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第六章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长C与半径r的关系式为C＝2πr，则其中的自变量是(　　)
A．半径r B．周长C C．2 D．π
2．[山东省泰安市期末]一个正比例函数的图象经过点(4，－2)，下面哪个点还在该函数图象上(　　)
A．(4，2) B．(－8，4) C．(－1，2) D．(2，－4)
3．向高为10的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深h与注水量V的函数关系的大致图象是(　　)
　
4．若一次函数y＝(2－3m)x－5的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1y2，则m的取值范围是(　　)
A．m> B．m< C．m> D．m<
5．过点(－1，－2)的直线y＝kx＋b与直线y＝3x平行，则b的值为(　　)
A．1 B．－1 C．5 D．－5
6．[烟台市芝罘区期末]将一次函数y＝ax－b与y＝abx的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是(　　)
7．某油箱容量为50 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油消耗了10 L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数表达式和自变量取值范围分别是(　　)
A．y＝0.1x，x>0 B．y＝50－0.1x，x>0
C．y＝0.1x，0≤x≤500 D．y＝50－0.1x，0≤x≤500
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段AB的垂直平分线交y轴于点C，则点C的坐标为(　　)
A．(0，1) B. C. D.
(第8题)(第9题)　(第10题)
9．[山东省青岛市期末]如图，一次函数y＝－x－4与正比例函数y＝kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于点B，且AO＝AB，则正比例函数的表达式为(　　)
A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
10. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点A2 027的坐标是(　　)
A．(22 026，22 027) B．(22 026－1，22 026)
C．(22 027，22 026) D．(22 026－1，22 027)
二、填空题(每题3分，共18分)
11．已知函数y＝(m－1)x＋m2－1是正比例函数，则m＝________．
12.一次函数y＝kx－1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是________．
13.如图，一次函数y＝kx＋3(k为常数且k≠0)与y＝3x－1的图象相交于点M，且点M的纵坐标为8，则关于x的方程kx＋3＝3x－1的解是________．
(第13题)
14．请根据以下信息写出函数的表达式：____________________．
①它的图象是不经过第二象限的一条直线，且与y轴的交点P到原点O的距离为3；②当x为2时，y的值为0.
15．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4 min内只进水不出水，从第4 min到第24 min内既进水又出水，从第24 min开始只出水不进水，容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位： min)之间的关系如图所示，则图中a的值是________．
　　(第15题)　　(第16题)
16．如图，直线y＝kx＋3与直线y＝－x交于点A(－2，1)，与y轴交于点B，点M(m，y1)在线段AB上，点N(1－m，y2)在直线y＝－x上，则y1－y2的最小值为________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A，B.
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)将直线AB向下平移5个单位长度后经过点(m，－5)，求m的值．
18．(8分)世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)，但仍有一些国家和地区使用华氏温度(°F)，两种计量之间有如下对应关系：
摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/°F 32 50 68 86 104 122
(1)请在所给的平面直角坐标系中描出表中相应的点，并用光滑的线连接；
(2)观察你画出的图象，猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求出y与x之间的函数表达式；
(3)求华氏0度时所对应的摄氏温度．
19．(8分)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，4)，B(3，0)，连接AB.将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C.求：
(1)点C的坐标；
(2)直线BC的函数表达式．
20．(10分) 如图，直线y＝kx＋6与x轴、y轴分别相交于点E，F.点E的坐标为(8，0)，点A的坐标为(6，0)．点P(x，y)是直线EF上第一象限内的一个动点．
(1)求k的值；
(2)在点P的运动过程中，求出△OPA的面积S与x的函数表达式；
(3)若△OPA的面积为，求此时点P的坐标．
21．(12分)已知甲种水果的单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折．某经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出图象中a的值，并求出y与x之间的函数表达式．
(2)若乙种水果的单价为25元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？最少付款金额是多少？
22．(12分)一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， h后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80 km/h的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15 min，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y(km)与货车出发时间x(h)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列各题：
(1)A，B两地之间的距离是________km，a＝________．
(2)求货车返回时的速度．
(3)在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？
23．(14分) 如图，在平面直角坐标系中，直线l1的表达式为y＝x，直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B(0，3)，与l1交于点C(2，m)．
(1)求出直线l2的函数表达式．
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M，N.
①当点M在点N的上方，且满足MN＝OB时，请求出点M与点N的坐标．
②当点M在点N的下方时，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.A　2.B　3.D　4.C　5.A　6.D　7.D
8．B 【点拨】将x＝0代入y＝－2x＋2，得y＝2，所以B(0，2)．将y＝0代入y＝－2x＋2，得x＝1，所以A(1，0)．所以OA＝1，OB＝2.如图，连接AC.
因为点C在AB的垂直平分线上，所以AC＝BC＝2－OC.在Rt△AOC中，OC2＋12＝(2－OC)2，解得OC＝.所以点C的坐标为.故选B.
9．B 【点拨】当x＝0时，yB＝－×0－4＝－4，所以B(0，－4)．由AO＝AB，易知yB＝2yA，所以yA＝－2.当y＝－2时，－x－4＝－2，解得x＝－3，所以A(－3，－2)．所以－2＝－3k，解得k＝，所以正比例函数的表达式为y＝x.
10．B 【点拨】当x＝0时，y＝0＋1＝1，所以OA1＝1，A1(0，1)．因为四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…都为正方形，所以易得A2(1，2)，A3(3，4)，A4(7，8)，…，所以An(2n－1－1，2n－1)，所以A2 027(22 026－1，22 026)．故选B.
二、11.－1　12.－3(答案不唯一)　13.x＝3
14．y＝x－3
15．36 【点拨】由图象可知，进水的速度为20÷4＝5(L/min)，出水的速度为5－(35－20)÷(16－4)＝3.75(L/min)，所以第24 min时容器内的水量为20＋(5－3.75)×(24－4)＝45(L)，所以a＝24＋45÷3.75＝36.
16. 【点拨】因为直线y＝kx＋3与直线y＝－x交于点A(－2，1)，所以将A(－2，1)的坐标代入y＝kx＋3，有－2k＋3＝1，解得k＝1，即直线AB的表达式为y＝x＋3.当x＝0时，y＝x＋3＝3，即B(0，3)．因为点M(m，y1)在线段AB上，点N(1－m，y2)在直线y＝－x上，所以y1＝m＋3，y2＝－(1－m)，且－2≤m≤0，所以y1－y2＝m＋3－＝m＋.因为－2≤m≤0，所以当m＝－2时，y1－y2的值最小，最小值为y1－y2＝m＋＝×(－2)＋＝.
三、17.【解】(1)因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(2，6)，B(－4，－3)，
所以2k＋b＝6，－4k＋b＝－3，所以k＝，b＝3，
所以一次函数的表达式为y＝x＋3.
(2)将直线AB向下平移5个单位长度后得到直线y＝x＋3－5，即y＝x－2.因为平移后的直线经过点(m，－5)，
所以－5＝m－2，解得m＝－2.
18．【解】(1)如图．
(2)y与x之间满足一次函数关系．设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(0，32)，(10，50)代入，得b＝32，10k＋b＝50，解得k＝1.8.
所以y与x之间的函数表达式为y＝1.8x＋32.
(3)由(2)知y＝1.8x＋32，令y＝0，得1.8x＋32＝0，解得x＝－.
所以华氏0度时所对应的摄氏温度为－ ℃.
19．【解】(1)因为A(0，4)，B(3，0)，
所以OA＝4，OB＝3.
在Rt△OAB中，AB2＝OA2＋OB2，所以AB＝5.
因为△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，所以BA′＝BA＝5，CA′＝CA.
所以OA′＝BA′－OB＝5－3＝2.
设OC＝t，则CA′＝CA＝4－t.
在Rt△OA′C中，OC2＋OA′2＝CA′2，
所以t2＋22＝(4－t)2，解得t＝.
所以点C的坐标为.
(2)设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，
把B(3，0)，C的坐标代入，得3k＋b＝0，b＝，
所以k＝－.
所以直线BC的函数表达式为y＝－x＋.
20．【解】(1)因为直线y＝kx＋6与x轴交于点E，且点E的坐标为(8，0)，所以8k＋6＝0，解得k＝－.
(2)由(1)可知直线EF的表达式为y＝－x＋6.
过点P作PD⊥OA于点D.
因为点P(x，y)是直线EF上第一象限内的一个动点，所以PD＝－x＋6(0因为点A的坐标为(6，0)，所以OA＝6.
所以△OPA的面积S与x的函数表达式为S＝×6×＝－x＋18(0(3)因为△OPA的面积为，所以－x＋18＝，解得x＝.将x＝代入y＝－x＋6，得y＝，所以此时点P的坐标为.
21．【解】(1)a＝2 160.
如图，易知A(40，1 200)，B(80，2 160)．
①当0≤x≤40时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx，将点A(40，1 200)的坐标代入，得k＝30，
所以y＝30x.
②当x＞40时，设y与x之间的函数表达式为y＝px＋q，将点A(40，1 200)和点B(80，2 160)的坐标代入，得40p＋q＝1 200，80p＋q＝2 160，所以p＝24，q＝240，所以y＝24x＋240.
综上所述，y＝
(2)设购进甲种水果m(30≤m≤50)千克，则购进乙种水果(80－m)千克．
①当30≤m≤40时，w＝30m＋25(80－m)＝5m＋2 000.
因为5>0，所以w随m的增大而增大．
所以当m＝30时，w取最小值，此时w＝5×30＋2 000＝2 150，80－m＝80－30＝50；
②当40＜m≤50时，w＝24m＋240＋25(80－m)＝－m＋2 240.
因为－1<0，所以w随m的增大而减小．
所以当m＝50时，w取最小值，此时w＝－50＋2 240＝2 190，80－m＝80－50＝30.
因为2 150＜2 190，所以购进甲种水果30千克，乙种水果50千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少，最少付款金额是2 150元．
22．【解】(1)60；1 【点拨】80×＝60(km)，所以A，B两地之间的距离是60 km.因为货车到达B地填装货物耗时15 min，所以a＝＋＝1.
(2)60÷(2－1)＝60(km/h)．
答：货车返回时的速度为60 km/h.
(3)由题意，得D(2，60)，巡逻车的速度为60÷＝25(km/h)，所以×25＝10(km)，
则C(0，10)．
设巡逻车对应的函数表达式为y＝kx＋b，
所以2k＋10＝60，b＝10，所以k＝25.
所以巡逻车对应的函数表达式为y＝25x＋10(0≤x≤2)．
又因为E(，60)，F(1，60)，G(2，0)，
所以同理求得线段OE所在直线的函数表达式为y＝80x，线段FG所在直线的函数表达式为y＝－60x＋120.
所以在整个运输过程中，货车对应的函数表达式为y＝
当0≤x<时，80x＝25x＋10，解得x＝；
当1≤x≤2时，－60x＋120＝25x＋10，解得x＝.
综上所述，巡逻车与货车在货车出发 h或 h时相遇．
23．【解】(1)将点C(2，m)的坐标代入y＝x，得m＝2，所以C(2，2)．设直线l2的函数表达式为y＝kx＋b，将点B(0，3)，C(2，2)的坐标代入，得b＝3，2k＋b＝2，解得k＝－.所以直线l2的函数表达式为y＝－x＋3.
(2)设M(t，t)(t＞0)，则N.
①因为点M在点N的上方，所以MN＝t－＝t－3，
因为B(0，3)，所以OB＝3.
因为MN＝OB，所以t－3＝3，解得t＝4.
所以M(4，4)，N(4，1)．
②存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形．
因为点M在点N的下方，所以MN＝－t＋3－t＝－t＋3.
当∠NMQ＝90°时，MN＝MQ，此时Q(0，t)，
易得－t＋3＝t，解得t＝，所以Q；
当∠MNQ＝90°时，MN＝NQ，此时Q，
易得－t＋3＝t，解得t＝，所以Q；
当∠MQN＝90°时，易知MN的中点坐标为(t，t＋)，所以Q，
由题意易得t＝，解得t＝，
所以Q.
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或(0，)或.

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