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第三章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四组数：①0.3，0.4，0.5；②7，24，25；③9，40，41；④4，5，6，其中是勾股数的有(　　)
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
2．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”．如图，△ABC是一茅屋的屋顶剖面，呈等腰三角形，AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，从梁BC上任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要的长度可能是(　　)
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
(第2题)(第3题)(第4题)
3．如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S1，S2，S3是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S1＝36，S2＝64，则S3的值为(　　)
A．10 B．100 C. D.
4．如图，在正方形网格内(每个小方格的边长均为1)，A，B，C，D四点都在小方格的格点上，则∠BAC＋∠DAC＝(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．如图所示，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝13 cm，BC＝14 cm，则△ABC的面积为(　　)
A．42 cm2 B．84 cm2 C．168 cm2 D．78 cm2
(第5题)　 (第6题)
6.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝7，则AB2＋CD2等于(　　)
A．45 B．49 C．50 D．53
7.如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为(　　)
A. cm B. cm C．7 cm D. cm
　 (第7题)　 (第8题)
8．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，将一根细线的两头绕盒子的侧面分别绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为(　　)
A．12 B．15 C．18 D．21
9．已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形不重叠部分的面积为S1，重叠部分的面积为S2，则(　　)
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定
10．[山东省济南市期末]如图，∠ABC＝30°，BD＝5，BG＝12，E，F分别是射线BA，BC上的动点，则DF＋EF＋EG的最小值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．13
(第10题)　(第11题)
二、填空题(每题3分，共18分)
11. 在高5 m，长13 m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，则地毯的长度至少是________m.
12．如图，长方体盒子的长、宽、高分别为12 cm，4 cm，3 cm，则能放进盒子中的直木棒最长为________cm.
　
(第12题)
13．[重庆市沙坪坝区模拟]小宁购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段OA，当反应球被击打时，可看作线段OA绕着点O旋转得到线段OA′(在安全角度范围内旋转)．小宁击打反应球后点A′与支架OA的水平距离为A′B，当A′B＝50 cm时，AB＝10 cm，则球体支架OA＝________cm.
(第13题)　(第14题)　(第15题)
14．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树梢恰好落在另一棵树乙的根部C处．若AB＝4 m，BC＝13 m，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为12 m，则这棵树甲原来的高度为________m.
15．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2＋CF2的值为________．
16.等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，腰长AB＝5 cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25 cm/s的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P的运动时间为________s.
三、解答题(共72分)
17．(8分)已知某植物绕着树干向上生长(如图)．
(1)如果树干的周长(即图中圆柱的底面周长)为30 cm，该植物绕行一圈升高(即圆柱的高)40 cm，则该植物绕行一圈的长度是多少？
(2)如果树干的周长为80 cm，该植物绕行一圈的长度是100 cm，绕10圈到达树顶，则树干高多少？
18．(8分)[山东省烟台市期末]福山的月亮广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE(如图)，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
(1)求风筝的垂直高度CE.
(2)如果小明往回收线8米，则此时风筝沿CD方向下降了多少米？
19．(10分)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE.
(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，试说明：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
20．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.
(1)试说明：BH＝AC；
(2)试说明：BG2－GE2＝EA2.
21．(10分)如图，在设计修建桥洞时，为使车辆顺利通过，一般设计为上边为半圆形，下边为长方形的桥洞，设计一桥洞下面长方形的一边长是2.3 m.
(1)如果设计半圆的直径为2 m单行道的桥洞，一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m．那么，此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
(2)为了适应车流量的增加，设计把桥洞改为双行道，要使宽为1.2 m，高为2.8 m的卡车能安全通过，那么此桥洞半圆的直径至少设计成多少米？
22．(12分)如图， 在△ABC中， 已知∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P 从点A开始沿A→C方向运动，且速度为每秒1 个单位长度，点Q从点C开始沿C→B→A方向运动，且速度为每秒2 个单位长度，它们同时出发，设运动时间为t s.
(1)当t为何值时，△APB能成为等腰三角形？
(2)当点Q在BA 上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间．
23．(14分)综合与实践．
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们执着于对它的证明，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
(1)把两个全等的直角三角形如图①放置，其三边长分别为a，b，c，∠DAB＝∠B＝90°，显然AC⊥DE.连接CD，CE，用含a，b，c的式子分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，这三个图形面积之间的关系式为____________________________(用含a，b，c的式子表示)，经化简，可得到勾股定理a2＋b2＝c2.
(2)如图②，铁路(铁路看成线段)上A，B两点相距40千米，C，D为两个村庄，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝24.5千米，BC＝15.5千米，则两个村庄的距离为________千米．
(3)在(2)的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求出AP的长．
答案
一、1.C　2.C　3.B　
4．B 【点拨】作B关于AC的对称点B′，连接B′A，B′D，如图，所以∠BAC＝∠B′AC.因为AB′2＝10，B′D2＝10，AD2＝20，所以AB′＝B′D，AB′2＋B′D2＝AD2.所以△AB′D是等腰直角三角形．所以∠B′AD＝45°.所以∠BAC＋∠DAC＝∠B′AC＋∠DAC＝∠B′AD＝45°.
5．B 【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.设BD＝x cm，则CD＝(14－x)cm.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x2)．所以152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.
所以AD2＝152－92＝144，则AD＝12 cm.所以S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84(cm2)．
6．D　
7．A 【点拨】因为四边形ABCD是长方形，所以∠D＝90°，CD＝AB＝8 cm，AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACD.由翻折得∠BAC＝∠CAF，所以∠ACD＝∠CAF.所以CF＝AF.设CF＝AF＝x cm，则DF＝(8－x)cm，在Rt△AFD中，AF2＝DF2＋AD2，AD＝6 cm，所以x2＝(8－x)2＋62，解得x＝，即AF的长为 cm.
8．B 【点拨】
将长方体盒子的侧面展开，如图所示，连接AB′，则AB′的长即为最短细线长．由题意知AA′＝4＋2＋4＋2＝12，A′B′＝AB＝9，由勾股定理得AB′2＝AA′2＋A′B′2＝122＋92＝225，则AB′＝15，即细线的最短长度为15.
9．C 【点拨】因为直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，所以该直角三角形的斜边为c，所以c2＝a2＋b2.由题意知S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，S2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，所以S1＝S2，故选C.
10．D 【点拨】如图，作点D关于BC的对称点D′，作点G关于AB的对称点G′，连接D′B，G′B，FD′，EG′，D′G′，则DF＝D′F，EG＝EG′.所以DF＋EF＋EG＝D′F＋EF＋EG′.当G′，E，F，D′在同一直线上时，DF＋EF＋EG的值最小，最小值为D′G′的长．根据对称的性质可知：D′B＝DB＝5，∠D′BF＝∠ABC＝30°，
G′B＝GB＝12，∠G′BA＝∠ABC＝30°，所以∠G′BD′＝90°，所以G′D′＝13，所以DF＋EF＋EG的最小值为13.
二、11.17　12.13　13.130
14．19 【点拨】
如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，由题意可得BC＝13 m，DC＝12 m，
故BD＝5 m，所以AD＝4＋5＝9(m)，则AC＝15 m，故AC＋AB＝15＋4＝19(m)．
15．196 【点拨】因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，所以∠ACE＝∠BCE＝∠ACB，∠ACF＝∠DCF＝∠ACD，所以∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°，即∠ECF＝90°.因为EF∥BC，所以∠MEC＝∠BCE.所以∠ACE＝∠MEC，所以EM＝CM＝7，同理可得FM＝CM＝7.所以EF＝14.所以CE2＋CF2＝EF2＝142＝196.
16．7或25 【点拨】过点A作AD⊥BC于点D.因为AB＝AC，BC＝8 cm，所以BD＝CD＝BC＝4 cm.又因为AB＝5 cm，所以AC＝5 cm，AD＝3 cm.分两种情况：设点P运动t s时PA与腰垂直．当PA⊥AC时，如图①.因为AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，所以PD2＋32＝(PD＋4)2－52，解得PD＝2.25 cm，所以BP＝4－2.25＝1.75(cm)．所以0.25t＝1.75，所以t＝7；当PA⊥AB时，如图②，同理，得PD＝2.25 cm，所以BP＝4＋2.25＝6.25(cm)．所以0.25t＝6.25，所以t＝25.综上，点P的运动时间为7 s或25 s.
三、17.【解】(1)如图，将圆柱的侧面展开后，该侧面是长方形．由题意可得AC＝30 cm，AB＝40 cm，
所以BC2＝AC2＋AB2＝302＋402＝2 500，所以BC＝50 cm.
答：植物绕行一圈的长度为50 cm.
(2)如图，树干的周长为80 cm，即AC＝80 cm，
绕行一圈的长度是100 cm，即BC＝100 cm.
因为AB2＝BC2－AC2＝1002－802＝3 600，
所以AB＝60 cm，
所以树干高为60×10＝600(cm)＝6 m.
答：树干高6 m.
18．【解】(1)由题意，得DE＝AB＝1.7米，
在Rt△CDB中，BD＝15米，BC＝25米，
则由勾股定理得CD＝20米，
所以CE＝CD＋DE＝20＋1.7＝21.7(米)，
即风筝的垂直高度CE为21.7米．
(2)如图，设此时风筝下降到点M，由题意得，
BM＝BC－8＝25－8＝17(米)．
因为BD＝15米，
所以DM＝8米，
所以CM＝CD－DM＝20－8＝12(米)，
即此时风筝沿CD方向下降了12米．
19．【解】(1)因为在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，所以CB＝2CD＝16，CA＝2CE＝12.易知CB2＋CA2＝162＋122＝400，AB2＝202＝400，所以CB2＋CA2＝AB2，所以∠C＝90°.
(2)因为在△ABC中，E为边AC的中点，AE＝6，所以AC＝2AE＝12.
在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD＝13，AC＝12，由勾股定理可得CD2＋AC2＝AD2，所以CD＝5.因为D是边BC的中点，所以CB＝2CD＝10，所以S△ABC＝AC·CB＝×12×10＝60.
20．【解】(1)因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠BDC＝∠CDA＝∠BEA＝90°，所以∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°.所以∠ABE＝∠DCA.因为∠ABC＝45°，所以∠BCD＝45°＝∠ABC，所以DB＝DC.在△DBH和△DCA中，因为∠DBH＝∠DCA，BD＝CD，∠BDH＝∠CDA，
所以△DBH≌△DCA(ASA)．所以BH＝AC.
(2)如图，连接CG.因为F为BC的中点，DB＝DC，
所以易得DF垂直平分BC.所以BG＝CG.
因为BE⊥AC，所以∠AEB＝∠CEB＝90°.
在△ABE和△CBE中，因为∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠ABE＝∠CBE，
所以△ABE≌△CBE(ASA)．
所以EC＝EA.
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2＝EC2，
所以BG2－GE2＝EA2.
21．【解】(1)这辆卡车能通过桥洞．理由如下：
如图①，在OA上截取ON＝0.8 m，过点N作OA的垂线交半圆于C，交地面于M，连接OC，因为OC＝OA＝1 m，
所以CN＝0.6 m，
所以CM＝2.3＋0.6＝2.9(m)>2.5 m.
所以这辆卡车能通过桥洞．
　　
(2)如图②，在OA上截取OF＝1.2 m，过点F作OA的垂线交半圆于点B，交地面于点E，连接OB.因为BE＝2.8 m，EF＝2.3 m，所以BF＝0.5 m，所以根据勾股定理得OB2＝BF2＋OF2＝0.52＋1.22＝1.32.
所以OA＝OB＝1.3 m．1.3×2＝2.6(m)，
所以此桥洞半圆的直径至少设计成2.6 m.
22．【解】
(1)如图， 当△APB是等腰三角形时，
AP＝BP＝t，则CP＝8－t.
在Rt△CPB中，由勾股定理得62＋(8－t)2＝t2，所以t＝.
所以当t＝时，△APB能成为等腰三角形．
(2)当点Q在边BA上运动时，BQ＝2t－6.
因为△CBQ为等腰三角形，所以应分三种情况：
①若CQ＝BQ，则∠B＝∠BCQ.
因为∠B＋∠A＝∠BCQ＋∠ACQ＝90°，
所以∠A＝∠ACQ.所以AQ＝CQ＝BQ.
因为∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，
所以BQ＝5.
所以 2t－6＝5，解得t＝5.5.
②若BQ＝BC，则2t－6＝6, 解得t＝6.
③若CQ＝CB，过点C作CE⊥AB于点E，
则AC·BC＝AB·CE，BE＝QE.
所以×8×6＝×10×CE，解得CE＝.
所以BE2＝62－＝，所以BE＝.所以易得BQ＝×2＝7.2.
所以2t－6＝7.2，解得t＝6.6.
综上可知，当运动时间为5.5 s或6 s或6.6 s时，△CBQ为等腰三角形．
23．【解】(1)依题意得AD＝AB＝a，AE＝BC＝b，AC＝DE＝c，所以S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AB＝(a＋b)·a＝(a2＋ab)，BE＝AB－AE＝a－b，所以S△EBC＝BC·BE＝b(a－b)＝(ab－b2)．因为AC⊥DE，所以S△ADE＝DE·AF，S△CDE＝DE·CF，所以S四边形AECD＝S△ADE＋S△CDE＝DE(AF＋CF)＝DE·AC＝c2.
(a2＋ab)＝(ab－b2)＋c2
(2)41 【点拨】如图①，连接CD，过点C作CE⊥AD于点E，易知AE＝BC＝15.5千米，CE＝AB＝40千米，所以DE＝AD－AE＝24.5－15.5＝9(千米)，所以CD＝41千米，所以两个村庄的距离为41千米．
(3)如图②，设AP＝x千米，则BP＝AB－AP＝(40－x)千米．在Rt△APD中，根据勾股定理得PD2＝AP2＋AD2＝x2＋24.52.在Rt△BPC中，根据勾股定理可得PC2＝BP2＋BC2＝(40－x)2＋15.52.因为PC＝PD，所以(40－x)2＋15.52＝x2＋24.52，解得x＝15.5，即AP＝15.5千米．

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