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广东江门市恩平市黄冈实验中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
3．设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）．
A．6 B． C．12 D．
4．如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ）

A． B． C． D．
8．已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
二、多选题
9．若复数，则（）
A． B．的虚部为
C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．是方程的复数根
10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．， D．的图象关于点对称
11．如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．连接，总有平面
B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为
C．平面平面
D．的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，若，则____________．
13．万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米．

14．若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________．
四、解答题
15．已知向量与的夹角为，求：
(1)；
(2)与的夹角的余弦值．
16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
17．已知分别为三个内角的对边，且
(1)求；
(2)若，且△ABC的面积为，求.
18．设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间及对称中心；
(3)求的解集．
19．如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形．
(1)证明：平面面；
(2)若，求直线和所成角的余弦值；
(3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值．
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以的共轭复数为.
2．D
【详解】因为为靠近点的三等分点，所以，
所以．
3．B
【详解】由已知可得，且
所以，.
所以，.
4．A
【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角，
所以在中，，所以，
即异面直线和所成角的大小是.
5．D
【详解】已知角终边上一点,则,
根据三角函数定义得,所以.
6．C
【详解】因为在上的投影向量为，，
所以在上的投影向量为．
7．B
【详解】半球的半径为6，半球的体积为，
圆台的体积为，
故该瓷器的体积为.
8．D
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，或与相交，故B错误；
对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点，过点作，，则，
过相交直线 作平面 ，
设 ，，
因为 ，，所以 ，又 ，
且 都在平面 γ内，所以 ， 因为 ，
根据平行线的线面垂直性质，得 ， 又 ，
根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确.
9．AC
【详解】.
选项A：，正确.
选项B：的虚部为，不是，错误.
选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确.
选项D：将代入方程可得：
，故不是该方程的根，错误.
10．BCD
【详解】由题意得，即，
因为，所以，A错误；
因为，所以，即，
解得，因为，所以，B正确；
因为的最小正周期为，所以，又
即，解得，，C正确；
由上可得，令，
得，所以的对称中心为，
取即得的图象关于点对称，D正确.
11．ACD
【详解】对于A，在正方体中，
由，且平面，平面，则平面，
又，且平面，平面，则平面，
又，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点，
则，则，
又，，
则，即，
过作于，则，则，
则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接，
又是等边三角形，则，则，则，
所以是二面角的平面角，
又，分别为，的中点，则，
所以在中，，故B错误；
对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以，
又是正方形，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，将和沿着展开至同一平面，
则当，，三点共线时，取得最小值，
由，，且，则，则，
又，则，
所以的最小值为，故D正确．
12．
【详解】由，得，即，解得.
13．
【详解】在中，，，，
所以，
由正弦定理可得，
即，解得，
在中，，，
由，
得
14．
【详解】由，得到，
因为在区间上有且只有个零点，故存在，
使得，
故，
因为，故且即，
故，
若，则即，
若，则，无解，
综上.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由向量与的夹角为，
则；
由；
（2）由，
则，
.
16．(1)
证明：连接交于点，连接；
因为底面是矩形，故为中点；
又因为M是PD的中点，故；
因为平面，平面，
故平面；
(2)证明：因为平面，平面，故；
因为底面是矩形，故；
因为，且平面；
故平面，因为平面，故；
又因为，且M是PD的中点，故；
因为，且平面，
故平面．
【详解】（1）略．
（2）略．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由，
结合正弦定理可得，
展开右侧三角式得，
消去同类项后化简为，
整理得，
由，得，解得.
（2）由三角形面积公式，
代入，得，
由余弦定理，
代入、，得，
联立，解得.
18．(1)
(2)的单调递增区间为，
的对称中心为
(3)
【详解】（1）由图知，，
由，得，
又，所以，
因为的图象过点，
所以，解得，
又，所以，
所以；
（2）由，
得，
所以的单调递增区间为，
由，得，
所以的对称中心为；
（3）因为，所以，
所以，
解得，
所以的解集为．
19．(1)因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面面．
(2)
(3)
【详解】（1）略．
（2）如下图，分别取的中点M、N，连接，
因为O为中点，所以且，
所以异面直线和所成角（或为邻补角）即为，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
由（1）知，平面，因为平面，所以，
由，得，得．
在直角三角形中，则，
在中，
所以直线和所成角的余弦值为．
（3）如下图，过点E作交于N．过点N作交于点M，连接，
因为且，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，因为平面，所以，，
在中，因为，所以，而，则，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
因为，
因为，所以，
又因为，所以，得，
因为，所以，
因为，所以，
所以．
所以二面角平面角的正切值为．

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