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四川省自贡市2026年中考数学真题
一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果无人机上升60m记作+60m，那么下降80m记作(　　)
A．+80m B．- 60m C．+20m D．- 80m
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：无人机上升记作，那么下降记作．
故答案为：D.
【分析】上升为正数，则下降为负数，据此解答即可．
2． 2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次.将95700用科学记数法表示为(　　)
A．0.957×104 B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意；
对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意；
对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意；
对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据主视图，左视图，俯视图是从正面，左面，上面看到的几何体的平面图形解答即可．
4．自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉.下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C. 该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
D. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形”逐项判断即可．
5．下列说法正确的是(　　)
A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查
B．“经过两点有且只有一条直线”是必然事件
C．任意一组数据的众数都只有一个
D．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为 说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；方差；众数
【解析】【解答】解：A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A错误；
B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B正确；
C、一组数据的众数可以有多个，例如数据的众数为和，故C错误；
D、方差越小，成绩越稳定，，故乙的跳高成绩比甲更稳定，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据调查的分类、事件的分类、众数的定义以及方差的意义逐项判断解答即可．
6．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p(单位： Pa)与受力面积S(单位：m2)存在函数关系.下表是他们实验的几组数据：
S (单位： m2) 1 2 4 8
p(单位： Pa) 80 40 20 10
则压强p (Pa)与受力面积S (m2)之间的函数关系式是(　　)
A． B．p =80S C． D．
【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵根据表格数据计算得：，，，，
∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据表格中数据得到p与S为反比例函数关系，求出函数解析式即可．
7． 如图， Rt△OAB中， ∠B=30°， OA=2， AB平行于x轴，将Rt△OAB绕原点O顺时针旋转180°到 △OCD位置，CD交y轴于点P，则点B的坐标为 (　　)
A．(0，-) B．(0，) C．(0，-1) D．(-，0)
【答案】A
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，，，
，
由旋转的性质得，，，，，轴，
，
，
中，，
在轴的负半轴，
的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到∠A=60°，根据旋转的性质可得∠COP=30°然后根据正弦的定义求出OP长，即可得到点P的坐标解答即可．
8．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作 正方形ABCD的面积记作 则 与S3的关系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据正方形的定义，利用AAS得到，根据对应边相等得到，然后根据勾股定理得到结论即可．
9． 如图，在 ABCD中， AB=8， AD=6， ∠D =60°， ∠DAB与∠ABC的角平分线分别交CD于点E，F ， AE与BF相交于点P，连接CP，则sin∠PCF 的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，则，，
平分，
，
在中，，则，，
在中，，则是等边三角形，
，则，
平分，
，
在中，，，则，
在中，，，则，
，
，则，
是的一个外角，且，
，
．
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠DEA=∠BAE=60°，即可得到是等边三角形，进而可得，然后根据的直角三角形性质求出，再根据等腰三角形的性质和外角性质得到，然后根据正弦的定义解答即可．
10．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿D→A→B→C匀速运动，到达点C后停止运动；同时点Q从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿D→C匀速运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动，过点P作 于点F.设运动时间为秒，PF+DQ=y，关于x的函数图象如图2所示，则CD的长为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过作于，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴四边形为矩形，
∴，
当在上运动时，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题设，则，
∴，
∴，
由函数图象可知，当
时， ，
∴，即，
当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时，
由函数图象可知，当时，
∴，即，
∴，
把代入中得，
解得；
∴在中，，
当点开始沿运动，此时，
∴，
代入时，得，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】过作于，即可得到四边形为矩形，然后根据平行线得到，根据对应边成比例求出的长，根据得到关系式，然后根据函数图象得到，，长，再根据沿运动时的函数图象得到长，利用线段的和差解答即可．
二、填空题(共5个小题，每小题4分，共20分）
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
12． 正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF 按如图摆放，则∠BCF =　 　°.
【答案】63
【知识点】等腰直角三角形；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形为正五边形，
∴，
∵是等腰直角三角形且，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：63.
【分析】根据正多边形的性质求出，然后利用等边对等角和三角形内角和求出，然后根据角的和差解答即可．
13．每天适量饮水有利于身体健康.生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为： 1， 1.5， 1.2，2.2，2(单位： L) .这组数据的中位数为　 　.
【答案】1.5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为：，，，，，
本组数据共有个，个数为奇数，中位数为排序后第个数，即．
故答案为：1.5.
【分析】将数据从小到大排列，居于中间的一个数是中位数，据此解答即可．
14． “剪纸”是自贡“小三绝”之一.学校劳动实践课上，要求用半径为2dm的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为1dm，剪去空白部分，则剩下部分面积为　 　 dm2
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；圆的面积
【解析】【解答】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为，
如图所示，
根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E，
∴，则，
∴，，，4个空白半圆的面积为，
∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：，
∴在中，弓形的面积为，
同理，大圆内4个花瓣的面积和为，
∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ．
故答案为：.
【分析】分别求出，，，4个空白半圆的面积为，然后求出阴影部分面积即可．
15． 如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作 交AD于点F.点G，H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且 FG与DH交于点P.连接BP，若AF=2，则BP的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，设边长为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，
∴，
∴，则，且，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，
∵圆周角，，
∴ 是等腰直角三角形 ，
∴，
如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
∴，
∵在直线上，且在正方形内部（），
∴ 圆心在的上方，且到的距离为，
∵的中点坐标为 ，
∴ 圆心的坐标为，连接，交圆弧于点，此时取得最小值 ，
∴ ．
故答案为：.
【分析】设边长为，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，根据正方形的性质可得，根据勾股定理求出a的值，然后根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，进而得到点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，求出r的值，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，再根据两点间距离公式计算即可．
三、解答题（共9题，共90分）
16．计算：
【答案】解：原式=
=1+1-2
=0.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值、零次幂和算术平方根，然后加减解答即可.
17．解不等式组：
【答案】解：
解不等式①得x<2，
解不等式②， 3(x+1)≥6，
3x+3≥6，
3x≥3，
解得x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．如图，在矩形ABCD中，点E， F分别为边AD， BC上的点，且DE=BF，连接AF， CE.求证： AF=CE.
【答案】证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∵DE =BF，
∴AD - DE=BC - BF
∴AE =CF
，点E， F分别为边AD， BC 上的点，
∴AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF =CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，，然后根据线段的和差得到，即可得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明即可．
19．为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛.从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目.投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共 人参与，其中“乒乓球”所占百分比为 ，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢兵乓球且又具实力的有4名同学(两男两女)，从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率.
【答案】（1）解：500；40%；
（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，
∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，
∴所抽取的两人为“一男一女”的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）羽毛球有150人，占比为，
∴，
∴本次投票共有500人，
∴“乒乓球”有（人），
∴“乒乓球”所占百分比为，
故答案为：500；40%；
【分析】（1）根据羽毛球的人数除以占比求出考查人数，根据考查人数减去其他球类比赛人数得到“乒乓球”的人数，求出占比并补全条形统计图；
（2）运用树状图法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
20．在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛.每场比赛结果分为胜、平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分.
（1）1班负了3场，总积分为20分，求1班胜了多少场
（2）2班总积分为15分，请直接写出2班比赛胜、平、负场数可能的结果(写出两种情况即可).
【答案】（1）解：设1班胜了x场，
∵一共15场比赛，负了3场，
∴平的场数为15-3-x=(12-x)场，
根据总积分为20分列方程： 3x+1×(12-x)=20，
化简得2x=8，
解得x=4，
答：1班胜了4场；
（2）解：设2班胜x场，平y场(x， y为非负整数，且
∵总积分为15分，
∴3x+y=15，即y=15-3x
取非负整数解即可：
则15-0-15=0； 即负0场，即胜0平15负0；
则负场15-1-12=2， 即胜1平12负2；
则负场15-2-9=4， 即胜2平9负4；
则负场15-3-0=6， 即胜3平0负0；
则负场15-4-3=8， 即胜4平3负8；
则负场15-5-0=10， 即胜5平0负10 (任选两种写出即可).
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【分析】（1）设班胜了场，则平(12-x)场，再根据“ 总积分为20分， ”列一元一次方程，求解得到胜场数即可；
（2）设班胜场，平场，根据“总积分为15分”列二元一次方程，列举出所有符合条件的非负整数解解答即可．
21．如图，反比例函数 与一次函数 的图象相交于A，B两点，点A的坐标为(-6，-3).
（1）求反比例函数的解析式及n的值；
（2）请直接写出当 时的取值范围；
（3）点P是直线 上的一个动点，当OP⊥AB时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数 经过点A(-6，-3)，
∴反比例函数的解析式为
∵一次函数. 的图象经过点A(-6，-3)，
-3=-6+n，解得n=3
（2）x<-0或0（3）解：设直线 与坐标轴的交点分别为C和D，
令x=0，则y=3，令y=0，则x=-3，
OC=OD=3
是等腰直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴点P是CD的中点，
∴点P的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（2）由(1)知一次函数的解析式为
联立得
解得x=-0或x=3，
∴点B的坐标为(3，6)，
∴当 时x的取值范围为x<-0或0故答案为：x<-0或0【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式求得交点B的坐标，借助函数图象得到反比例函数图象在一函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
（3）设直线 与坐标轴的交点分别为C和D，求出点C和D的坐标，得到是等腰直角三角形，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可．
22． 如图1，等边△ABC内接于⊙O， D为BC中点，连接OD并延长交⊙O于点E， 作
（1）求证： EM是⊙O的切线.
（2）如图2，点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与⊙O的优弧BAC交于点P(与点B，C不重合)，连接PA， PC.
①在点F运动过程中，请探究线段PA，PB，PC的数量关系并说明理由；
②连接CE，若 当点P到CE的距离最大时，请直接写出 的值.
【答案】（1）证明： ∵D为BC中点， E在OD的延长线上，
∴OE⊥BC，
∴EM∥BC，
：OE⊥EM，
∵OE是⊙O的切线
（2）解：①PC=PA+PB或PC=PB-PA， 理由如下：
当点P在AB上时，如图，在PC上取点T使得， PT =PA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =60°， AB=AC，
∴∠APC =∠ABC =60°，
∴△APT是等边三角形，
∴AT=AP， ∠PTA =60°，
∴∠ATC =120°，
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠APB+∠ACB =180°，
∴∠APB =120°，
∴∠APB =∠ATC ，
又∵AP=AP，
∴∠ABP =∠ACT ，
∴△ABP≌△ACT(AAS)，
∴PB=TC ，
∴PC=PT+TC=PA+PB ；即PC=PA+PB ，
当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA，
同理可得∠APB =∠ACB =60°，
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠APB+∠ACB =180°，
∴∠APB =120°，
∴∠APS =60°，
∴△APS 是等边三角形，
∴∠S =∠APB ，
又∵AB=AC， ∠ABP =∠ACP，
∴△SAC≌△PAB(AAS)，
∴PB=SC=PC+PS=PC+PA ，即PC=PB-P
②
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）②∵点P在优弧BAC上，
∴当点P到CE的距离最大时， PO⊥CE，如图所示，设PO，CE的交点为M，连接OC， OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC =2∠BAC =120°，
∵OE⊥BC，
又∵OE =OC，
∴△OCE是等边三角形，
∴OD =1，则OC =2， EC =OC =2，
∵OM⊥EC，CD⊥OE，
在Rt△PCM中，
∵∠BOC =120°，OB=OC ，
∴∠OBC =∠OCB =30°，
∴∠OBC =∠BCE =30°，
∴OB∥EC，
∵PO⊥EC，
∴PO⊥OB ，
又∵OB =OP ，
由(1)可得P在AB上， PC=PA+PB，
如图，过点P，B分别作BC，EF的垂线，垂足分别为G，H ，则四边形BHED是矩形，BH =DE =OE-OD =2-1=1，
∵∠BPC =∠BAC=60°， OP =OC，
∵BC∥ME ，
∴∠BFH =∠PBG，
故答案为：
【分析】（1）根据垂径定理的推论可得，再利用即可得到，证明结论即可；
（2）分情况讨论，当点在上时，在上取点使得，，根据等边三角形的性质，即可得到△APT是等边三角形，利用AAS得到，得出，进而根据线段的和差得出结论；当点在上时，在的延长线上取，先根据等边三角形的性质得到△APS 是等边三角形，进而根据AAS得到，进而根据线段的和差得到结论；
②得出当点到的距离最大时，，设的交点为，连接，，解直角三角形求出长，过点P，B分别作BC，EF的垂线，垂足分别为G，H ，则四边形BHED是矩形，再解直角三角形求出，的长，然后代入求出比值解答即可．
23．在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度.要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪(高度1.5m)和笔直的竹竿(长度2m)进行测量.
（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE (长度2m)顶部E恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离DF=2m.小刚将观测点F 后移13m到F 处，采用同样方法，测得D'F'=3m.小刚眼睛距离地面的高度FG=F'G'=0.8m，点F'，D'，F ，D与树的底部C在同一水平线上.据此可知点E到BG 的距离EH为 m，图中两组相似三角形是 ，请帮助小刚计算出此树的高度 (结果精确到0.1m).
（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪(高度1.5m)测得树顶端A的仰角∠AGB =26.7，前行到点E 处测得树顶端A的仰角 点E，F与树的底部C在同一水平线上，量得EF=16m.请按此方案求树的高度(结果精确到0.1m).(参考数据
（3）两种方法算出树的高度一致吗 如果不一致，请分析原因(写出一条即可).
【答案】（1）解：1.2m；△GHE∽△GBA 和 △GHE∽△GBA
由题意可得，，，，，则．
第一次测量：，
，即，
第二次测量：，
，即，
，解得，
，解得，
此树的高度为．
（2）解：由题意可得， FG=1.5m， ∠AGB=20.7， ∠ADB=45°， GD =EF =10m，
在Rt△ABD中， ∠ADB=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形， ∠ABD=90°，
∴AB =BD
在Rt△ABG中， 即
解得AB≈16，
∴此树的高度为AB+BC=AB+FG=16+1.5=17.5m.
（3）不一致.
原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
，
图中两组相似三角形是 和 ，
故答案为：1.2m； 和 ；
【分析】
（1）根据线段的和差得到EH长，然后根据平行线得到 和 ，根据对应边成比例得到，求出GB长解答即可．
（2）根据△ABD是等腰直角三角形得到，在中，利用正切的定义求出AB长解答即可．
（3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可．
24．平面直角坐标系中，抛物线 经过(0，6)和(2，4)两点.
（1）求m，n的值.
（2）如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A，B，C，D(点A在第三象限，点C在第二象限).
①求线段OC长度的最小值；
②连接AC，BD分别交x轴于E，F 两点，设 的面积分别为 是否存在直线AB使 若存在，求出直线AB的解析式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： ∵抛物线 经过(0，6)和(2，4)两点，
解得
（2）①由(1)得
∴抛物线的解析式为
设
令
∴当t=10时，线段OC长度的最小值为
②设
设直线AC的解析式为y= kx+b，
则直线AC的解析式为
令y=0，则
解得
设直线AO的解析式为 则
解得
∴直线AO的解析式为
联立得
解得
当 时，
设直线CO的解析式为 则 解得
∴直线CO的解析式为
联立得
解得
当 时，
则直线BD的解析式为
令y=0，则
解得
∴OE =OF，
的底边相同，
(舍去正值)，
，
∴直线AB的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①设，根据两点间距离公式表示OC长，令 将OC的关系式配方为顶点式，得到最值解答即可；
②设，，分别根据待定系数法求得直线、，的解析式，再求出点、、的坐标，进而可得直线的解析式，求得点的坐标，得到，根据三角形的面积公式列方程求出a的解答即可．
1 / 1四川省自贡市2026年中考数学真题
一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果无人机上升60m记作+60m，那么下降80m记作(　　)
A．+80m B．- 60m C．+20m D．- 80m
2． 2026年春节期间，自贡市江姐故里、玉章故里等红色旅游景区接待游客约95700人次.将95700用科学记数法表示为(　　)
A．0.957×104 B． C． D．
3．下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是(　　)
A． B． C． D．
4．自贡灯会素有“天下第一灯”的美誉.下面四幅灯组图案中，属于轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是(　　)
A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况应采用全面调查
B．“经过两点有且只有一条直线”是必然事件
C．任意一组数据的众数都只有一个
D．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为 说明甲的跳高成绩比乙的跳高成绩更稳定
6．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p(单位： Pa)与受力面积S(单位：m2)存在函数关系.下表是他们实验的几组数据：
S (单位： m2) 1 2 4 8
p(单位： Pa) 80 40 20 10
则压强p (Pa)与受力面积S (m2)之间的函数关系式是(　　)
A． B．p =80S C． D．
7． 如图， Rt△OAB中， ∠B=30°， OA=2， AB平行于x轴，将Rt△OAB绕原点O顺时针旋转180°到 △OCD位置，CD交y轴于点P，则点B的坐标为 (　　)
A．(0，-) B．(0，) C．(0，-1) D．(-，0)
8．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作 正方形ABCD的面积记作 则 与S3的关系是(　　)
A． B． C． D．
9． 如图，在 ABCD中， AB=8， AD=6， ∠D =60°， ∠DAB与∠ABC的角平分线分别交CD于点E，F ， AE与BF相交于点P，连接CP，则sin∠PCF 的值为 (　　)
A． B． C． D．
10．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿D→A→B→C匀速运动，到达点C后停止运动；同时点Q从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿D→C匀速运动，当点P停止运动时点Q也随之停止运动，过点P作 于点F.设运动时间为秒，PF+DQ=y，关于x的函数图象如图2所示，则CD的长为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题(共5个小题，每小题4分，共20分）
11．分解因式：　 　．
12． 正五边形ABCDE与等腰Rt△CDF 按如图摆放，则∠BCF =　 　°.
13．每天适量饮水有利于身体健康.生活老师想了解全班学生饮水情况，随机抽取该班5名学生进行调查，他们每天的饮水量分别为： 1， 1.5， 1.2，2.2，2(单位： L) .这组数据的中位数为　 　.
14． “剪纸”是自贡“小三绝”之一.学校劳动实践课上，要求用半径为2dm的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为1dm，剪去空白部分，则剩下部分面积为　 　 dm2
15． 如图，正方形ABCD中，点E为CD的中点，作 交AD于点F.点G，H分别在等腰Rt△DFQ的直角边DQ和斜边FQ上，且 FG与DH交于点P.连接BP，若AF=2，则BP的最小值为　 　.
三、解答题（共9题，共90分）
16．计算：
17．解不等式组：
18．如图，在矩形ABCD中，点E， F分别为边AD， BC上的点，且DE=BF，连接AF， CE.求证： AF=CE.
19．为促进学生积极参加体育活动，某校准备在八年级开展球类比赛.从“羽毛球”“排球”“乒乓球”“篮球”四类中，通过投票选出最受欢迎的项目.投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共 人参与，其中“乒乓球”所占百分比为 ，并补全条形统计图；
（2）某班最喜欢兵乓球且又具实力的有4名同学(两男两女)，从这4人中随机抽取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人为“一男一女”的概率.
20．在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛.每场比赛结果分为胜、平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分.
（1）1班负了3场，总积分为20分，求1班胜了多少场
（2）2班总积分为15分，请直接写出2班比赛胜、平、负场数可能的结果(写出两种情况即可).
21．如图，反比例函数 与一次函数 的图象相交于A，B两点，点A的坐标为(-6，-3).
（1）求反比例函数的解析式及n的值；
（2）请直接写出当 时的取值范围；
（3）点P是直线 上的一个动点，当OP⊥AB时，求点P的坐标.
22． 如图1，等边△ABC内接于⊙O， D为BC中点，连接OD并延长交⊙O于点E， 作
（1）求证： EM是⊙O的切线.
（2）如图2，点F为射线EM上的动点，连接FB并延长与⊙O的优弧BAC交于点P(与点B，C不重合)，连接PA， PC.
①在点F运动过程中，请探究线段PA，PB，PC的数量关系并说明理由；
②连接CE，若 当点P到CE的距离最大时，请直接写出 的值.
23．在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度.要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪(高度1.5m)和笔直的竹竿(长度2m)进行测量.
（1）小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE (长度2m)顶部E恰好看到树顶端A，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离DF=2m.小刚将观测点F 后移13m到F 处，采用同样方法，测得D'F'=3m.小刚眼睛距离地面的高度FG=F'G'=0.8m，点F'，D'，F ，D与树的底部C在同一水平线上.据此可知点E到BG 的距离EH为 m，图中两组相似三角形是 ，请帮助小刚计算出此树的高度 (结果精确到0.1m).
（2）小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪(高度1.5m)测得树顶端A的仰角∠AGB =26.7，前行到点E 处测得树顶端A的仰角 点E，F与树的底部C在同一水平线上，量得EF=16m.请按此方案求树的高度(结果精确到0.1m).(参考数据
（3）两种方法算出树的高度一致吗 如果不一致，请分析原因(写出一条即可).
24．平面直角坐标系中，抛物线 经过(0，6)和(2，4)两点.
（1）求m，n的值.
（2）如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A，B，C，D(点A在第三象限，点C在第二象限).
①求线段OC长度的最小值；
②连接AC，BD分别交x轴于E，F 两点，设 的面积分别为 是否存在直线AB使 若存在，求出直线AB的解析式；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：无人机上升记作，那么下降记作．
故答案为：D.
【分析】上升为正数，则下降为负数，据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意；
对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意；
对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意；
对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据主视图，左视图，俯视图是从正面，左面，上面看到的几何体的平面图形解答即可．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C. 该图形能找到一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意；
D. 该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形”逐项判断即可．
5．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；方差；众数
【解析】【解答】解：A、全国中学生数量庞大，全面调查难度大，应采用抽样调查，故A错误；
B、“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，该事件一定发生，属于必然事件，故B正确；
C、一组数据的众数可以有多个，例如数据的众数为和，故C错误；
D、方差越小，成绩越稳定，，故乙的跳高成绩比甲更稳定，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据调查的分类、事件的分类、众数的定义以及方差的意义逐项判断解答即可．
6．【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵根据表格数据计算得：，，，，
∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据表格中数据得到p与S为反比例函数关系，求出函数解析式即可．
7．【答案】A
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，，，
，
由旋转的性质得，，，，，轴，
，
，
中，，
在轴的负半轴，
的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到∠A=60°，根据旋转的性质可得∠COP=30°然后根据正弦的定义求出OP长，即可得到点P的坐标解答即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可知，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∵，，，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据正方形的定义，利用AAS得到，根据对应边相等得到，然后根据勾股定理得到结论即可．
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，则，，
平分，
，
在中，，则，，
在中，，则是等边三角形，
，则，
平分，
，
在中，，，则，
在中，，，则，
，
，则，
是的一个外角，且，
，
．
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠DEA=∠BAE=60°，即可得到是等边三角形，进而可得，然后根据的直角三角形性质求出，再根据等腰三角形的性质和外角性质得到，然后根据正弦的定义解答即可．
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过作于，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴四边形为矩形，
∴，
当在上运动时，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题设，则，
∴，
∴，
由函数图象可知，当
时， ，
∴，即，
当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时，
由函数图象可知，当时，
∴，即，
∴，
把代入中得，
解得；
∴在中，，
当点开始沿运动，此时，
∴，
代入时，得，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】过作于，即可得到四边形为矩形，然后根据平行线得到，根据对应边成比例求出的长，根据得到关系式，然后根据函数图象得到，，长，再根据沿运动时的函数图象得到长，利用线段的和差解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用平方差公式计算求解即可。
12．【答案】63
【知识点】等腰直角三角形；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形为正五边形，
∴，
∵是等腰直角三角形且，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：63.
【分析】根据正多边形的性质求出，然后利用等边对等角和三角形内角和求出，然后根据角的和差解答即可．
13．【答案】1.5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为：，，，，，
本组数据共有个，个数为奇数，中位数为排序后第个数，即．
故答案为：1.5.
【分析】将数据从小到大排列，居于中间的一个数是中位数，据此解答即可．
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；圆的面积
【解析】【解答】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为，
如图所示，
根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E，
∴，则，
∴，，，4个空白半圆的面积为，
∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：，
∴在中，弓形的面积为，
同理，大圆内4个花瓣的面积和为，
∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ．
故答案为：.
【分析】分别求出，，，4个空白半圆的面积为，然后求出阴影部分面积即可．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，设边长为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图所示，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，
∴，
∴，则，且，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，
∵圆周角，，
∴ 是等腰直角三角形 ，
∴，
如图，建立平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
∴，
∵在直线上，且在正方形内部（），
∴ 圆心在的上方，且到的距离为，
∵的中点坐标为 ，
∴ 圆心的坐标为，连接，交圆弧于点，此时取得最小值 ，
∴ ．
故答案为：.
【分析】设边长为，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 在 的延长线上，根据正方形的性质可得，根据勾股定理求出a的值，然后根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，进而得到点 在以 为弦，含 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 ，半径为，求出r的值，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，再根据两点间距离公式计算即可．
16．【答案】解：原式=
=1+1-2
=0.
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值、零次幂和算术平方根，然后加减解答即可.
17．【答案】解：
解不等式①得x<2，
解不等式②， 3(x+1)≥6，
3x+3≥6，
3x≥3，
解得x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x<2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．【答案】证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC， AD∥BC，
∵DE =BF，
∴AD - DE=BC - BF
∴AE =CF
，点E， F分别为边AD， BC 上的点，
∴AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF =CE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得，，然后根据线段的和差得到，即可得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明即可．
19．【答案】（1）解：500；40%；
（2）解：用列表法或画树状图法表示所有等可能结果如下，分别用男1，男2，女1，女2表示，
∴共有12种等可能结果，其中“一男一女”的结果有8种，
∴所抽取的两人为“一男一女”的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）羽毛球有150人，占比为，
∴，
∴本次投票共有500人，
∴“乒乓球”有（人），
∴“乒乓球”所占百分比为，
故答案为：500；40%；
【分析】（1）根据羽毛球的人数除以占比求出考查人数，根据考查人数减去其他球类比赛人数得到“乒乓球”的人数，求出占比并补全条形统计图；
（2）运用树状图法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
20．【答案】（1）解：设1班胜了x场，
∵一共15场比赛，负了3场，
∴平的场数为15-3-x=(12-x)场，
根据总积分为20分列方程： 3x+1×(12-x)=20，
化简得2x=8，
解得x=4，
答：1班胜了4场；
（2）解：设2班胜x场，平y场(x， y为非负整数，且
∵总积分为15分，
∴3x+y=15，即y=15-3x
取非负整数解即可：
则15-0-15=0； 即负0场，即胜0平15负0；
则负场15-1-12=2， 即胜1平12负2；
则负场15-2-9=4， 即胜2平9负4；
则负场15-3-0=6， 即胜3平0负0；
则负场15-4-3=8， 即胜4平3负8；
则负场15-5-0=10， 即胜5平0负10 (任选两种写出即可).
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【分析】（1）设班胜了场，则平(12-x)场，再根据“ 总积分为20分， ”列一元一次方程，求解得到胜场数即可；
（2）设班胜场，平场，根据“总积分为15分”列二元一次方程，列举出所有符合条件的非负整数解解答即可．
21．【答案】（1）解：∵反比例函数 经过点A(-6，-3)，
∴反比例函数的解析式为
∵一次函数. 的图象经过点A(-6，-3)，
-3=-6+n，解得n=3
（2）x<-0或0（3）解：设直线 与坐标轴的交点分别为C和D，
令x=0，则y=3，令y=0，则x=-3，
OC=OD=3
是等腰直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴点P是CD的中点，
∴点P的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】（2）由(1)知一次函数的解析式为
联立得
解得x=-0或x=3，
∴点B的坐标为(3，6)，
∴当 时x的取值范围为x<-0或0故答案为：x<-0或0【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式求得交点B的坐标，借助函数图象得到反比例函数图象在一函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
（3）设直线 与坐标轴的交点分别为C和D，求出点C和D的坐标，得到是等腰直角三角形，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可．
22．【答案】（1）证明： ∵D为BC中点， E在OD的延长线上，
∴OE⊥BC，
∴EM∥BC，
：OE⊥EM，
∵OE是⊙O的切线
（2）解：①PC=PA+PB或PC=PB-PA， 理由如下：
当点P在AB上时，如图，在PC上取点T使得， PT =PA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC =∠ACB =60°， AB=AC，
∴∠APC =∠ABC =60°，
∴△APT是等边三角形，
∴AT=AP， ∠PTA =60°，
∴∠ATC =120°，
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠APB+∠ACB =180°，
∴∠APB =120°，
∴∠APB =∠ATC ，
又∵AP=AP，
∴∠ABP =∠ACT ，
∴△ABP≌△ACT(AAS)，
∴PB=TC ，
∴PC=PT+TC=PA+PB ；即PC=PA+PB ，
当点P在AC上时，如图所示，在CP的延长线上取PS=PA，
同理可得∠APB =∠ACB =60°，
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠APB+∠ACB =180°，
∴∠APB =120°，
∴∠APS =60°，
∴△APS 是等边三角形，
∴∠S =∠APB ，
又∵AB=AC， ∠ABP =∠ACP，
∴△SAC≌△PAB(AAS)，
∴PB=SC=PC+PS=PC+PA ，即PC=PB-P
②
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的判定；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）②∵点P在优弧BAC上，
∴当点P到CE的距离最大时， PO⊥CE，如图所示，设PO，CE的交点为M，连接OC， OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC =2∠BAC =120°，
∵OE⊥BC，
又∵OE =OC，
∴△OCE是等边三角形，
∴OD =1，则OC =2， EC =OC =2，
∵OM⊥EC，CD⊥OE，
在Rt△PCM中，
∵∠BOC =120°，OB=OC ，
∴∠OBC =∠OCB =30°，
∴∠OBC =∠BCE =30°，
∴OB∥EC，
∵PO⊥EC，
∴PO⊥OB ，
又∵OB =OP ，
由(1)可得P在AB上， PC=PA+PB，
如图，过点P，B分别作BC，EF的垂线，垂足分别为G，H ，则四边形BHED是矩形，BH =DE =OE-OD =2-1=1，
∵∠BPC =∠BAC=60°， OP =OC，
∵BC∥ME ，
∴∠BFH =∠PBG，
故答案为：
【分析】（1）根据垂径定理的推论可得，再利用即可得到，证明结论即可；
（2）分情况讨论，当点在上时，在上取点使得，，根据等边三角形的性质，即可得到△APT是等边三角形，利用AAS得到，得出，进而根据线段的和差得出结论；当点在上时，在的延长线上取，先根据等边三角形的性质得到△APS 是等边三角形，进而根据AAS得到，进而根据线段的和差得到结论；
②得出当点到的距离最大时，，设的交点为，连接，，解直角三角形求出长，过点P，B分别作BC，EF的垂线，垂足分别为G，H ，则四边形BHED是矩形，再解直角三角形求出，的长，然后代入求出比值解答即可．
23．【答案】（1）解：1.2m；△GHE∽△GBA 和 △GHE∽△GBA
由题意可得，，，，，则．
第一次测量：，
，即，
第二次测量：，
，即，
，解得，
，解得，
此树的高度为．
（2）解：由题意可得， FG=1.5m， ∠AGB=20.7， ∠ADB=45°， GD =EF =10m，
在Rt△ABD中， ∠ADB=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形， ∠ABD=90°，
∴AB =BD
在Rt△ABG中， 即
解得AB≈16，
∴此树的高度为AB+BC=AB+FG=16+1.5=17.5m.
（3）不一致.
原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
，
图中两组相似三角形是 和 ，
故答案为：1.2m； 和 ；
【分析】
（1）根据线段的和差得到EH长，然后根据平行线得到 和 ，根据对应边成比例得到，求出GB长解答即可．
（2）根据△ABD是等腰直角三角形得到，在中，利用正切的定义求出AB长解答即可．
（3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可．
24．【答案】（1）解： ∵抛物线 经过(0，6)和(2，4)两点，
解得
（2）①由(1)得
∴抛物线的解析式为
设
令
∴当t=10时，线段OC长度的最小值为
②设
设直线AC的解析式为y= kx+b，
则直线AC的解析式为
令y=0，则
解得
设直线AO的解析式为 则
解得
∴直线AO的解析式为
联立得
解得
当 时，
设直线CO的解析式为 则 解得
∴直线CO的解析式为
联立得
解得
当 时，
则直线BD的解析式为
令y=0，则
解得
∴OE =OF，
的底边相同，
(舍去正值)，
，
∴直线AB的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①设，根据两点间距离公式表示OC长，令 将OC的关系式配方为顶点式，得到最值解答即可；
②设，，分别根据待定系数法求得直线、，的解析式，再求出点、、的坐标，进而可得直线的解析式，求得点的坐标，得到，根据三角形的面积公式列方程求出a的解答即可．
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