是等边三角形，
所以AC＝BC.
因为BD＝AC，所以BD＝BC.
因为BE平分∠DBC，所以∠DBE＝∠CBE.
在△DBE和△CBE中，
所以△DBE≌△CBE(SAS)．
(2)因为△ABC是等边三角形，
所以∠ACB＝60°.
在△CBE和△CAE中，
所以△CBE≌△CAE(SSS)，
所以∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝30°，
由(1)得△DBE≌△CBE，
所以∠BDE＝∠BCE＝30°.
(3)△ABE是等腰直角三角形．理由如下：
因为BD⊥AC，所以∠AFB＝90°.
由(2)得△CBE≌△CAE，
所以∠CBE＝∠CAE.
由(1)得∠DBE＝∠CBE，
所以∠CAE＝∠DBE.
又因为∠BME＝∠AMF，
所以∠AEB＝∠AFB＝90°.
又因为EA＝EB，
所以△ABE是等腰直角三角形．
22．【解】(1)如图，连接CD.
因为点A与点D关于射线CP对称，
所以AC＝DC，∠ACP＝∠DCP＝α.
因为△ABC是等边三角形，
所以AC＝BC，∠ACB＝60°.
所以BC＝DC，∠BCD＝60°＋2α.
所以∠DBC＝∠BDC＝[180°－(60°＋2α)]＝60°－α.
(2)根据对称性可得∠FAC＝∠FDC＝∠DBC＝60°－α.又因为∠FAC＋∠AFB＝∠DBC＋∠ACB，所以∠AFB＝∠ACB＝60°.
(3)如图，在FB上截取FG＝AF，连接AG，
因为∠AFB＝60°，所以△AFG是等边三角形，
所以∠FAG＝60°.
因为△ABC是等边三角形，
所以AB＝AC，∠BAC＝60°，
所以∠BAC－∠GAC＝∠FAG－∠GAC，
即∠BAG＝∠CAF.
在△BAG和△CAF中，
所以△BAG≌△CAF(SAS)，所以BG＝CF.
又因为点A和点D关于射线CP对称，
所以AF＝FD.
所以BD＝BG＋GF＋FD＝CF＋2AF.
23．【解】(1)因为AD⊥DE，BE⊥DE，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠ECB＝90°，
所以∠DAC＝∠ECB.
在△ADC和△CEB中，
所以△ADC≌△CEB(AAS)．
(2)△ADC和△CEB全等．
因为∠ACD＋∠ADC＋∠DAC＝180°，∠ACD＋∠ACB＋∠ECB＝180°，且∠ADC＝∠ACB，
所以∠DAC＝∠ECB.
在△ADC和△CEB中，
所以△ADC≌△CEB(AAS)．
(3)DF＝EF，DF与EF所成夹角为60°.理由如下：
同(2)知∠DAC＝∠ECB.
因为△ACF和△BCF均为等边三角形，
所以AC＝CF＝BC.
在△ADC和△CEB中，
所以△ADC≌△CEB(AAS)，
所以∠ACD＝∠CBE，CD＝BE.
因为△ACF和△BCF均为等边三角形，
所以CF＝BF，∠ACF＝∠CBF＝∠CFB＝60°.
所以∠ACF＋∠ACD＝∠CBF＋∠CBE，
所以∠DCF＝∠EBF.
在△DCF和△EBF中，
所以△DCF≌△EBF(SAS)，
所以DF＝EF，∠DFC＝∠EFB，
所以∠DFC＋∠EFC＝∠EFB＋∠EFC，
所以∠DFE＝∠CFB＝60°.
综上所述，DF＝EF，DF与EF的夹角为60°.

展开更多......

收起↑