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第五章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[山东省淄博市期末]根据下列描述，能确定具体位置的是(　　)
A．某电影院第二排 B．大桥南边
C．北偏东30° D．东经118°，北纬30°
2．下列说法正确的是(　　)
A．若ab＝0，则点P(a，b)表示原点
B．点(1，－a2)在第四象限
C．已知点A(2，3)与点B(－2，3)，则直线 AB平行于y轴
D．坐标轴上的点不属于任何象限
3．点E(a，b)到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有(　　)
A．a＝3，b＝4 B．a＝±3，b＝±4
C．a＝4，b＝3 D．a＝±4，b＝±3
4．如图，已知小华的坐标为(－2，－1)，小亮的坐标为(－1，0)，那么小东的坐标是(　　)
A．(－3，－2) B．(1，1) C．(1，2) D．(3，2)
(第4题)　　
5．已知点A(x1，y1)与点B(x2，y2)关于原点对称，若x1＋y1＝2，则x2＋y2的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
6．如图，四边形ABCD是长方形，AB＝5，AD＝6，以分别与长方形的边平行的两条数轴建立平面直角坐标系，已知A(－3，－2)，则点C的坐标是(　　)
(第6题)
A．(2，4) B．(3，2) C．(3，4) D．(2，3)
7．在平面直角坐标系中，点A(－1，3)，B(2，1)，经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为(　　)
A．(－1，1) B．(3，2) C．(2，3) D．(2，－1)
8.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(a，b)，若规定以下三种变换：①△(a，b)＝(－a，b)；②O(a，b)＝(－a，－b)；③Ω(a，b)＝(a，－b)．按照以上变换有△[O(1，2)]＝(1，－2)，那么O[Ω(3，4)]等于(　　)
A．(3，4) B．(3，－4) C．(－3，4) D．(－3，－4)
9．在平面直角坐标系中，若某个点的横、纵坐标均为整数，则称这个点为坐标平面内的整点．若点P(x，y)是第一象限的整点，且点P的坐标满足x＋2y＝5，则满足条件的整点P的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
10.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(4，0)，…，根据这个规律探索可得第2 027个点的坐标是(　　)
A．(63，11) B．(63，10) C．(64，10) D．(64，11)
(第10题)　　(第15题)
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[山东省青岛市期末]已知点M(a，3)，点N(2，b)关于y轴对称，则(a＋b)2 027的值为________．
12．[长沙市长郡中学自主招生]设点P(x，y)在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝2，则点P关于原点的对称点为________．
13.在平面直角坐标系中，A(1，3)，B(1，－1)，若点M在直线AB上，且AB＝2AM，则点M的坐标为___________________________________．
14．在平面直角坐标系中，点A(m，0)，B(2m＋3，0)，点C在线段AB上(不包括端点)，CD⊥x轴，点D(2m＋1，m)，AB＝2CD，则m的值为________．
15．[福建省宁德市期中]如图，△ABC的顶点在同一平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，点B的坐标为(5，9)，AB＝BC，AB⊥BC，则点C的坐标为________．
16．如图数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成下列各题．
(1)表中第8行的最后一个数是________；
(2)若用(a，b)表示一个数在数表中的位置，如9的位置是(4，3)，则158的位置是________．
三、解答题(共72分)
17．(6分) 规定北偏东30°的方向记作30°，从点O出发沿这个方向走50 m记作50，图中点A记作(30°，50)；北偏西45°的方向记作－45°，从点O出发沿着该方向的反方向走20 m记作－20，图中点B记作(－45°，－20)．
(1)(－75°，－15)，(10°，－25)分别表示什么意义？
(2)在图中标出点C(60°，－30)和点D(－30°，40)．
18．(8分)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3a－5，a＋1)．
(1)若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标；
(2)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值及点A的坐标．
19．(6分)如图所示，把长方形ABCD放置在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(8，0)，C(8，4)，若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处，AE交CD于点F，求点F的坐标．
20．(12分)如图，△ABC在平面直角坐标系中，解答下列各题：
(1)若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点A′，B′，C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与△ABC有怎样的位置关系？
(2)求△ABC的面积．
(3)已知P为x轴上一点，若△BB′P的面积是△ABC的面积的3倍，求此时点P的坐标．
21．(12分)如图，在长方形OABC中，点O为平面直角坐标系中的原点，点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，5)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O－C－B－A－O的路线运动(即沿着长方形运动一周)．设点P的运动时间为t秒．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)当点P运动了4秒时，求出点P的坐标；
(3)在点P运动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P的运动时间．
22．(14分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，其中a，b满足＋(b－3)2＝0.
(1)填空：a＝________，b＝________；
(2)若在第三象限内有一点M(－2，m)，用含m的式子表示△ABM的面积；
(3)在(2)的条件下，若线段BM与y轴相交于点C(0，－)，当m＝－时，点P是y轴上的动点，当满足三角形PBM的面积是三角形ABM面积的2倍时，求点P的坐标．
23．(14分)如图，在平面直角坐标系中，直线l的图象是第一、三象限的角平分线．
(1)实验与探究：由图观察易知点A(0，2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B(5，3)，C(－2，5)关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出它们的坐标：B′________，C′________；
(2)归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现，坐标平面内任何一点P(m，n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为________；
(3)类比与猜想：坐标平面内任一点P(m，n)关于第二、四象限的角平分线的对称点P″的坐标为________；
(4)运用与拓广：已知两点D(0，－3)，E(－1，－4)，试在第一、三象限的角平分线l上确定一点Q，使得QD＋QE的值最小，请求出点Q的坐标及QD＋QE的最小值．
答案
一、1.D　2.D　3.B　4.B　5.A　6.A　7.C　8.C　
9．B 【点拨】因为点P(x，y)是第一象限的整点，且点P的坐标满足x＋2y＝5，所以当x＝1时，y＝2，P(1，2)满足条件；当x＝2时，y＝，P不满足条件；当x＝3时，y＝1，P(3，1)满足条件；当x＝4时，y＝，P(4，)不满足条件；当x≥5时，y为非正数，点P不在第一象限内．所以满足条件的整点P的个数为2.
10．C 【点拨】把第一个点(1，0)作为第一列，(2，0)，(2，1)作为第二列，…，依此类推，则第一列有1个数，第二列有2个数，…，第n列有n个数，则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为1＋2＋3＋…＋63＝2 016，则第2 027个点一定在第64列，由下到上是第11个数．因而第2 027个点的坐标是(64，10)．
二、11.1　12.(3，－2)
13．(1，1)或(1，5) 【点拨】因为A(1，3)，B(1，－1)，A，B两点的横坐标相同，所以AB与y轴平行，AB＝4.因为AB＝2AM，点M在直线AB上，所以AM＝2，所以点M纵坐标为3＋2＝5或3－2＝1，所以点M的坐标为(1，1)或(1，5)．
14．3
15．(10，7) 【点拨】如图，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CD⊥x轴于点D，过B作EF⊥AG交AG的延长线于点E，交DC的延长线于F，所以AG∥CD，所以EF⊥CD.因为点A的坐标为(3，4)，点B的坐标为(5，9)，所以易得EB＝2，AE＝5.因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°.所以∠CBF＝90°－∠ABE.因为∠BAE＝90°－∠ABE，
所以∠BAE＝∠CBF.又因为AB＝BC，∠E＝∠F＝90°，所以△BAE≌△CBF(AAS)．所以BF＝AE＝5，CF＝EB＝2.所以易得C(10，7)．
16．(1)36　(2)(18，5) 【点拨】(1)由题意知，第1行的最后一个数是1＝；第2行的最后一个数是3＝；第3行的最后一个数是6＝；第4行的最后一个数是10＝；…；第n行的最后一个数是.所以第8行的最后一个数是＝36.
(2)由题意，知第17行的最后一个数是＝153，第18行的最后一个数是＝171.因为153<158<171，所以158位于第18行．因为第18行第一个数为154，所以158为第18行第5个数，所以158的位置是(18，5)．
三、17.【解】(1)(－75°，－15)表示南偏东75°方向距点O15 m处；(10°，－25)表示南偏西10°方向距点O 25 m处．
(2)如图．
18．【解】(1)因为点A在y轴上，所以3a－5＝0，解得a＝.所以a＋1＝，所以点A的坐标为.
(2)因为点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，所以|3a－5|＝|a＋1|.
所以3a－5＝a＋1或3a－5＝－(a＋1)．
当3a－5＝a＋1时，解得a＝3，则点A(4，4)；
当3a－5＝－(a＋1)时，解得a＝1，则点A(－2，2)．
综上所述，当a＝3时，点A的坐标为(4，4)；当a＝1时，点A的坐标为(－2，2)．
19．【解】因为四边形ABCD是长方形，且A(0，0)，B(8，0)，C(8，4)，所以AB＝CD＝8，BC＝AD＝4，AB∥CD，∠ADF＝90°，
所以∠FCA＝∠CAB.
由折叠的性质，得∠FAC＝∠BAC，所以∠FAC＝∠FCA，所以AF＝FC.
设DF＝x，则AF＝FC＝CD－DF＝8－x.
在Rt△ADF中，AD2＋DF2＝AF2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，即DF＝3.
所以点F的横坐标为3.
又易知点F的纵坐标为4，
所以点F的坐标为(3，4)．
20．【解】(1)△A′B′C′如图所示．△A′B′C′与△ABC的位置关系是关于x轴对称．
(2)S△ABC＝3×4－×1×4－×2×3－×2×2＝5.
(3)设△BB′P的边BB′上的高为h，点P的坐标为(x，0)，易知BB′＝4.因为△BB′P的面积是△ABC的面积的3倍，所以×4h＝3×5，解得h＝.
所以当点P在x轴负半轴上时，x＝1－＝－；
当点P在x轴正半轴上时，x＝1＋＝.
综上，点P的坐标为或.
21．【解】(1)点B的坐标为(4，5)．
(2)因为在长方形OABC中，点O(0，0)，C(0，5)，A(4，0)，所以OC＝AB＝5，OA＝CB＝4.
当点P运动了4秒时，运动的距离是2×4＝8(个)单位长度，8－5＝3，
此时点P在线段CB上，坐标为(3，5)．
(3)根据题意，分两种情况：
①当点P在线段OC上时，点P运动的距离是4个单位长度，运动时间为4÷2＝2(秒)；
②当点P在线段BA上时，点P运动的距离是5＋4＋(5－4)＝10(个)单位长度，运动时间为10÷2＝5(秒)．
综上所述，当点P到x轴距离为4个单位长度时，点P的运动时间为2秒或5秒．
22．【解】(1)－1；3 【点拨】因为a，b满足＋(b－3)2＝0，所以a＋1＝0，b－3＝0，所以a＝－1，b＝3.
(2)因为a＝－1，b＝3，所以A(－1，0)，B(3，0)，
所以AB＝4.
因为点M(－2，m)在第三象限，所以m＜0.
所以S△ABM＝×4×(－m)＝－2m.
(3)当m＝－时，S△ABM＝－2×(－)＝3.
因为△PBM的面积是△ABM面积的2倍，
所以S△PBM＝6.
又因为S△PBM＝S△MPC＋S△BPC，
所以PC×2＋PC×3＝6，解得PC＝.
当点P在点C的下方时，P(0，－－)，即P(0，－)；
当点P在点C的上方时，P(0，－＋)，即P(0，)．
综上所述，点P的坐标为(0，－)或(0，)．
23．【解】(1)点B′，C′如图所示．
B′(3，5)；C′(5，－2)
(2)(n，m)
(3)(－n，－m) 【点拨】如图，作出第二、四象限的角平分线及点A，B，C关于第二、四象限的角平分线的对称点A″，B″，C″，如图，则A″(－2，0)，B″(－3，－5)，C″(－5，2)．因为A(0，2)，B(5，3)，C(－2，5)，所以坐标平面内任一点P(m，n)关于第二、四象限的角平分线的对称点P″的坐标为(－n，－m)．
(4)如图，作点D关于第一、三象限的角平分线l的对称点D′(－3，0)，连接D′E交l于点Q，此时QD＋QE的值最小，最小值为D′E的长．
由图可知Q(－2，－2)，由勾股定理，得D′E＝＝，即QD＋QE的最小值为.

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