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四川省遂宁市2026年中考数学真题
1．的绝对值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： 的绝对值是 ，
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值是他的相反数解答即可.
2．下图是一种常见的化学实验仪器漏斗，它的俯视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看，能看到一个大圆和中间的一个小圆，即：
。
故答案为：B.
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
3．年月日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰福建舰入列已知单次弹射需要释放的能量约为兆焦耳，用科学记数法将数据表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列计算错误的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：根据积的乘方法则，，运算正确．
选项B：合并同类项得，运算正确．
选项C：根据完全平方公式，，运算正确．
选项D：根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，， 本选项计算错误．
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式和去括号法则逐项判断解答即可．
5．已知点是第三象限内一点，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点在第三象限，
∴，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用第三象限点的横、纵坐标均为负数列不等式组解答即可.
6．关于的一元二次方程的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵对于一元二次方程， ，，
∴判别式，
又∵任意实数的平方非负，即，
∴，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用根的判别式，即可得到方程根的情况，据此解答即可.
7．关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
由数轴可知，不等式组的解集为，
，
解得．
故答案为：B.
【分析】分别解两个不等式得到x的取值范围，结合数轴上的解集 得到1-k=2，求出k的值解答即可．
8．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽不考虑接缝处损耗，若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： 圆锥底面圆直径为，
圆锥底面圆周长 ，
扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长
设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得：
解得，
扇形纸片的圆心角为．
故答案为：D.
【分析】根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长列等式求出圆心角的度数即可.
9．如图，在中，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好在边上，点是点的对应点，则两点间的距离为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵点M是边 的中点，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点作，先根据勾股定理求出，然后求出∠BAC的正弦值和余弦值，再根据旋转可得，然后解直角三角形求出AN和M'N的长，再根据勾股定理解答即可．
10．如图，抛物线为常数，且与轴的两个交点坐标分别为，且下列结论：；；；若方程有实数根，则其中正确结论的序号为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：① 抛物线开口向上，
，
∵与x轴的两个交点坐标分别为，
∴对称轴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴对称轴在 轴右侧，
，
，
抛物线与 轴交于负半轴，
，
，
故①正确；
，
由 和可得，
故②结论错误；
③当时，抛物线有最小值，，
∵，，
∴当时，随 增大而减小，当 时，；当 时，；
∴，
故③正确；
④ 方程有实数根，
，即.
，
，
，
，
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点的位置得到a，b，c的正负关系判断①；根据抛物线上点的坐标得到，，然后代入3a+c求出取值范围判断②；得到对称轴为，可得，根据函数的增减性求出最小值的取值范围判断③；计算方程根的判别式得到，整理得，再根据a>0得到2a>a得到结论判断④解答即可.
11．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则　 　填“”、“”或“”
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴．
故答案为：<.
【分析】通过数轴上点的位置得到，即可得到，比较大小解答即可．
12．某班甲、乙、丙名同学参加实心球测试，每人投掷实心球次成绩的平均数单位：米及方差如下表：
项目 甲 乙 丙
根据表中信息，选择名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是　 　．
【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表格数据可得：，，，
因此乙和丙的平均成绩优于甲
又，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，
因此丙的发挥比乙更稳定
综上，丙的成绩好且发挥稳定．
故答案为：丙.
【分析】先比较平均数，平均数越大成绩越好；然后比较方差，根据方差越小，成绩越稳定；据此解答即可．
13．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连结，则的周长为　 　 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
在中，
由勾股定理得
是线段 的垂直平分线
的周长为： ．
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求出 长，利用线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长为，代入数值计算即可.
14．值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，个杯子叠放成一摞的总高度为，个杯子叠放成一摞的总高度为，如图所示请问将个这款杯子放在限高的摆放区，至少需要叠放　 　 摞
【答案】3
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据题意得：
，
解得，
∴n个杯子叠放的高度公式为，
又每一摞的总高度不超过，
∴，
解得，
因为n是整数，所以一摞最多放19个杯，
（摞）（个），
剩下的12个还需要1摞，所以至少需要（摞）．
故答案为：3.
【分析】设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据“4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为”列二元一次方程组求出a和b的值，即可得到n个杯子叠放的高度为，根据高度不超过列不等式求出的最大值，然后求出摞数即可．
15．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，交的延长线于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线点在边上，且，连接并延长，交于点，连结，交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意可知 平分 ，
四边形 是正方形，
，
点 在 的延长线上，
，
，
过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形，
平分 ，
，
∴四边形 为正方形，
在 中， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，．
故答案为：.
【分析】根据作图得到 是 的角平分线，即可得到 ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ， 即可得到FHBP是正方形，设 ，根据两直线平行得到，，根据对应边成比例求出x和HG的长，再根据勾股定理求出DG长即可．
16．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算立方根、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式的加减，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简，将a的值代入计算即可.
18．如图，在中，平分，点是线段的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
点是线段的中点，
；
在和中，
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
在中，平分，
，
；
由得，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，由线段中点的定义可得 ，然后根据AAS得到两三角形全等即可；
（2）根据三线合一定理得到，即可得到 ，根据全等三角形的对应边相等得到 ，即可得到结论．
19．安居“”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖元，且用元购买“红薯粉条”的袋数与用元购买“红薯淀粉”的袋数相等．
（1）求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？
（2）某游客计划购买这两类产品两类都有，恰好用完元．请问该游客有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元，
根据题意得，
解得，
检验：当时，，
因此是原分式方程的解，，
答：“红薯粉条”每袋售价元，“红薯淀粉”每袋售价元
（2）解：设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，其中均为正整数，
根据题意得，
整理得，
为正整数，
是的正倍数，且，
即，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
答：该游客共有种购买方案，分别是：购买“红薯粉条”袋，“红薯淀粉”袋；购买“红薯粉条”袋，“红薯淀粉”袋；购买“红薯粉条”袋，“红薯淀粉”袋
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元，根据“用元购买“红薯粉条”的袋数与用元购买“红薯淀粉”的袋数相等”列方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，根据“ 购买这两类产品两类都有，恰好用完元 ”列二元一次方程，根据a，b的正整数解得到购买方案解答即可．
20．遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具 无人机
测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为．
测量示意图
参考数据 ，，，，，．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．精确到米
【答案】解：如图，过点作，
根据题意可知，，，，
，
四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离的长为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作，即可得到四边形为矩形，设，则，然后根据正切的定义表示BE长，即可得到方程求出想的值解答即可.
21．某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组：心理专题讲座、心理健康电影、心理疗愈音乐会、心理健康情景剧．为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了　 　名学生，扇形统计图中　 　，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为　 　度；
（2）被调查学生最喜欢的心理健康活动是　 　；请选择填写
（3）请估计全校名学生中喜欢心理专题讲座的人数；
（4）学校从小组选了名代表每组各两名，决定从这名代表中选名作活动感悟分享．请用画树状图或列表的方法，求选出的名代表来自不同组的概率．
【答案】（1）50；24；28.8
（2）B
（3）解：人（人），
答：估计全校名学生中喜欢心理专题讲座的人数为人；
（4）解：用表示名代表，
画出树状图如下：
则一共有等可能性的结果数，其中选出的名代表来自不同组的结果数有种，
选出的名代表来自不同组的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
则本次调查共抽取了 名学生；
，
则；
，
故答案为：50；24；28.8；
（2）解：，
被调查学生最喜欢的心理健康活动是 ．心理健康电影；
故答案为：B.
【分析】（1）利用喜欢心理健康电影的人数除以占比求出被调查总人数，然后用喜欢心理专题讲座的人数除以被调查总人数求出 的值，利用 乘以喜欢心理疗愈音乐会的占比得到圆心角的度数即可；
（2）根据众数的定义解答即可；
（3）用 乘以被调查人数中喜欢心理专题讲座的占比解答即可；
（4）用表示4名代表，画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出时的取值范围；
（3）将一次函数的图象向上平移个单位长度后，与轴下方的反比例函数图象交于点，求的面积．
【答案】（1）解：在反比例函数上，
，
，
反比例函数的解析式为．
，
，
，
．
将和代入中联立方程组得
解得
一次函数的解析式为．
（2）或
（3）解：一次函数的图象向上平移个单位长度后为，如图所示，画出，过点作轴的平行线交过点作的垂线于点，过点作轴的垂线交过点作的平行线于点，过点作的垂线交过点作的平行线于点，
即，，，
交轴于点，
．
与交点，
，
，
，
或，
，
舍去．
，
的横坐标为，
将的横坐标代入中得，
．
，，，，，，
四边形为矩形，，，，
，，，
，，，
，，
．
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）解：当时，即在第二象限时，
是一次函数和反比例函数的交点，
时，，
欲使，
观察图象可知，．
当时，即在第四象限时，
是一次函数和反比例函数的交点，
时，，
欲使，
观察图象可知，．
．
综上所述，时的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用待定系数法求出两函数的解析式即可；
（2）借助图象，得到一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
（3）得到平移后的一次函数的解析式，过点作轴的平行线交过点作的垂线于点，过点作轴的垂线交过点作的平行线于点，过点作的垂线交过点作的平行线于点，先求出与y轴交点的坐标，在计算出y3与反比例函数的交点P的坐标，利用割补法求出三角形的面积即可.
23．如图，是的直径，弦于点，连接，过点的直线分别与的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接
是的直径，弦于点，
，，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设，
是的直径，弦于点，，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，
故的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，，然后等量代换得到，进而得到∠ODG=90°，证明结论即可；
（2）根据垂径定理求出DE=3，根据勾股定理求出OE长，然后根据勾股定理得到，代入数值求出BF长解答即可.
24．综合与实践探索五角星的奥秘
节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．
（1）如图，先将一张正方形的纸片沿对折，再找到的中点，将平角五等分，得到图，接着沿图中的虚线依次对折，得到图，然后过点作于点，得到图，最后沿把图中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为　 　．
（2）连接图中正五边形的对角线，得到图请根据图，完成下列问题：
①求的度数；
（3）把图剪掉阴影部分后，得到图，然后沿把图中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个五角星．例如，当时，得到的五角星如图所示；若使展开后的五角星如图所示，则的度数为　 　．
【答案】（1）
（2）解：设，的交点为，，的交点为，
根据题意，得，
，
；
②求的值．
解：设，
，
，
，
，
同理可证，，
，
根据折叠的性质，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，（不能为负，舍去）
．
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；剪纸问题；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得正五边形的内角和为：；
故答案为：540°；
（3）解：根据题意，得，
且正五边形的每个内角为，
，
∴五角星单个尖角为 ，折叠后；
故答案为：36°.
【分析】（1）根据n边形的内角和定理解答即可．
（2）①设，的交点为，，的交点为，利用三角形的外角和内角和定理解答即可；
②设五边形的边长为x，然后根据折叠的性质得到，即可得到，根据对应边成比例求出AD长，然后计算比值即可．
（3）先求出正五边形的每个内角为108°，再根据折叠得到五角星的单个尖角的度数解答即可．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，点是第一象限内二次函数图象上的点，过点作于点，求线段的最大值；
（3）连接，点与点关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点，作射线，使，求点的纵坐标．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，
二次函数的表达式为
（2）解：如图所示，过点作轴交于点
在中，当时，，
解得或，
点的坐标为；
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为；
设点的坐标为，
轴，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
；
轴，
，
；
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
当，即时，有最大值，最大值为
（3）解：如图所示，当点在点上方时，设交轴于点，
，点与点关于原点成中心对称，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
；
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
；
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为，
联立，解得或舍去，
点的坐标为，
点的纵坐标为；
如图所示，当点在点下方时，
同理可得，
，即轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即点的纵坐标为；
综上所述，点的纵坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）过点P作 轴交 于点Q，先求出抛物线与x轴的交点B的坐标为；然后根据待定系数法求出直线 的函数，设点P的坐标为，即可得到Q的纵坐标为，进而得到哦啊；然后根据勾股定理求出BC长，求出；即可得到，然后根据二次函数的顶点式求出最大值解答即可；
（3）当点E在点B上方时，设 交x轴于点H，根据正切的定义得到，进而可得，利用等角对等边得到；设，则，根据勾股定理得，解方程求出，利用打定系数法求出直线的函数解析式，联立DH和抛物线的解析式求出点E的纵坐标；当点E在点B下方时，即可得到，即轴，求出点E的纵坐标解答即可．
1 / 1四川省遂宁市2026年中考数学真题
1．的绝对值是(　　)
A． B． C． D．
2．下图是一种常见的化学实验仪器漏斗，它的俯视图是(　　)
A． B． C． D．
3．年月日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰福建舰入列已知单次弹射需要释放的能量约为兆焦耳，用科学记数法将数据表示为(　　)
A． B． C． D．
4．下列计算错误的是(　　)
A． B．
C． D．
5．已知点是第三象限内一点，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为(　　)
A． B． C． D．
8．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽不考虑接缝处损耗，若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好在边上，点是点的对应点，则两点间的距离为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，抛物线为常数，且与轴的两个交点坐标分别为，且下列结论：；；；若方程有实数根，则其中正确结论的序号为(　　)
A． B． C． D．
11．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则　 　填“”、“”或“”
12．某班甲、乙、丙名同学参加实心球测试，每人投掷实心球次成绩的平均数单位：米及方差如下表：
项目 甲 乙 丙
根据表中信息，选择名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是　 　．
13．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点，连结，则的周长为　 　 ．
14．值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，个杯子叠放成一摞的总高度为，个杯子叠放成一摞的总高度为，如图所示请问将个这款杯子放在限高的摆放区，至少需要叠放　 　 摞
15．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，交的延长线于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线点在边上，且，连接并延长，交于点，连结，交于点，则的长为　 　．
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在中，平分，点是线段的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状并说明理由．
19．安居“”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖元，且用元购买“红薯粉条”的袋数与用元购买“红薯淀粉”的袋数相等．
（1）求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？
（2）某游客计划购买这两类产品两类都有，恰好用完元．请问该游客有哪几种购买方案？
20．遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具 无人机
测量方法及数据 在桥面点用无人机测得主桥塔顶点的仰角为，将无人机垂直上升米至处，测得主桥塔顶点的仰角为．
测量示意图
参考数据 ，，，，，．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即的长．精确到米
21．某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组：心理专题讲座、心理健康电影、心理疗愈音乐会、心理健康情景剧．为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了　 　名学生，扇形统计图中　 　，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为　 　度；
（2）被调查学生最喜欢的心理健康活动是　 　；请选择填写
（3）请估计全校名学生中喜欢心理专题讲座的人数；
（4）学校从小组选了名代表每组各两名，决定从这名代表中选名作活动感悟分享．请用画树状图或列表的方法，求选出的名代表来自不同组的概率．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出时的取值范围；
（3）将一次函数的图象向上平移个单位长度后，与轴下方的反比例函数图象交于点，求的面积．
23．如图，是的直径，弦于点，连接，过点的直线分别与的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
24．综合与实践探索五角星的奥秘
节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．
（1）如图，先将一张正方形的纸片沿对折，再找到的中点，将平角五等分，得到图，接着沿图中的虚线依次对折，得到图，然后过点作于点，得到图，最后沿把图中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为　 　．
（2）连接图中正五边形的对角线，得到图请根据图，完成下列问题：
①求的度数；
（3）把图剪掉阴影部分后，得到图，然后沿把图中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个五角星．例如，当时，得到的五角星如图所示；若使展开后的五角星如图所示，则的度数为　 　．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，点是第一象限内二次函数图象上的点，过点作于点，求线段的最大值；
（3）连接，点与点关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点，作射线，使，求点的纵坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： 的绝对值是 ，
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值是他的相反数解答即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上往下看，能看到一个大圆和中间的一个小圆，即：
。
故答案为：B.
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：根据积的乘方法则，，运算正确．
选项B：合并同类项得，运算正确．
选项C：根据完全平方公式，，运算正确．
选项D：根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项要变号，， 本选项计算错误．
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式和去括号法则逐项判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点在第三象限，
∴，
解得.
故答案为：C.
【分析】利用第三象限点的横、纵坐标均为负数列不等式组解答即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵对于一元二次方程， ，，
∴判别式，
又∵任意实数的平方非负，即，
∴，
∴ 原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用根的判别式，即可得到方程根的情况，据此解答即可.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
由数轴可知，不等式组的解集为，
，
解得．
故答案为：B.
【分析】分别解两个不等式得到x的取值范围，结合数轴上的解集 得到1-k=2，求出k的值解答即可．
8．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： 圆锥底面圆直径为，
圆锥底面圆周长 ，
扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长
设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得：
解得，
扇形纸片的圆心角为．
故答案为：D.
【分析】根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长列等式求出圆心角的度数即可.
9．【答案】B
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵点M是边 的中点，
∴，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点作，先根据勾股定理求出，然后求出∠BAC的正弦值和余弦值，再根据旋转可得，然后解直角三角形求出AN和M'N的长，再根据勾股定理解答即可．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：① 抛物线开口向上，
，
∵与x轴的两个交点坐标分别为，
∴对称轴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴对称轴在 轴右侧，
，
，
抛物线与 轴交于负半轴，
，
，
故①正确；
，
由 和可得，
故②结论错误；
③当时，抛物线有最小值，，
∵，，
∴当时，随 增大而减小，当 时，；当 时，；
∴，
故③正确；
④ 方程有实数根，
，即.
，
，
，
，
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点的位置得到a，b，c的正负关系判断①；根据抛物线上点的坐标得到，，然后代入3a+c求出取值范围判断②；得到对称轴为，可得，根据函数的增减性求出最小值的取值范围判断③；计算方程根的判别式得到，整理得，再根据a>0得到2a>a得到结论判断④解答即可.
11．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，
∴．
故答案为：<.
【分析】通过数轴上点的位置得到，即可得到，比较大小解答即可．
12．【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表格数据可得：，，，
因此乙和丙的平均成绩优于甲
又，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定，
因此丙的发挥比乙更稳定
综上，丙的成绩好且发挥稳定．
故答案为：丙.
【分析】先比较平均数，平均数越大成绩越好；然后比较方差，根据方差越小，成绩越稳定；据此解答即可．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
在中，
由勾股定理得
是线段 的垂直平分线
的周长为： ．
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求出 长，利用线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长为，代入数值计算即可.
14．【答案】3
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据题意得：
，
解得，
∴n个杯子叠放的高度公式为，
又每一摞的总高度不超过，
∴，
解得，
因为n是整数，所以一摞最多放19个杯，
（摞）（个），
剩下的12个还需要1摞，所以至少需要（摞）．
故答案为：3.
【分析】设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据“4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为”列二元一次方程组求出a和b的值，即可得到n个杯子叠放的高度为，根据高度不超过列不等式求出的最大值，然后求出摞数即可．
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：根据题意可知 平分 ，
四边形 是正方形，
，
点 在 的延长线上，
，
，
过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形，
平分 ，
，
∴四边形 为正方形，
在 中， ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，．
故答案为：.
【分析】根据作图得到 是 的角平分线，即可得到 ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ， 即可得到FHBP是正方形，设 ，根据两直线平行得到，，根据对应边成比例求出x和HG的长，再根据勾股定理求出DG长即可．
16．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算立方根、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
17．【答案】解：
当时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式的加减，然后把除法化为乘法，再将分子、分母分解因式约分化简，将a的值代入计算即可.
18．【答案】（1）证明：，
，
点是线段的中点，
；
在和中，
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
在中，平分，
，
；
由得，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到，由线段中点的定义可得 ，然后根据AAS得到两三角形全等即可；
（2）根据三线合一定理得到，即可得到 ，根据全等三角形的对应边相等得到 ，即可得到结论．
19．【答案】（1）解：设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元，
根据题意得，
解得，
检验：当时，，
因此是原分式方程的解，，
答：“红薯粉条”每袋售价元，“红薯淀粉”每袋售价元
（2）解：设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，其中均为正整数，
根据题意得，
整理得，
为正整数，
是的正倍数，且，
即，
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
当时，，符合要求；
答：该游客共有种购买方案，分别是：购买“红薯粉条”袋，“红薯淀粉”袋；购买“红薯粉条”袋，“红薯淀粉”袋；购买“红薯粉条”袋，“红薯淀粉”袋
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元，根据“用元购买“红薯粉条”的袋数与用元购买“红薯淀粉”的袋数相等”列方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，根据“ 购买这两类产品两类都有，恰好用完元 ”列二元一次方程，根据a，b的正整数解得到购买方案解答即可．
20．【答案】解：如图，过点作，
根据题意可知，，，，
，
四边形为矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离的长为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作，即可得到四边形为矩形，设，则，然后根据正切的定义表示BE长，即可得到方程求出想的值解答即可.
21．【答案】（1）50；24；28.8
（2）B
（3）解：人（人），
答：估计全校名学生中喜欢心理专题讲座的人数为人；
（4）解：用表示名代表，
画出树状图如下：
则一共有等可能性的结果数，其中选出的名代表来自不同组的结果数有种，
选出的名代表来自不同组的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
则本次调查共抽取了 名学生；
，
则；
，
故答案为：50；24；28.8；
（2）解：，
被调查学生最喜欢的心理健康活动是 ．心理健康电影；
故答案为：B.
【分析】（1）利用喜欢心理健康电影的人数除以占比求出被调查总人数，然后用喜欢心理专题讲座的人数除以被调查总人数求出 的值，利用 乘以喜欢心理疗愈音乐会的占比得到圆心角的度数即可；
（2）根据众数的定义解答即可；
（3）用 乘以被调查人数中喜欢心理专题讲座的占比解答即可；
（4）用表示4名代表，画出树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
22．【答案】（1）解：在反比例函数上，
，
，
反比例函数的解析式为．
，
，
，
．
将和代入中联立方程组得
解得
一次函数的解析式为．
（2）或
（3）解：一次函数的图象向上平移个单位长度后为，如图所示，画出，过点作轴的平行线交过点作的垂线于点，过点作轴的垂线交过点作的平行线于点，过点作的垂线交过点作的平行线于点，
即，，，
交轴于点，
．
与交点，
，
，
，
或，
，
舍去．
，
的横坐标为，
将的横坐标代入中得，
．
，，，，，，
四边形为矩形，，，，
，，，
，，，
，，
．
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）解：当时，即在第二象限时，
是一次函数和反比例函数的交点，
时，，
欲使，
观察图象可知，．
当时，即在第四象限时，
是一次函数和反比例函数的交点，
时，，
欲使，
观察图象可知，．
．
综上所述，时的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用待定系数法求出两函数的解析式即可；
（2）借助图象，得到一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
（3）得到平移后的一次函数的解析式，过点作轴的平行线交过点作的垂线于点，过点作轴的垂线交过点作的平行线于点，过点作的垂线交过点作的平行线于点，先求出与y轴交点的坐标，在计算出y3与反比例函数的交点P的坐标，利用割补法求出三角形的面积即可.
23．【答案】（1）证明：连接
是的直径，弦于点，
，，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设，
是的直径，弦于点，，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，
故的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，，然后等量代换得到，进而得到∠ODG=90°，证明结论即可；
（2）根据垂径定理求出DE=3，根据勾股定理求出OE长，然后根据勾股定理得到，代入数值求出BF长解答即可.
24．【答案】（1）
（2）解：设，的交点为，，的交点为，
根据题意，得，
，
；
②求的值．
解：设，
，
，
，
，
同理可证，，
，
根据折叠的性质，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，（不能为负，舍去）
．
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；剪纸问题；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得正五边形的内角和为：；
故答案为：540°；
（3）解：根据题意，得，
且正五边形的每个内角为，
，
∴五角星单个尖角为 ，折叠后；
故答案为：36°.
【分析】（1）根据n边形的内角和定理解答即可．
（2）①设，的交点为，，的交点为，利用三角形的外角和内角和定理解答即可；
②设五边形的边长为x，然后根据折叠的性质得到，即可得到，根据对应边成比例求出AD长，然后计算比值即可．
（3）先求出正五边形的每个内角为108°，再根据折叠得到五角星的单个尖角的度数解答即可．
25．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，
二次函数的表达式为
（2）解：如图所示，过点作轴交于点
在中，当时，，
解得或，
点的坐标为；
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为；
设点的坐标为，
轴，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
；
轴，
，
；
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
当，即时，有最大值，最大值为
（3）解：如图所示，当点在点上方时，设交轴于点，
，点与点关于原点成中心对称，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
；
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
；
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为，
联立，解得或舍去，
点的坐标为，
点的纵坐标为；
如图所示，当点在点下方时，
同理可得，
，即轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即点的纵坐标为；
综上所述，点的纵坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）过点P作 轴交 于点Q，先求出抛物线与x轴的交点B的坐标为；然后根据待定系数法求出直线 的函数，设点P的坐标为，即可得到Q的纵坐标为，进而得到哦啊；然后根据勾股定理求出BC长，求出；即可得到，然后根据二次函数的顶点式求出最大值解答即可；
（3）当点E在点B上方时，设 交x轴于点H，根据正切的定义得到，进而可得，利用等角对等边得到；设，则，根据勾股定理得，解方程求出，利用打定系数法求出直线的函数解析式，联立DH和抛物线的解析式求出点E的纵坐标；当点E在点B下方时，即可得到，即轴，求出点E的纵坐标解答即可．
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