资源简介

山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一下学期第四次质量检测数学试题
一、单选题
1．， ，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．， B．，
C．， ，共面 D．， ，共点 ， ，共面
2．在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少摸出个白球 B．至少摸出个红球
C．摸出个白球 D．摸出个白球或摸出个红球
3．为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）
A． B． C． D．
4．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（ ）
A．16 B．30 C．24 D．18
5．在空间四边形中， ， ，，分别是， 的中点 ，，则异面直线与所成角的大小为
A． B． C． D．
6．袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球 3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．四棱锥中，，其余各棱的长均为2，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，为空间中两条不同的直线，，，为空间中三个不同的平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
10．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
11．如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是中点，在正方形（含边界）内运动，点分别在线段和上运动，则下列结论正确的是（ ）

A．点到平面的距离为
B．二面角的余弦值为
C．当//平面时，点的轨迹长度为
D．线段长度的最小值为2
三、填空题
12．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则此三棱柱的体积为______．
13．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为______．
14．如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________.

四、解答题
15．已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点．
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值．
16．一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个.
(1)求连续两次都取到白球的概率；
(2)若到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率.
17．某学校为了解本校历史 物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
(1)求和乙样本直方图中的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
18．如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
19．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.
参考答案
1．B
解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．
选项A，可能相交．选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.
2．C
【详解】对于A，至少摸出个白球与摸出个白球个红球不是互斥事件；
对于B，至少摸出个红球与摸出个白球个红球不是互斥事件；
对于C，摸出个白球与摸出个白球个红球是互斥而不对立事件；
对于D，摸出个白球或摸出个红球与摸出个白球个红球是互斥也是对立事件.
故选：C．
3．B
【详解】由题意，设直播所占的百分比为，
根据统计图可得：，解得，
因此采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为.
故选：B.
4．C
【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10，
所以高三年级三个班优秀学生总人数为人.
故选：C
5．D
【详解】如图所示：

设的中点为，连接，
所以，
则是所成的角或其补角，
又
根据余弦定理得：，
所以，
异面直线与所成角的为，
故选D.
6．A
【详解】袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球 3个白球，
从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到白球的情况有两种：
①第一次摸到白球，第二次摸到白球，概率为：，
②第一次摸到红球，第二次摸到白球，概率为：，
则第二次摸到白球的概率为．
故选：A．
7．B
【详解】
∵，，∴上、下底面的面积分别为，
设正四棱台的高为，
连接，分别取的中点，
由正四棱台性质可知：面，面，∴，
过作交于，则，面，
∴，为与底面所成的角，
∵，
由，
可得：，即，
所以.
故选：B.
8．B
【详解】如图，取中点，中点，连接，，，
因为，，
所以，，且，，，
所以，所以，
所以，
因为，，，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过作于，则平面，
所以就是点到平面的距离，
所以，
所以点到平面的距离为，
故选：B．
9．BCD
【详解】对于A，若，，则或，故A不正确；
对于B，若，，，则（线面平行的性质定理），故B正确；
对于C，若，，所以，又且，是空间两个不同的平面，则，故C正确；
对于D，因为，如下图，

若分别为面、面、面，且为，
显然面，则，故D正确；
故选：BCD.
10．AC
【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为，所以A项正确；
由方差的公式，可得，所以标准差为，所以B项不正确；
根据众数的概念，可得数据的众数为和，所以C项正确；
数据从小到大排序：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，根据百分位数的概念，可得第85百分位数是第9个数据的值，即为5，所以D项不正确.
故选：AC.
11．ABD
【详解】对于A，连接，交于，连接，

因为四边形为正方形，则为，的中点，
又因为，
所以，，
由于，，平面，
所以平面，，
所以四棱锥的的体积，
设点D到平面的距离为，，
由，得，解得：，故A正确；
对于B，取中点，连接，，

因为，，则，，
所以二面角的平面角为，
因为，，所以，故B正确；
对于C，取中点，连接，，，，

因为，分别为，的中点，所以，由于平面，平面，所以平面，
同理可得平面，由于，且，平面，所以平面平面，
由于在正方形（含边界）内运动，//平面，则点运动轨迹为平面
与正方形（含边界）的交线，即线段，长度为，故C错误；
对于D，连接，，，交于，

由A选项可知与垂直平分，则四边形为菱形，因为，，
所以，即，所以菱形为正方形，
所以当点分别在线段和上运动时，，故D正确；
故选：ABD
12．/
【详解】取中点，连接，
已知底面是正三角形，故，
又底面，故，
又，平面，
故平面，又平面，
，故即为二面角的平面角，
所以，
已知，则，
在中，，
解得，
．
13．3.56
解：设男职工的指标数分别为，女职工的指标数分别为，
则，，
所以，，
所以本次调查的总样本的平均数为，
本次调查的总样本的方差是
故答案为：
14． 1
【详解】取的中点为E，分别连接和，
细查题意知，只有当是的中点时，才满足题意，原因如下：
当是的中点时，，，，
平面，平面，
∵，
∴平面平面，
∵平面，
平面，
平面平面，
又平面平面，平面平面，
，又，
四边形为平行四边形，
，即为的中点，
所以；
球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，
，，
，即，易得，
取的中点为，故可得，
平面平面，平面，
平面平面，
圆心距，设交线的轨迹为PQ，，
截面圆半径，
又因为，所以为等边三角形，
.
故答案为：1，.

15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接,
由于是中点，故,且，
又且，
故,则四边形为平行四边形，
故平面, 平面,
故平面
（2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角，
由于为边长为2的等边三角形，故，
,
故,
故直线CN与AM所成角的余弦值为
16．(1)
(2)
【详解】（1）连续取两次所包含的基本事件有：
（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16.
设事件：连续取两次都是白球，所包含的基本事件有：
（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个，
所以，.
（2）设事件：连续取两次分数之和为3分，设事件：连续取两次分数之和为4分，设事件：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件与事件互斥，
因为事件所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以，
因为事件所包含的基本事件有：（红，红），所以，
故.
即连续两次取球所得分数之和大于2分的概率为.
17．(1)；；
(2)平均值81.5，中位数82；
(3)
【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得；
（2）甲样本数据的平均值估计值为
，
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
，
解得，所以乙样本数据的中位数为82.
（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为，
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，共15个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图所示，取中点，连接，
是正三角形，
又平面平面，且平面平面，
平面，平面,，
，且，
平面；
（2）
如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接，
设，，则，
由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，
平面，，
则，，
解得：，
故，，且，即，解得，，，
又，所以平面，，
，且，即，解得，，，
所以点为线段的中点，故点也为线段中点，
所以，，
所以即为二面角的平面角，
.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，.
【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点，
平面，
平面，
，
四边形为菱形，
，
，平面，
平面，
平面，
；
（2）由题意可得 与都是边长为2的等边三角形，
，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得.
故点到平面的距离为.
（3）设直线与平面所成的角为，
，
到平面的距离即为到平面的距离.
过作垂线平面交于点，则，
此时，要使最大，则需使最小，此时.
由题意可知：，，
平面，且，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
，
由面积相等，
即，解得：，
，，
即点在线段上靠近点的4分点处，此时，.

展开更多......

收起↑