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第一章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，工人师傅在砌门时，通常会用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学依据是(　　)
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等
D．三角形具有稳定性
2．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
3．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的角平分线是射线
C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形
4．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝9 cm，△ABC的面积为18 cm2，则边EF上的高是(　　)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
5．如图，△ABC中边BC上的高为h1，△DEF中边DE上的高为h2，下列结论正确的是(　　)
A．h1>h2 B．h1C．h1＝h2 D．无法确定h1与h2的大小关系
(第5题)
　(第6题)　(第7题)
6．如图所示，B，D，E在同一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3的度数为(　　)
A．30° B．45° C．50° D．60°
7．如图，已知△ADF≌△CEF，E是线段AB上一点，AC交DE于点F.下列与∠BAF＋∠EDC的度数相等的是(　　)
A．∠BEC B．∠EFC C．∠AFE D．∠ADC
8.有四根长度分别为3，4，6，x(x为正整数)的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则组成的三角形中周长(　　)
A．最小为9 B．最小为10 C．最大为19 D．最大为16
9．如图，在长方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上一点，若S△AEF∶S△CEF＝4∶1，则AB与CF的数量关系是(　　)
(第9题)
A．AB＝5CF B．AB＝4CF C．AB＝3CF D．AB＝2CF
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2AC，点D是线段AB的中点，将一块含45°角的直角三角板(△ADE)按如图方式放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，CE，CE与AB交于点F.下列判断正确的有(　　)
①△ACE≌△DBE；②BE⊥CE；③DE＝DF；④S△DEF＝S△ACF.
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
(第10题)(第11题)
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[山东省聊城市模拟]如图，∠AOB是任意一个角，在边OA，OB上分别取点M，N使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，此作法依据的全等三角形的判定方法是________．
12.如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在点A1处，若∠1＋∠2＝88°，则∠A的度数是________．
(第12题)
　　(第13题)　(第14题)
13．如图，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为________．
14．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中阴影部分的面积是________．
15．如图，在等边三角形ABC中，点D为线段AB上一点，BD＝4AD，连接CD，点E为线段AC下方一点，连接CE，且CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，连接BE交AC于点M，点F为线段AC延长线上一点，AD＝CF，连接EF.已知AD＝2，则CM的长为________．
(第15题)　　　　　(第16题)
16.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.若BD＝8，则CE的长为________．
三、解答题(共72分)
17．(6分) 如图，小明在作业本上画的△ABC被墨迹污染了一部分，他想画一个与△ABC完全一样的△A′B′C′，请帮助小明想办法用尺规作图法画出△A′B′C′，并说明你的理由．
18．(8分)如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且∠CAB＝∠DCB.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，试说明：∠CFE＝∠CEF.
19．(10分) 如图，小明站在河边的点A处，观察河对面(正北方向)点B处的电线塔，他想知道自己距离电线塔有多远，可身边没有测量的工具，于是他运用本学期学到的数学知识设计了如下方案：他先向正西方向走了30步到达电线杆C处，接着继续向正西方向走了30步到达D处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆C、电线塔B与自己现在所处的位置E在同一条直线上时停止，从点A出发到点E停止，小明共走了100步(每一步所走的距离都相同)．
(1)根据题意，画出测量方案的示意图；
(2)如果小明的一步大约为0.5 m，请计算小明在点A处时与电线塔的距离．
20．(12分)如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F.
(1)试说明：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)试说明：CD＝2BF＋DE.
21．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，E是BC的中点，动点P从点A出发，先以每秒2个单位长度的速度沿A→C运动，然后以每秒1个单位长度的速度沿C→B运动．若设点P的运动时间是t s，那么当t取何值时，△APE的面积等于10
22．(14分)以点A为顶点的两个等腰直角三角形(△ABC，△ADE)，按如图①所示方式放置，使得一直角边重合，连接BD，CE.
(1)试说明：BD＝CE.
(2)延长BD交CE于点F，求∠BFC的度数．
(3)若按如图②所示方式放置，上面的结论还成立吗？请说明理由．
23．(14分)(1)【初步探索】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE＋FD，探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，则他的结论应是________________．
(2)【灵活运用】如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE＋FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)【拓展延伸】如图③，已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，且仍然满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
答案
一、1.D　2.B　3.A　4.B　
5．C 【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥DE，交DE的延长线于点N，则AM＝h1，FN＝h2.因为AM⊥BC，FN⊥DE，所以∠AMC＝∠FNE＝90°.因为∠FED＝115°，所以∠FEN＝65°＝∠ACB.又因为AC＝FE＝2.4，所以△AMC≌△FNE.所以AM＝FN.所以h1＝h2.故选C.
6．B　
7．B 【点拨】因为△ADF≌△CEF，所以AF＝CF，DF＝EF.又因为∠AFE＝∠CFD，所以△AEF≌△CDF(SAS)，所以∠BAF＝∠DCF，所以易知∠EFC＝∠DCF＋∠EDC＝∠BAF＋∠EDC.
8．D 【点拨】其中的任意三根的组合有3，4，6；3，4，x；3，6，x；4，6，x，共四种情况．
因为从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，所以易得3＜x＜7.由于x为正整数，因此x为4或5或6.
①当三边为3，4，6时，其周长为3＋4＋6＝13；
②当三边为3，4，x时，其周长最小为3＋4＋4＝11，周长最大为3＋4＋6＝13；
③当三边为3，6，x时，其周长最小为3＋6＋4＝13，周长最大为3＋6＋6＝15；
④当三边为4，6，x时，其周长最小为4＋6＋4＝14，周长最大为4＋6＋6＝16.
综上所述，组成的三角形中周长最小为11，最大为16.
故选D.
9．C 【点拨】如图，延长AE交DC的延长线于点G.
因为四边形ABCD是长方形，所以∠B＝∠BCD＝∠ECG＝90°.因为E为BC的中点，所以BE＝CE.又因为∠AEB＝∠GEC，所以△ABE≌△GCE(ASA)，所以AB＝GC，AE＝GE.因为S△AEF∶S△CEF＝4∶1，所以设S△CEF＝a，则S△AEF＝4a.因为AE＝GE，所以S△GEF＝S△AEF＝4a，所以S△CEG＝S△GEF－S△CEF＝3a，所以S△CEG＝3S△CEF，所以·CE·CG＝3×·CE·CF，所以CG＝3CF.因为AB＝GC，所以AB＝3CF.
10．C 【点拨】因为AB＝2AC，点D是线段AB的中点，所以BD＝AD＝AC.由题意得△ADE为等腰直角三角形，∠DEA＝90°，所以∠EAD＝∠EDA＝45°，EA＝ED.所以∠EAC＝∠EAD＋∠BAC＝45°＋90°＝135°，∠EDB＝180°－∠EDA＝180°－45°＝135°，所以∠EAC＝∠EDB.在△ACE和△DBE中，因为EA＝ED，∠EAC＝∠EDB，AC＝DB，所以△ACE≌△DBE，所以①正确；因为△ACE≌△DBE，所以∠AEC＝∠DEB，所以∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠AEC＋∠DEC＝∠DEA＝90°，所以BE⊥CE，所以②正确；因为∠DEA＝90°，所以∠DEF＝90°－∠AEC.因为AC＝AD＞AE，所以∠AEC＞∠ACE.因为∠DFE＝∠AFC＝90°－∠ACE，所以∠DEF＜∠DFE，所以DE＞DF，所以③错误；因为△ACE≌△DBE，所以S△ACE＝S△DBE.因为BD＝AD，所以S△DAE＝S△DBE，所以S△DAE＝S△ACE，所以S△DEF＝S△ACF，所以④正确．故选C.
二、11.SSS　12.44°
13．20° 【点拨】延长PC交BD于点E，设AC，PB交于点F，如图．因为∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∠AFB＝∠PFC.所以∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF.易知∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD－∠D，所以∠P＋∠PBE＝∠PCD－∠D.
所以2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A－∠D＋∠ABF＋∠PCD.因为BP，CP分别是∠ABD，∠ACD的平分线，所以∠ABF＝∠PBE，∠PCF＝∠PCD.所以2∠P＝∠A－∠D.因为∠A＝50°，∠D＝10°，所以∠P＝20°.
14．50 【点拨】因为AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH，所以∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，所以∠EAF＋∠BAG＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，所以∠EAF＝∠ABG.在△EFA与△AGB中，所以△EFA≌△AGB(AAS)，所以AF＝BG＝3，EF＝AG＝6.同理可得△BGC≌△CHD，所以GC＝HD＝4，BG＝CH＝3.所以FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，所以易知S阴影＝S梯形EFHD－2S△EFA－2S△BGC＝－2×EF·AF－2×BG·GC＝×(6＋4)×16－6×3－3×4＝50.
15．4 【点拨】因为△ABC是等边三角形，BD＝4AD，AD＝CF＝2，所以AC＝AB＝AD＋4AD＝5AD＝5×2＝10，所以AF＝AC＋CF＝10＋2＝12.因为∠ADC＋∠BDC＝180°，∠FCE＋∠ACE＝180°，∠BDC＝∠ACE，所以∠ADC＝∠FCE.在△ADC和△FCE中， 所以△ADC≌△FCE(SAS)，所以∠A＝∠F，AC＝FE，所以AB＝FE.在△AMB和△FME中， 所以△AMB≌△FME(AAS)，所以AM＝FM＝AF＝×12＝6，所以CM＝FM－CF＝6－2＝4.
16．4 【点拨】如图，延长BA，CE交于点F.
因为∠BAC＝90°，CE⊥BD，所以∠CAF＝90°，∠ABD＋∠ADB＝90°，∠ACF＋∠CDE＝90°.因为∠ADB＝∠CDE，所以∠ABD＝∠ACF.在△ABD和△ACF中，
所以△ABD≌△ACF(ASA)，所以BD＝CF＝8.
因为BD平分∠ABC，
所以∠EBF＝∠EBC.
又因为BE＝BE，∠BEF＝∠BEC＝90°，
所以△BEF≌△BEC(ASA)，所以EF＝EC，
所以CE＝CF＝4.
三、17.【解】如图所示，△A′B′C′即为所求．
　
理由：在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
18．【解】(1)△ABC是直角三角形．理由如下：
因为在△ABC中，CD是边AB上的高，
所以∠CDA＝90°，所以∠CAB＋∠ACD＝90°.
又因为∠CAB＝∠DCB，
所以∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
(2)因为AE是△ABC的角平分线，
所以∠DAF＝∠CAE.
因为∠CDA＝90°，所以∠DAF＋∠AFD＝90°.
由(1)知∠ACB＝90°，所以∠CAE＋∠CEF＝90°.
所以∠AFD＝∠CEF.
又因为∠AFD＝∠CFE，所以∠CFE＝∠CEF.
19．【解】(1)示意图如图所示．
(2)由题意知∠BAC＝∠D＝90°，
AC＝CD＝30×0.5＝15(m)，
所以DE＝(100－30－30)×0.5＝20(m)．
在△ABC和△DEC中，
所以△ABC≌△DEC(ASA)，
所以AB＝DE＝20 m，
即小明在点A处时与电线塔的距离为20 m.
20．【解】(1)因为∠BAD＝∠CAE＝90°，
所以∠BAC＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠DAE＝90°，
所以∠BAC＝∠DAE.
又因为AB＝AD，AC＝AE，
所以△ABC≌△ADE(SAS)．
(2)因为∠CAE＝90°，AC＝AE，
所以∠E＝∠ACE＝45°.
由(1)知△ABC≌△ADE，
所以∠BCA＝∠E＝45°.
因为AF⊥BC，所以∠CFA＝90°，
所以∠CAF＝45°.
所以∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝45°＋90°＝135°.
(3)如图，延长BF到点G，使得FG＝FB.
因为AF⊥BG，所以∠AFG＝∠AFB＝90°.
又因为AF＝AF，
所以△AFB≌△AFG(SAS)，
所以AB＝AG，∠ABF＝∠G.
因为AB＝AD，所以AG＝AD.
因为△ABC≌△ADE，
所以∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
所以∠ABF＝∠CDA，所以∠G＝∠CDA.
又因为∠GCA＝∠DCA＝45°，AC＝AC，
所以△CGA≌△CDA(AAS)，所以CG＝CD.
因为CG＝CB＋BF＋FG＝CB＋2BF＝DE＋2BF，
所以CD＝2BF＋DE.
21．【解】因为E是BC的中点，
所以BE＝CE＝4.
当点P在AC上时，AP＝2t.
因为△APE的面积等于10，∠C＝90°，
所以S△APE＝AP·CE＝AP×4＝10，
所以AP＝5，即2t＝5，所以t＝.
当点P在BC上时，易得CP＝t－3.
因为S△APE＝EP·AC＝EP×6＝10，
所以EP＝.
当点P在点E的左边时，EP＝4－(t－3)＝7－t＝，
所以t＝.
当点P在点E的右边时，EP＝(t－3)－4＝t－7＝，
所以t＝.
综上所述，当t＝或或时，△APE的面积等于10.
22．【解】(1)由题意得∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC.在△ADB和△AEC中， 所以△ADB≌△AEC(SAS)，所以BD＝CE.
(2)因为△ADB≌△AEC，所以∠DBA＝∠ECA.又因为∠CDF＝∠BDA，所以∠BFC＝180°－∠ACE－∠CDF＝180°－∠DBA－∠BDA＝∠DAB＝90°.
(3)BD＝CE和∠BFC＝90°仍然成立．理由：由题意得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，所以∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，即∠BAD ＝∠CAE.在△ADB和△AEC中， 所以△ADB≌△AEC(SAS)，所以BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，所以易得∠BFC＝∠BAC＝90°.
23．【解】(1)∠BAE＋∠FAD＝∠EAF
(2)结论仍然成立．理由：
如图①，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.因为∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，所以∠B＝∠ADG.
在△ABE和△ADG中，，所以△ABE≌△ADG.所以∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.因为EF＝BE＋DF，所以EF＝DG＋DF＝GF.在△AEF和△AGF中， 所以△AEF≌△AGF.所以∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF.
(3)∠EAF＝180°－∠DAB. 【点拨】如图②，在DC的延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG.因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，所以∠ADC＝∠ABE.
在△ABE和△ADG中， 所以△ABE≌△ADG.所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.因为EF＝BE＋DF，所以EF＝DG＋DF＝FG.在△AEF和△AGF中， 所以△AEF≌△AGF.所以∠FAE＝∠FAG.因为∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，所以2∠FAE＋(∠GAB＋∠BAE)＝360°.所以2∠FAE＋(∠GAB＋∠DAG)＝360°，即2∠FAE＋∠DAB＝360°.所以∠EAF＝180°－∠DAB.

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