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第二章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下面给出了几个表示计算机视觉交互应用的图标，在这些图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是(　　)
2．下列条件不能得到等边三角形的是(　　)
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底边的长相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是边AB上的高，则AD的长为(　　)
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
(第3题)　(第4题)(第5题)
4．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，连接AD.若AE＝2 cm，△ABC的周长为15 cm，则△ABD的周长为(　　)
A．11 cm B．13 cm C．15 cm D．17 cm
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为(　　)
A．108° B．115° C．122° D．130°
6．[山东省淄博市期末]如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去小扇形，把纸片展开，得到的图形是(　　)
7．将如图所示的两张全等的含30°角的直角三角形纸片拼接成一个新图形，且新图形拼接处的两条边完全重合，则拼成的新图形是轴对称图形(不考虑拼接痕迹)的方法有(　　)
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
8．如图，在△ABC中，M，N为边AC上的两点，AM＝NM，BM⊥AC于点M，ND⊥BC于点D，且NM＝ND.若∠A＝α，则∠C＝(　　)
A.α B．90°－α C．120°－α D．2α－90°
(第8题)　(第9题)(第10题)
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交射线AC于点N，连接BN.若△BMN是等腰三角形，则∠MNB的度数不可能是(　　)
A．25° B．30° C．50° D．65°
10．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③PC⊥AB；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共18分)
11．小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是________．
(第11题)　　　(第13题)
12.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形ABC的周长为16 cm，AB＝4 cm，则它的“优美比”k为________．
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E.若DB＝18，DE＝8，则CE的长为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点F，将∠C沿EG(点E在AC上，点G在BC上)折叠，使点C与点F恰好重合，则∠FGE＝________.
(第14题)
　　 (第15题)
15. 如图，点P是∠AOB内一定点，点M，N分别在边OA，OB上运动，若∠AOB＝30°，OP＝6，则△PMN的周长的最小值为________．
16.如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；….依次画下去，直到得到第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)[山东济南市期末]如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC关于直线DE对称的△A′B′C′；
(2)△A′B′C′的面积是________；
(3)在直线DE上找出点P，使|PA－PC|最大．(保留作图痕迹)
18．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作∠A的平分线，交BC于点M；
②作AC的垂直平分线，垂足为N，交AM于点O.
(2)连接BO，试说明：AO＝BO.
19．(8分)如图所示，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，BO，CO相交于点O，OD⊥BC于点D，且OD＝3，求△ABC的面积．
20．(10分)如图，已知港口A的南偏东80°方向上有一座小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°方向出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B位于C处的北偏东60°方向．
(1)求此时货轮到小岛B的距离．
(2)在小岛B周围36海里范围内是暗礁区，此时货轮向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．
21．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，连接AD，AD＝CD，E是DA的延长线上一点，且AE＝AD，AB⊥ED，连接BE.
(1)求∠ABC的度数；
(2)试说明：△EBD为等边三角形．
22．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F.
(1)探究EF，BE，FC之间的等量关系．
(2)若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，请写出来．(1)中的结论还成立吗？请说明理由．
23．(16分)已知△ABC是一个等边三角形，点D为边AC上的一点，连接BD，在AC的右侧作射线CM，使∠ACM＝∠ABD(0°<∠ACM<60°)，延长BD交射线CM于点E，连接AE，作AH⊥ME于点H.
(1)如图①，当D为AC的中点时．
①直接写出∠AEH的度数；
②试说明：是一个固定值．
(2)如图②，当点D在AC上运动时．
①直接写出∠BEC的度数；
②用等式表示线段BE，CE，EH之间的数量关系．
答案
一、1.A　2.D　3.B　4.A　5.D　6.A　
7．D 【点拨】如图所示．
满足拼成的新图形是轴对称图形的方法共7种，
故选D.
8．D　
9．B 【点拨】如图①，当点M在线段AB上时，因为MN∥BC，所以∠AMN＝∠ABC＝50°，所以∠NMB＝130°.若MN＝BM，则∠MNB＝∠MBN＝×(180°－130°)＝25°.
　
如图②，当点M在AB的延长线上时，因为MN∥BC，所以∠BMN＝∠ABC＝50°.分三种情况：
当BM＝BN时，∠BNM＝∠BMN＝50°；
当MB＝MN时，∠BNM＝∠MBN＝×(180°－50°)＝65°；
当NB＝MN时，∠MBN＝∠BMN＝50°，所以∠BNM＝180°－2×50°＝80°.
综上所述，选项B符合题意，故选B.
10．D 【点拨】根据题意，∠BPC＝360°－60°×2－90°＝150°.因为BP＝PC，所以∠PBC＝(180°－150°)÷2＝15°，故①正确，符合题意；由题意知∠DAP＝45°，所以∠DAB＋∠ABC＝45°＋60°＋60°＋15°＝180°，所以AD∥BC，故②正确，符合题意；因为∠ABC＋∠BCP＝60°＋15°＋15°＝90°，所以PC⊥AB，故③正确，符合题意；根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，故④正确，符合题意．所以四个结论都正确，故选D.
二、11.10：21　12.　13.10
14．80°【点拨】如图，连接FB，FC.因为AB＝AC，∠ABC＝50°，所以易知∠BAC＝80°.因为AF为∠BAC的平分线，所以∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝×80°＝40°.因为DF是AB的垂直平分线，所以FA＝FB，所以∠ABF＝∠BAF＝40°，所以∠FBC＝∠ABC－∠ABF＝50°－40°＝10°.因为∠BAF＝∠CAF，AB＝AC，AF＝AF，所以△AFB≌△AFC(SAS)，所以FB＝FC，所以∠FBC＝∠FCB＝10°.
根据翻折的性质可得FG＝CG，∠FGE＝∠CGE，所以∠CFG＝∠GCF＝10°，所以∠FGC＝160°，所以∠FGE＝80°.
15．6 【点拨】如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，
易知此时△PMN的周长最小．因为点P关于OA的对称点为点C，所以PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA.因为点P关于OB的对称点为点D，所以PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB.所以OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°.所以△COD是等边三角形，所以CD＝OC＝OD＝6，所以PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN＝CD＝6.故△PMN的周长的最小值为6.
16．9 【点拨】由题意可知AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠O＝∠OA1A＝9°，∠A1AA2＝∠A1A2A，….因为∠BOC＝9°，所以易得∠A1AB＝∠O＋∠AA1O＝18°，∠A2A1C＝∠BOC＋∠A1A2O＝27°，∠A3A2B＝∠BOC＋∠A2A3O＝36°，∠A4A3C＝∠BOC＋∠A3A4O＝45°，….当∠AnAn－1B或∠AnAn－1C＝90°时，下一次就画不出弧与OB或OC相交了，所以9°n<90°，解得n<10.由于n为整数，故n＝9.
三、17.【解】(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2)5
(3)如图所示，延长AC，交直线DE于点P，
此时|PA－PC|＝AC，为最大值，
则点P即为所求．
18．【解】(1)①如图所示，AM即为所求．
②如图所示，直线ON即为所求．
(2)如图，连接OC.
因为直线ON垂直平分AC，
所以OA＝OC.
因为AB＝AC，AM是∠BAC的平分线，
所以AM⊥BC，且BM＝CM.
所以AM是BC的垂直平分线．所以OB＝OC.
所以OB＝OA.
19．【解】
如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.因为BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，所以OE＝OF＝OD＝3.因为△ABC的周长是20，所以AB＋BC＋AC＝20，所以S△ABC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×(AB＋BC＋AC)×3＝×20×3＝30.
20．【解】(1)如图，由题意知∠EAB＝80°，∠EAC＝40°，∠QCB＝60°，
所以∠ACQ＝40°，∠BAC＝40°，
所以∠ACB＝40°＋60°＝100°，
所以∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝40°，
所以∠ABC＝∠BAC，
所以BC＝AC＝80海里，
即此时货轮到小岛B的距离为80海里．
(2)没有触礁危险．理由如下：如图，过点B作BD⊥CF于点D.
在Rt△BCD中，
因为∠BCD＝90°－60°＝30°，BC＝80海里，
所以BD＝BC＝40海里．
因为40海里>36海里，
所以此时货轮向正东方向航行没有触礁危险．
21．【解】(1)因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.
因为AD＝CD，所以∠CAD＝∠C.
所以∠ABC＝∠C＝∠CAD.
因为AB⊥ED，所以∠BAD＝90°.
所以∠ABC＝∠C＝∠CAD＝30°.
(2)因为AB⊥ED，AE＝AD，
所以BE＝BD，所以BA平分∠EBD，
所以∠EBD＝2∠ABD＝60°，
所以△EBD为等边三角形．
22．【解】(1)因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
所以∠EBO＝∠CBO，∠BCO＝∠FCO.
因为EF∥BC，
所以∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO.
所以∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO.
所以BE＝EO，CF＝FO.
因为EO＋OF＝EF，所以BE＋CF＝EF.
(2)有等腰三角形，等腰三角形BEO，等腰三角形CFO，BE＋CF＝EF仍成立．
理由如下：由(1)知BE＝EO，CF＝FO.
所以△BEO，△CFO都是等腰三角形．
因为EO＋OF＝EF，所以BE＋CF＝EF.
23．【解】(1)①∠AEH＝60°. 【点拨】因为D为AC的中点，△ABC是等边三角形，所以BD⊥AC，∠ABE＝∠CBE＝30°，AD＝CD＝AC，所以BD是线段AC的垂直平分线，所以EA＝EC，所以∠EAC＝∠ACM.因为∠ACM＝∠ABD，所以∠ACM＝30°，所以∠EAC＝∠ACM＝30°，所以易得∠AEH＝30°＋30°＝60°.
②因为AH⊥CM，所以∠AHC＝90°.
因为∠AEH＝60°，
所以∠EAH＝30°.
在Rt△AEH中，EH＝AE，
所以＝是一个固定值．
(2)①∠BEC＝60°. 【点拨】因为∠ABD＝∠ACM，∠ADB＝∠CDE，所以∠BEC＝∠BAD＝60°.
②BE＝CE＋2EH.
如图，在CM上截取CG＝BE，连接AG，
因为AB＝AC，∠ABE＝∠ACG，BE＝CG，所以△ABE≌△ACG(SAS)，所以AE＝AG.
因为AH⊥CM，
所以EG＝2EH.
因为CG＝CE＋EG＝CE＋2EH，
所以BE＝CE＋2EH.

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