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3 简谐运动的回复力和能量
一、单选题
1．简谐运动中，下列各组物理量方向始终相反的是（　　）
A．回复力与位移 B．位移与速度
C．加速度与速度 D．回复力与速度
2．做简谐运动的弹簧振子，其加速度a随位移x变化的规律应是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图所示为做简谐运动的弹簧振子，O为平衡位置，A为最大位移处，对小球的受力分析，正确的是 （　　）
A．受重力、支持力、弹簧的弹力
B．受重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．受重力、支持力、回复力、摩擦力
D．受重力、支持力、摩擦力
4．如图所示，质量为 的物体 放置在质量为 的物体 上， 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐运动，振动过程中 、 之间无相对运动，设弹簧劲度系数为 ，当物体离开平衡位置的位移为 时， 、 间摩擦力的大小等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度内，A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），A、B之间始终保持相对静止，弹簧的劲度系数为k，A和B的质量分别为m和M（M≠m），A和B之间的最大静摩擦力为fm，则下列说法正确的是（　　）
A．A对B的静摩擦力对B不做功，而B对A的静摩擦力对A做功
B．A和B一起（相对静止）振动的振幅不能大于
C．当弹簧最短时迅速将物块A取下，此后，物块B做简谐运动振幅与取下A前相同
D．当弹簧最短时迅速将物块A取下，此后，物块B做简谐运动周期与取下A前相同
6．关于做简谐运动物体的位移、速度、加速度的关系，下列说法正确的是（　　）
A．位移减小时，速度增大，加速度也增大
B．位移方向总跟加速度方向相反，但跟速度方向相同
C．物体衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同
D．物体的位移方向改变时，加速度方向也改变
二、多选题
7． 如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一质量为m的物体A，初始时系统处于静止状态，弹簧的弹性势能大小为E，将另一与A完全相同的物体B轻放在A上，重力加速度为g，关于二者之后在竖直方向上的运动，下列说法正确的是（　　）
A．物体B被弹簧弹回到某位置后将脱离物体A向上运动
B．A、B运动过程中的最大加速度为g
C．A、B运动过程中的最大加速度为
D．弹簧的最大弹性势能为
8．已知质量均匀分布的球壳对内部物体的引力为零。如图为某设计贯通地球的光滑真空列车隧道，质量为m的列车从入口A点由静止开始穿过隧道到达地球另一端的B点，其中O为地心，C点到O点的距离为x。假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。则（　　）
A．列车在C点处受到的引力大小为
B．若列车完全无动力往复运行，则它在隧道内做简谐运动
C．列车的最大速度为
D．列车通过隧道的时间小于
三、填空题
9．图中螺旋测微器的读数为　 　mm．
10．如图所示，质量为m的木块放在轻弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动。当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5 倍，则物体对弹簧的最小弹力为　 　； 要使物体在振动中不离开弹簧，振幅的最大值为　 　。
四、解答题
11．如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，弹簧另一端连接着质量为m的小球，此时弹簧长度为l1。现沿斜板向上推小球，直至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动。
12．如图所示，在水平面内有两根间距为l的金属导轨平行放置，导轨末端通过一小段塑料接口与足够长的倾斜平行金属导轨平滑连接，倾斜导轨倾角为。在图示区域Ⅰ、Ⅲ和Ⅳ中，存在垂直于导轨向上的匀强磁场，磁感应强度分别为，和；区域Ⅱ中导轨粗糙，宽度为d，其余导轨均光滑。磁场边界上放置金属棒a，磁场边界右侧附近静止放置金属棒b，倾斜导轨足够远处连接有电感为L的电感线圈。现让金属棒a以初速度进入磁场，发现它最终刚好停在了（边界左侧），而金属棒b恰好滑入倾斜轨道。已知金属棒a与轨道粗糙部分的动摩擦因数为，金属棒a的电阻为R，其余电阻均不计，金属棒a、b的质量均为m，重力加速度取g，求：
（1）在金属棒a刚进入磁场瞬间，金属棒b的加速度；
（2）金属棒a在离开区域Ⅰ后产生的焦耳热Q；
（3）金属棒b能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离。（已知自感线圈的自感电动势）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简谐运动的回复力和能量
2．【答案】B
【知识点】简谐运动的回复力和能量
3．【答案】A
【知识点】简谐运动的回复力和能量
4．【答案】D
【知识点】简谐运动的回复力和能量
5．【答案】C
【知识点】简谐运动的回复力和能量
6．【答案】D
【知识点】简谐运动的回复力和能量
7．【答案】C,D
【知识点】简谐运动的回复力和能量
8．【答案】B,D
【知识点】万有引力定律；简谐运动的回复力和能量
9．【答案】5.200
【知识点】刻度尺、游标卡尺及螺旋测微器的使用
10．【答案】；2A
【知识点】简谐运动的回复力和能量
11．【答案】解：松手释放小球后，小球沿光滑斜板做往复运动——振动，小球的平衡位置是小球开始时静止(合外力为零)的位置，有mg sin θ=k(l1-l0)
取沿斜板向上为正方向，小球相对平衡位置的位移为x时，受力如图所示，小球受三个力作用，其合力F合=k(l1-l0-x)-mg sin θ，则F合=-kx，由此可证明小球的运动为简谐运动。
【知识点】简谐运动的回复力和能量
12．【答案】解：（1）a棒进入磁场Ⅰ时：机械能动生电动势、电流和安培力分别为，机械能动生电动势磁场强度乘以切割导体长度乘以导体运动速度
电流等于电动势除以电阻，除了a的电阻其余电阻不计所以电阻为R
所以棒b受到的安培力等于磁场强度乘以电流乘以磁场导体长度为
由左边合外力右边运动状态式即牛顿第二定律得
解得
（2）棒离开区域I后，区域II无磁场，无电流，无焦耳热。在区域III中，当a棒停止后，b棒以速度 v2运动，切割磁感线（磁场 2B0 ），产生电动势 Eb=2B0lv2。
回路电流在a棒电阻 R 上发热，安培力使b棒减速，动能全部转化为焦耳热（假设区域III足够长，b棒在水平导轨上停止，不滑入倾斜轨道；题目中“b恰好滑入倾斜轨道”在此解释为b以极小速度滑入，但解答忽略此细节，近似动能全转化，
b棒初动能：，故焦耳热：设金属棒a离开磁场Ⅰ区域时的速度为v1，摩擦力导致静止，由运动学速方差等于2倍加速度位移得，
位移d，
取正值，因速度方向不变，a棒穿越区域I过程（磁场 B0），用动量定理：安培力冲量等于动量变化可得
根据题意有安培力冲量：，
其中为平均电流，t为时间。联立解得
此时金属棒b的速度为v2，金属棒a在区域Ⅱ中做匀减速运动，在该过程中，由动量定理可得可得b棒的安培力冲量 等于动量变化量
解得
之后，在区域III中，当a棒停止后，b棒以速度 v2切割磁感线，回路电流在a棒电阻 R 上发热，安培力使b棒减速，动能全部转化为焦耳热，假设区域III足够长，b棒在水平导轨上停止，不滑入倾斜轨道；题中已知b恰好滑入倾斜轨道，在此解释为b以极小速度滑入，即近似动能全转化：b棒初动能：，
由能量关系可知，克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b此时的动能将全部转化成金属棒a的焦耳热Q，能量守恒有
（3）b棒滑入倾斜轨道时初速度近似为0因动能在区域III全转化为焦耳热。则在斜轨上初速度为0开始下滑，因为b棒与线圈组成的回路，直流电阻为零，所以必须满足在倾斜轨道倾角 θ，区域IV磁场 B0'），b棒受重力分力 mgsin θ 向下，切割磁感线产生电动势 Eb=B0'lv（v为速度），线圈随电流增加而产生阻碍电流和随电流减小而增加维持电流双重，使得简谐运动有了能量来源，回路含电感线圈自感系数 L，电阻不计，自感电动势。由电路方程：
可得
所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即
所以棒的运动方程为
可知金属棒做简谐运动，平衡位置时
a=0
即
由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为
（1）；（2）；（3）
【知识点】焦耳定律；匀变速直线运动的位移与速度的关系；简谐运动的回复力和能量；电磁感应中的动力学问题；电磁感应中的能量类问题
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