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第四章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在实数，－，－3.14，0，π，2.61 611 611 161…(相邻两个6之间1的个数逐次加1)，中，无理数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．有下列说法：①无理数一定是无限不循环小数；②算术平方根最小的数是零；③－5是(－5)2的算术平方根；④－＝.其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3.如果a＋3和2a－15是某个非负数的平方根，那么这个数是(　　)
A．49 B．441 C．7或21 D．49或441
4．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：，按键结果为m，，按键结果为n，则下列判断正确的是(　　)
A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．m＋n＝0
5．如图①，将两个1×2的长方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，它们与一个1×1的正方形可以拼成一个大正方形．如图②，它是以原点为圆心、以1×2的长方形的对角线OA长为半径画弧，与数轴相交于点B.若点B表示的数为m，则下列说法正确的是(　　)
A．m<－2.3 B．m>－2.3 C．m＝－2.3 D．无法确定
6．正整数a，b分别满足＜a＜，＜b＜，则ba＝(　　)
A．4 B．8 C．9 D．16
7．[浙江省宁波市自主招生]若实数m，n满足＋3＝mn＋2，则m＋5n的平方根为(　　)
A．± B．±2 C．± D．±
8．如图，数轴上A，B两点所对应的实数分别是－π，1.若线段CB＝2AB，则点C所表示的实数是(　　)
A．π＋1 B．－2π C．－2π－1 D．－2π－2
9．已知a为8－，b为7－，c为6－，则这三个数的大小关系是(　　)
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＝b＝c D．b＜a＜c
10. 若a1＝1＋＋，a2＝1＋＋，a3＝1＋＋，a4＝1＋＋，…，则＋＋＋…＋的值为(　　)
A．2 026 B．2 028 C．2 027 D．2 027
二、填空题(每题3分，共18分)
11．比较大小：________.(填“>”“<”或“＝”)
12．已知a－3和9＋2a是一个正数的两个平方根，3b＋6的立方根是3，则b－a的算术平方根是________．
13．已知点A，B，C在数轴上表示的数a，b，c的位置如图所示，化简：＋＋|b＋c|－＝________．
14．已知m，n是有理数，且m，n满足等式2m＋n＋(n－2)＝(＋3)＋21，则＋n的立方根为________．
15．根据下表回答下列各题：
x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19
x2 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361
(1)在________和________之间(填表中相邻的两个数)；
(2)≈________，＝________；
(3)338.56的平方根是__________．
16.我们规定：若一个三位数S的各个数位上的数字互不相等，且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称S为“中倍数”．例如：数258，因为2＋8＝2×5，所以258是“中倍数”；数358，因为3＋8≠2×5，所以358不是“中倍数”．按照这个规定：最大的“中倍数”是________．若H是“中倍数”，将H的百位数字和个位数字对调位置后组成一个新三位数H′，是一个整数，则满足条件的H的最小值为________．
三、解答题(共72分)
17．(6分)把下列各数填入相应的集合中：－，－，，，－，0，－π，－，－3.0，1.010 010 001…(相邻两个1之间的0的个数逐次增加1)．
(1)有理数集合：{　　　…}；
(2)无理数集合：{　　　…}；
(3)正实数集合：{　　　…}．
18．(8分)计算：
(1)－－；
(2)(1＋)0－|－|＋－－1.
19．(8分) 如图，把两个底面直径分别为12 cm和16 cm，高均为20 cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．(结果精确到1 cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64)
20．(10分)已知＋|y－2|＝0，且与互为相反数．求yz－x的平方根．
??
21．(12分)我们知道，是一个无理数，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，易知的整数部分是1，小数部分是－1.请解答以下各题：
(1)的小数部分是 ________，5－的小数部分是 ________；
(2)若7＋＝x＋y－1，其中x是整数，且0＜y＜1，求x与y的值．
22．(12分)学习了无理数之后，数的领域扩大到了实数的范围，且实数和数轴上的点是一一对应的．因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．
(1)如图①，一个直径为1的圆从原点O出发向右滚动一圈，圆上的一点P(开始滚动时与点O重合)由原点到达点A，则点A表示的实数是________；
(2)如图②，在数轴上有一个直角三角形如图所示放置，直角边BC落在数轴上，点B与数轴原点O重合，BC＝1，AC＝2，∠ACB＝90°，以B为圆心，BA长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的实数是________；
(3)在图③中，利用尺规作出实数－2所在的位置(保留必要的作图痕迹)．
23．(16分) 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA22＝12＋12＝2，S1＝；
OA32＝()2＋12＝3，S2＝；
OA42＝()2＋12＝4，S3＝；
…
(1)用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．
答案
一、1.C　2.C　
3．D 【点拨】由题意知需分类讨论：①若a＋3＝2a－15，解得a＝18.所以a＋3＝21.所以这个数是212＝441；②若a＋3＝－(2a－15)，解得a＝4.所以a＋3＝7.所以72＝49.故这个数是49或441.故选D.
4．B　
5．B 【点拨】由题图①可知，大正方形的面积为1＋4＝5，所以大正方形的边长为.因为点B在原点的左侧，所以点B表示的数为－.又因为2.32＝5.29>5，所以2.3>，所以－>－2.3，即m>－2.3.故选B.
6．D　
7．A 【点拨】依题意有所以m＝5.所以5n＋2＝0.所以5n＝－2.所以±＝±＝±.
8．C 【点拨】因为A，B两点所对应的实数分别是－π，1，所以AB＝|1－(－π)|＝|1＋π|＝1＋π.又因为CB＝2AB，所以CB＝2＋2π.所以点C所表示的实数为1－(2＋2π)＝1－2－2π＝－2π－1.
9．A 【点拨】a－b＝(8－)－(7－)＝1－(－)．因为2＜＜＜3，所以－＜3－2，即－＜1，所以a－b＝1－(－)＞0，所以a＞b.b－c＝(7－)－(6－)＝1－(－)．因为2＜＜＜3，所以－＜3－2，即－＜1，所以b－c＝1－(－)＞0，所以b＞c.所以a＞b＞c，即c＜b＜a.
10．C 【点拨】因为＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，…，所以＝，所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2 027＋＋＋＋…＋＝2 027＋1－＝2 027.
二、11.>　12.3　13.b
14．2 【点拨】因为2m＋n＋(n－2)＝(＋3)＋21，所以2m＋n＋(n－2)＝23＋3.因为m，n是有理数，所以2m＋n＝23，n－2＝3，解得m＝9，n＝5.所以＋n＝＋5＝8.所以＋n的立方根为2.
15．(1)18.7；18.8　(2)18.6；1.89　(3)±18.4
16．987；531 【点拨】结合“中倍数”的定义，知最大的“中倍数”是987.设H的百位数字为a，个位数字为b，则H＝100a＋10×＋b＝105a＋6b，H′＝100b＋10×＋a＝105b＋6a，所以＝＝.因为1≤a≤9，1≤b≤9，a，b为整数，a≠b，且是整数，所以a－b＝1或a－b＝4.根据题意知a＋b是偶数，所以a－b＝4，所以a＝5，b＝1或a＝6，b＝2或a＝7，b＝3或a＝8，b＝4或a＝9，b＝5.所以H为531或642或753或864或975，所以满足条件的H的最小值为531.
三、17.【解】(1)有理数集合：{－，，－，0，－，－3.0，…}；
(2)无理数集合：{－，，－π，1.010 010 001…(相邻两个1之间的0的个数逐次增加1)，…}；
(3)正实数集合：{，，－，1.010 010 001…(相邻两个1之间的0的个数逐次增加1)，…}．
18．【解】(1)－－＝4－4－(－4)＝4－4＋4＝4.
(2)(1＋)0－＋－(－)－1＝1－＋3－(－3)＝1－＋3＋3＝7－.
19．【解】设这个正方体钢锭的棱长为x cm，
由题意得x3＝π××20＋π××20，
所以x3＝2 000π.所以x＝≈≈18.
所以这个正方体钢锭的棱长约为18 cm.
20．【解】因为＋|y－2|＝0，且≥0，|y－2|≥0，所以x＋1＝0，y－2＝0.所以x＝－1，y＝2.因为与互为相反数，所以1－2z＋3z－5＝0，解得z＝4.所以yz－x＝2×4－(－1)＝9.因为9的平方根为±3，所以yz－x的平方根为±3.
21．【解】(1)－2；3－
(2)因为2＜＜3，所以9＜＋7＜10.
所以＋7的整数部分是9.
所以＋7的小数部分是－2.
因为7＋＝x＋y－1，其中x是整数，且0＜y＜1，
所以x－1＝9，y＝－2.所以x＝10.
22．【解】(1)π
(2)－
(3)如图所示，直角边BC落在数轴上，AB＝1，∠ABC＝90°，点B表示的数为1，点C表示的数为－2，则BC＝3.由勾股定理得AC＝＝.以点C为圆心，CA长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数为－2.
23．【解】(1)OAn＋12＝()2＋12＝n＋1，Sn＝.
(2)由(1)知OA102＝()2＋12＝10.
因为OA10>0，所以OA10＝.
(3)由(1)知，Sn＝，所以S12＋S22＋S32＋…＋S102＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×(1＋2＋3＋…＋10)＝.

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