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广西壮族自治区梧州市2025-2026学年度九年级数学初中学业水平考试第二次模拟测试卷
1．下列四个选项中，为负数的是（　　）
A．0 B．0.5 C．-2 D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：根据题意可得，-2是负数，
故答案为：C.
【分析】利用负数的定义（比0小的数为负数）逐个分析判断即可.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、∵此图不是轴对称图形但是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵此图既是轴对称图形也是中心对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．下列调查中，适合抽样调查的是（　　）
A．了解某批次灯泡的使用寿命
B．了解某班级学生的数学作业完成情况
C．了解某考场考生准考证的核对情况
D．了解某班级学生的视力情况
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、∵ 解某批次灯泡的使用寿命适用于抽样调查，∴A符合题意；
B、∵了解某班级学生的数学作业完成情况适用于全面调查，∴B不符合题意；
C、∵了解某考场考生准考证的核对情况适用于全面调查，∴C不符合题意；
D、∵了解某班级学生的视力情况适用于全面调查，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）逐项分析判断即可.
4．一个角是0.5°，则可化为多少分（　　）
A．10' B．20' C．30' D．50'
【答案】C
【知识点】常用角的度量单位及换算
【解析】【解答】解：0.5°=0.5×60'=30'，
故答案为：C.
【分析】利用角的单位换算（1°=60'，1'=60''）计算方法分析求解即可.
5．如图，扇形AOB是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径OA=15cm，∠AOB=120°，则的长为（　　）
A．8π B．10π C．12π D．14π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：的长=，
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式（l弧长=n×π×R÷180°）分析求解即可.
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（　　）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵矩形AOBC的面积为2，点C在反比例函数上，
∴|k|=2，
∵函数图象在第二象限，
∴k<0，
∴k=-2，
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积是|k|，与原点和x（y）轴围成三角形的面积等于二分之一|k|）分析求解即可.
7．已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字.在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字.请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕 （注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（　　）
A．44，38 B．50，44 C．60，54 D．66，60
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设词集中《浣溪沙》收录了x阕，《采桑子》收录了y阕。
根据题意可得：，
解得：，
故答案为：B.
【分析】设词集中《浣溪沙》收录了x阕，《采桑子》收录了y阕，根据“ 《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字 ”列出方程组求解即可.
8．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D'处，点C落在C'处.若则∠FED'的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D'处，点C落在C'处，
∴∠D'EF=∠DEF，
∵∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°，∠AED'=40°，
∴∠FED'=，
故答案为：D.
【分析】先利用折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF，再结合∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°，∠AED'=40°，最后求出∠FED'的度数即可.
9．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛Rt△ABC（∠C=90°）的相关数据时，用尺规作图的方法作∠BAC的平分线：以A为圆心画弧交AC，AB于D，E，再分别以D，E为圆心、大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC边于点F.若测得BC=10cm'BF=6cm'则点F到AB边的距离为（　　）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AB于点D，如图所示：
∵AM平分∠BAC，AC⊥BC，FD⊥AB，
∴CF=FD，
∵BC=10，BF=6，
∴FD=FC=BC-BF=10-6=4，
∴点F到AB边的距离为4cm，
故答案为：B.
【分析】过点F作FD⊥AB于点D，利用角平分线的性质可得CF=FD，再求出FD=FC=BC-BF=10-6=4即可.
10．小宇从家出发，骑自行车前往10公里某景区，途中停车观光，其中y（公里）是小宇离家的距离，x（分钟）是小宇离家时间.y与x的函数图象如图所示.下列说法错误的是（　　）
A．小宇从家到景区，小宇的路程为10公里
B．小宇途中停车观光的时间为20分钟
C．小宇到景区的整个过程中，平均速度是10公里/小时
D．小宇全程一共用时50分钟
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、根据函数图象中的数据可得，小宇从家到景区，小宇的路程为10公里，∴A正确；
B、根据函数图象中的数据可得， 小宇途中停车观光的时间为40-20=20分钟，∴B正确；
C、根据函数图象中的数据可得，路程为10公里，时间为60分钟=1小时，∴ 平均速度是10公里/小时，∴C正确；
D、根据函数图象中的数据可得，小宇全程一共用时60分钟，∴D不正确；
故答案为：D.
【分析】根据函数图象中数据并结合“时间、路程和速度”之间的关系逐项分析判断即可.
11．现定义一种新运算：对任意实数a，b，规定a b=2a+b-ab，若x 3=1，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵x 3=1，
∴2x+3-3x=1，
∴x=2，
故答案为：B.
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程2x+3-3x=1，再求出x的值即可.
12．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范.如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH密铺构成的大正方形ABCD，若大正方形的面积为25，连接CF、CE.若CE=CD，则线段CF的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题可得：CD=CE，CH⊥DE，DH=CG，DE=CH，
∴DH=EH，
∴CH=2DH，
∵正方形ABCD的面积为25，
∴CD2=25=DH2+4DH2，
∴DH=（负根舍去），
∴EH=DH=，
∴FG=CG=EH=，
∴CF=FG=，
故答案为：C.
【分析】先求出CH=2DH，再利用正方形的面积及勾股定理可得CD2=25=DH2+4DH2，求出DH=，可得FG=CG=EH=，最后求出CF=FG=即可.
13．点A（-2，5）关于原点对称的点为　 　.
【答案】（2，-5）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（-2，5），
∴点A关于原点对称的点坐标为（2，-5），
故答案为：（2，-5）.
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
14．若实数m满足m-2=0，则代数式2m+3的值为　 　.
【答案】7
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵m-2=0，
∴m=2，
∴2m+3=2×2+3=7，
故答案为：7.
【分析】先求出m=2，再将其代入2m+3计算即可.
15．袋中有3个球，2红1白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽1个球，抽到红球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋中有3个球，2红1白，
∴抽到红球的概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
16．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4米，BC=3米，点D是AB边上的动点，点E是BC边上定点，CE=1米，连接DE，则线段DE的最小值为　 　米.
【答案】1.6
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，此时ED最小，如图所示：
∵∠B=∠B，∠C=∠BDE=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∵ ∠ACB=90°，AC=4米，BC=3米， CE=1米，
∴AB=5，BE=2，
∴，
∴DE=1.6，
故答案为：1.6.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，此时ED最小，先求出AB=5，BE=2，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出DE的长即可.
17．
（1）计算：
（2）先化简，再求值：其中x=1，y=2.
【答案】（1）解：原式
=1+1
=2
（2）解：原式
=x+y
将x=1，y=2代入，得：
原式=1+2=3
【知识点】零指数幂；求算术平方根；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、绝对值的性质和算术平方根化简，再求解即可；
（2）先利用分式的乘法的计算方法化简，再将x、y的值代入计算即可.
18．社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好.某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间(用x表示，单位：h）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图.根据提供的信息回答问题：
抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表：
组别 时间x(h） 频率
A 0.5≤x<2 0.16
B 2≤x<3.5 a
C 3.5≤x<5 0.36
D 5≤x<6.5 0.18
E x≥6.5 0.10
合计 1
（1）填空：a= ▲ ，此次调查中共抽取了 ▲ 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在　 　（填组别）；
（3）该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于3.5h的学生人数.
【答案】（1）0.2；
50；
∵“B”组的人数为：50×0.2=10，
∴频数分布直方图补充如图所示

（2）C
（3）解：1200×（1-0.16-0.2）=456（名）
答：估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于3.5h的学生人数约为456人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题可得：a=1-0.16-0.36-0.18-0.10=0.2；
抽取的总人数为：8÷0.16=50（人）；
故答案为：0.2；50.
（2）∵共有50人，
∴中位数为第25和26位的平均数，
∴中位数落在C组，
故答案为：C.
【分析】（1）利用统计表中的数据求出a的值，再利用“A”组的频数和频率求出总人数，最后求出“B”的人数并作出条形统计图即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“不少于3.5h”的频率，再乘以1200可得答案.
19．某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备.
（1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车。求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人
（2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆.本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍.请计算租车的单日最低总费用.
【答案】（1）解：设每辆舒适型客车载客量为x人，每辆大容量巴士载客量为（x+15）人，
依题意得：
解得：（不合题意，舍去）
经检验，是原方程的解且符合题意，此时.
则每辆大容量巴士载客量为：x+15=45+15=60
答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人.
（2）解：设舒适型客车m辆，则大容量巴士为（18-m），单日总租赁费用为w元，
则：2m≤18-m
解之得：m≤6
又有：w=2000m+3000（18-m）
=-1000m+54000
∵k=-1000<0
∴w随m的增大而减小，
当m=6时，w最小=-1000×6+54000=48000（元）
答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每辆舒适型客车载客量为x人，每辆大容量巴士载客量为（x+15）人，利用“ 用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车 ”列出方程求解即可；
（2）设舒适型客车m辆，则大容量巴士为（18-m），单日总租赁费用为w元，利用“总费用=大巴士的费用+客车的费用”列出函数解析式，再求解即可.
20．在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线BD为装饰分割线，点P是BD上一点，点E是BC上一点，连接AE、PA、PE、PC，AE与BD交于点F.
（1）求证：△ABP≌△CBP
（2）若PE=PC，AP⊥PE，求证：
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP（SAS）
（2）证明：由得△ABP≌△CBP；
∴PA=PC
∵PE=PC
∴PE=PA，
又∵AP⊥PE
∴∠APE=90°
∴∠PEA=∠PAE=45°
又∵∠EPF=∠BPE（公共角），
∴△PEF∽△PBE，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求出AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°，再利用“SAS”证出△ABP≌△CBP即可；
（2）利用全等三角形的性质可得PA=PC，再求出∠PEA=∠PAE=45°，结合∠EPF=∠BPE，证出△PEF∽△PBE，利用相似三角形的性质可得，最后求出即可.
21．如图，在Rt△ACE中，∠ACE=90°，点B是AE的中点，点O是AC上一点，且B，C，D三点均在⊙O上，AB，AD是⊙O的两条切线，连接CB，CD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：连接DB交AC于点F，
∵AB，AD是⊙O的两条切线，
∴AD=AB，∠1=∠2.
∴AC垂直平分BD（三线合一），
∴CD=CB.
∵在Rt△ACE中，点B是AE的中点，
∴AD=AB=CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵在Rt△ACE中，
∴AE=8.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AF=CF，
∵AB=BE，
∴BF是△ACE的中位线
∴BD=2BF=4.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；切线的性质；切线长定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接DB交AC于点F，先证出AC垂直平分BD，可得CD=CB，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用等量代换可得AD=AB=CB=CD，从而得证；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再证出BF是△ACE的中位线，利用中位线的性质可得BD=2BF=4，最后求出菱形的面积即可.
22．综合与实践.
素材：2026年央视春晚的武术节目《武BOT》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）.某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型.请你结合所学知识，解决下列问题.
（1）任务一：如图3，机器人肩膀固定点O离地面高度OH=1.6米.长棍AB长2.4米，初始时水平（与地面平行），A端与点O重合.机器人让长棍绕A点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为30°时，长棍的位置为AC.求此时长棍的C端到地面的高度；
（2）任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子PQ和QR通过链条连接而成，每段长0.3米.机器人手握P端，使PQ保持竖直向上，同时让QR绕Q点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）.
在某一时刻，QR与竖直方向的夹角为α（α为锐角），测得已知P点离地面MN高度为1.2米.求此时R点离地面MN的高度.
【答案】（1）解：如图，过点C作CE⊥AB，并反向延长交地面DH于点D，过点A作AH⊥DH于点H，
在Rt△ACE中，
∵AC=2.4米，∠CAE=30°
（米）
又易得四边形EDHA为矩形
∴DE=OH=1.6米
∴C端到地面高度：CD=DE-CE=1.6-1.2=0.4（米）
答：长棍的C端到地面高度为0.4米.
（2）解：如图，过点Q作QF⊥MN于点F，过点R作RK⊥FQ于点K，过点R作RG⊥MN于点G，
∴四边形RGFK为矩形.
∵PQ=0.3米，P点离地高度为1.2米，且PQ竖直向上，
∴FP=1.2（米）
∴Q点离地高度FQ=1.2-0.3=0.9（米）
α为锐角，
∴在Rt△RKQ中，设KR为3k，KQ为4k
由勾股定理，得
∴在Rt△RKQ中，
∵QR=PQ=0.3（米）
∴KQ=QR·cosα=0.3×0.8=0.24（米）
∴R点离地高度RG=FK=FP-PQ-KQ=1.2-0.3-0.24=0.66（米）
答：此时R离地面MN的高度为0.66米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB，并反向延长交地面DH于点D，过点A作AH⊥DH于点H，先利用解直角三角形的方法求出CE的长，再结合DE=OH=1.6米，最后利用线段的和差求出CD的长即可；
（2）过点Q作QF⊥MN于点F，过点R作RK⊥FQ于点K，过点R作RG⊥MN于点G，设KR为3k，KQ为4k，利用勾股定理求出QR，再利用余弦的定义求出，求出KQ=QR·cosα=0.3×0.8=0.24（米），最后利用线段的和差求出RG即可.
23．如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）.已知小球从斜轨末端A（-2，0）抛出，轨迹经过y轴上的点C，再经过点B（6，0）.设P是抛物线上的动点，P的横坐标为t.
（1）求抛物线的解析式；
（2）请写出抛物线的顶点坐标　 　；
（3）如图，抛物线上两点M、N之间的部分记作做抛物线弧MN（含端点）.过M、N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3，l4围成的矩形MGNH叫做抛物线弧MN的特征矩形.若点P在第一象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f，求f关于t的函数解析式.
【答案】（1）解：依题意，得抛物线的解析式为
∴抛物线的函数解析式为
（2）（2，4）
（3）解：抛物线与y轴交点C（0，3），点P在第一象限，故0①当0特征矩形的长为t，宽为4-3=1，周长f=2（t+1）=2t+2
②当4周长

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）=，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
故答案为：（2，4）.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将二次函数的一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标即可；
（3）分类讨论：①当01 / 1广西壮族自治区梧州市2025-2026学年度九年级数学初中学业水平考试第二次模拟测试卷
1．下列四个选项中，为负数的是（　　）
A．0 B．0.5 C．-2 D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列调查中，适合抽样调查的是（　　）
A．了解某批次灯泡的使用寿命
B．了解某班级学生的数学作业完成情况
C．了解某考场考生准考证的核对情况
D．了解某班级学生的视力情况
4．一个角是0.5°，则可化为多少分（　　）
A．10' B．20' C．30' D．50'
5．如图，扇形AOB是某种折扇的外轮廓图，已知扇形半径OA=15cm，∠AOB=120°，则的长为（　　）
A．8π B．10π C．12π D．14π
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（　　）
A．-2 B．-4 C．2 D．4
7．已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字.在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字.请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕 （注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（　　）
A．44，38 B．50，44 C．60，54 D．66，60
8．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D'处，点C落在C'处.若则∠FED'的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，某数学兴趣小组在测量校园内直角三角形花坛Rt△ABC（∠C=90°）的相关数据时，用尺规作图的方法作∠BAC的平分线：以A为圆心画弧交AC，AB于D，E，再分别以D，E为圆心、大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC边于点F.若测得BC=10cm'BF=6cm'则点F到AB边的距离为（　　）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．小宇从家出发，骑自行车前往10公里某景区，途中停车观光，其中y（公里）是小宇离家的距离，x（分钟）是小宇离家时间.y与x的函数图象如图所示.下列说法错误的是（　　）
A．小宇从家到景区，小宇的路程为10公里
B．小宇途中停车观光的时间为20分钟
C．小宇到景区的整个过程中，平均速度是10公里/小时
D．小宇全程一共用时50分钟
11．现定义一种新运算：对任意实数a，b，规定a b=2a+b-ab，若x 3=1，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范.如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH密铺构成的大正方形ABCD，若大正方形的面积为25，连接CF、CE.若CE=CD，则线段CF的长是（　　）
A． B． C． D．
13．点A（-2，5）关于原点对称的点为　 　.
14．若实数m满足m-2=0，则代数式2m+3的值为　 　.
15．袋中有3个球，2红1白，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽1个球，抽到红球的概率是　 　.
16．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4米，BC=3米，点D是AB边上的动点，点E是BC边上定点，CE=1米，连接DE，则线段DE的最小值为　 　米.
17．
（1）计算：
（2）先化简，再求值：其中x=1，y=2.
18．社团活动是课堂的延伸，能培养学生的兴趣爱好.某校全体学生积极参加社团活动，为了解学生每周参加社团活动的情况，学校随机抽取部分学生，对其每周参与社团活动的时间(用x表示，单位：h）进行统计，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图.根据提供的信息回答问题：
抽取的学生一周参与社团活动时间频率分布表：
组别 时间x(h） 频率
A 0.5≤x<2 0.16
B 2≤x<3.5 a
C 3.5≤x<5 0.36
D 5≤x<6.5 0.18
E x≥6.5 0.10
合计 1
（1）填空：a= ▲ ，此次调查中共抽取了 ▲ 名学生，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
（2）调查所得数据的中位数落在　 　（填组别）；
（3）该校共有1200名学生，请估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于3.5h的学生人数.
19．某校的研学活动计划租用大容量巴士和舒适型客车两种新能源车辆，两种车型共需18辆，用于接送全校900名师生及若干后勤设备.
（1）已知每辆大容量巴士的载客量比每辆舒适型客车多15人；在每辆车均恰好满载的情况下，用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车。求每辆大容量巴士与每辆舒适型客车的载客量分别为多少人
（2）已知：大容量巴士的单日租金为3000元/辆；舒适型客车的单日租金为2000元/辆.本次研学活动所租用的大容量巴士的数量不少于舒适型客车数量的2倍.请计算租车的单日最低总费用.
20．在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线BD为装饰分割线，点P是BD上一点，点E是BC上一点，连接AE、PA、PE、PC，AE与BD交于点F.
（1）求证：△ABP≌△CBP
（2）若PE=PC，AP⊥PE，求证：
21．如图，在Rt△ACE中，∠ACE=90°，点B是AE的中点，点O是AC上一点，且B，C，D三点均在⊙O上，AB，AD是⊙O的两条切线，连接CB，CD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若求四边形ABCD的面积.
22．综合与实践.
素材：2026年央视春晚的武术节目《武BOT》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）.某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型.请你结合所学知识，解决下列问题.
（1）任务一：如图3，机器人肩膀固定点O离地面高度OH=1.6米.长棍AB长2.4米，初始时水平（与地面平行），A端与点O重合.机器人让长棍绕A点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为30°时，长棍的位置为AC.求此时长棍的C端到地面的高度；
（2）任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子PQ和QR通过链条连接而成，每段长0.3米.机器人手握P端，使PQ保持竖直向上，同时让QR绕Q点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）.
在某一时刻，QR与竖直方向的夹角为α（α为锐角），测得已知P点离地面MN高度为1.2米.求此时R点离地面MN的高度.
23．如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）.已知小球从斜轨末端A（-2，0）抛出，轨迹经过y轴上的点C，再经过点B（6，0）.设P是抛物线上的动点，P的横坐标为t.
（1）求抛物线的解析式；
（2）请写出抛物线的顶点坐标　 　；
（3）如图，抛物线上两点M、N之间的部分记作做抛物线弧MN（含端点）.过M、N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3，l4围成的矩形MGNH叫做抛物线弧MN的特征矩形.若点P在第一象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f，求f关于t的函数解析式.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：根据题意可得，-2是负数，
故答案为：C.
【分析】利用负数的定义（比0小的数为负数）逐个分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、∵此图不是轴对称图形但是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵此图既是轴对称图形也是中心对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、∵ 解某批次灯泡的使用寿命适用于抽样调查，∴A符合题意；
B、∵了解某班级学生的数学作业完成情况适用于全面调查，∴B不符合题意；
C、∵了解某考场考生准考证的核对情况适用于全面调查，∴C不符合题意；
D、∵了解某班级学生的视力情况适用于全面调查，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】常用角的度量单位及换算
【解析】【解答】解：0.5°=0.5×60'=30'，
故答案为：C.
【分析】利用角的单位换算（1°=60'，1'=60''）计算方法分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：的长=，
故答案为：B.
【分析】利用弧长公式（l弧长=n×π×R÷180°）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵矩形AOBC的面积为2，点C在反比例函数上，
∴|k|=2，
∵函数图象在第二象限，
∴k<0，
∴k=-2，
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数k的几何意义（过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积是|k|，与原点和x（y）轴围成三角形的面积等于二分之一|k|）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设词集中《浣溪沙》收录了x阕，《采桑子》收录了y阕。
根据题意可得：，
解得：，
故答案为：B.
【分析】设词集中《浣溪沙》收录了x阕，《采桑子》收录了y阕，根据“ 《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字 ”列出方程组求解即可.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D'处，点C落在C'处，
∴∠D'EF=∠DEF，
∵∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°，∠AED'=40°，
∴∠FED'=，
故答案为：D.
【分析】先利用折叠的性质可得∠D'EF=∠DEF，再结合∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°，∠AED'=40°，最后求出∠FED'的度数即可.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AB于点D，如图所示：
∵AM平分∠BAC，AC⊥BC，FD⊥AB，
∴CF=FD，
∵BC=10，BF=6，
∴FD=FC=BC-BF=10-6=4，
∴点F到AB边的距离为4cm，
故答案为：B.
【分析】过点F作FD⊥AB于点D，利用角平分线的性质可得CF=FD，再求出FD=FC=BC-BF=10-6=4即可.
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、根据函数图象中的数据可得，小宇从家到景区，小宇的路程为10公里，∴A正确；
B、根据函数图象中的数据可得， 小宇途中停车观光的时间为40-20=20分钟，∴B正确；
C、根据函数图象中的数据可得，路程为10公里，时间为60分钟=1小时，∴ 平均速度是10公里/小时，∴C正确；
D、根据函数图象中的数据可得，小宇全程一共用时60分钟，∴D不正确；
故答案为：D.
【分析】根据函数图象中数据并结合“时间、路程和速度”之间的关系逐项分析判断即可.
11．【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵x 3=1，
∴2x+3-3x=1，
∴x=2，
故答案为：B.
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程2x+3-3x=1，再求出x的值即可.
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题可得：CD=CE，CH⊥DE，DH=CG，DE=CH，
∴DH=EH，
∴CH=2DH，
∵正方形ABCD的面积为25，
∴CD2=25=DH2+4DH2，
∴DH=（负根舍去），
∴EH=DH=，
∴FG=CG=EH=，
∴CF=FG=，
故答案为：C.
【分析】先求出CH=2DH，再利用正方形的面积及勾股定理可得CD2=25=DH2+4DH2，求出DH=，可得FG=CG=EH=，最后求出CF=FG=即可.
13．【答案】（2，-5）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（-2，5），
∴点A关于原点对称的点坐标为（2，-5），
故答案为：（2，-5）.
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）求解即可.
14．【答案】7
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵m-2=0，
∴m=2，
∴2m+3=2×2+3=7，
故答案为：7.
【分析】先求出m=2，再将其代入2m+3计算即可.
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋中有3个球，2红1白，
∴抽到红球的概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
16．【答案】1.6
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，此时ED最小，如图所示：
∵∠B=∠B，∠C=∠BDE=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∵ ∠ACB=90°，AC=4米，BC=3米， CE=1米，
∴AB=5，BE=2，
∴，
∴DE=1.6，
故答案为：1.6.
【分析】过点E作ED⊥AB于点D，此时ED最小，先求出AB=5，BE=2，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出DE的长即可.
17．【答案】（1）解：原式
=1+1
=2
（2）解：原式
=x+y
将x=1，y=2代入，得：
原式=1+2=3
【知识点】零指数幂；求算术平方根；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、绝对值的性质和算术平方根化简，再求解即可；
（2）先利用分式的乘法的计算方法化简，再将x、y的值代入计算即可.
18．【答案】（1）0.2；
50；
∵“B”组的人数为：50×0.2=10，
∴频数分布直方图补充如图所示

（2）C
（3）解：1200×（1-0.16-0.2）=456（名）
答：估计该校学生一周参与社团活动的时间不少于3.5h的学生人数约为456人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题可得：a=1-0.16-0.36-0.18-0.10=0.2；
抽取的总人数为：8÷0.16=50（人）；
故答案为：0.2；50.
（2）∵共有50人，
∴中位数为第25和26位的平均数，
∴中位数落在C组，
故答案为：C.
【分析】（1）利用统计表中的数据求出a的值，再利用“A”组的频数和频率求出总人数，最后求出“B”的人数并作出条形统计图即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“不少于3.5h”的频率，再乘以1200可得答案.
19．【答案】（1）解：设每辆舒适型客车载客量为x人，每辆大容量巴士载客量为（x+15）人，
依题意得：
解得：（不合题意，舍去）
经检验，是原方程的解且符合题意，此时.
则每辆大容量巴士载客量为：x+15=45+15=60
答：每辆大容量巴士的载客量为60人，每辆舒适型客车的载客量为45人.
（2）解：设舒适型客车m辆，则大容量巴士为（18-m），单日总租赁费用为w元，
则：2m≤18-m
解之得：m≤6
又有：w=2000m+3000（18-m）
=-1000m+54000
∵k=-1000<0
∴w随m的增大而减小，
当m=6时，w最小=-1000×6+54000=48000（元）
答：当租用舒适型客车6辆，大容量巴士12辆时，租车单日费用最低，最低费用为48000元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每辆舒适型客车载客量为x人，每辆大容量巴士载客量为（x+15）人，利用“ 用大容量巴士运送900名师生，比用舒适型客车运送同样数量的师生少用5辆车 ”列出方程求解即可；
（2）设舒适型客车m辆，则大容量巴士为（18-m），单日总租赁费用为w元，利用“总费用=大巴士的费用+客车的费用”列出函数解析式，再求解即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP（SAS）
（2）证明：由得△ABP≌△CBP；
∴PA=PC
∵PE=PC
∴PE=PA，
又∵AP⊥PE
∴∠APE=90°
∴∠PEA=∠PAE=45°
又∵∠EPF=∠BPE（公共角），
∴△PEF∽△PBE，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求出AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°，再利用“SAS”证出△ABP≌△CBP即可；
（2）利用全等三角形的性质可得PA=PC，再求出∠PEA=∠PAE=45°，结合∠EPF=∠BPE，证出△PEF∽△PBE，利用相似三角形的性质可得，最后求出即可.
21．【答案】（1）证明：连接DB交AC于点F，
∵AB，AD是⊙O的两条切线，
∴AD=AB，∠1=∠2.
∴AC垂直平分BD（三线合一），
∴CD=CB.
∵在Rt△ACE中，点B是AE的中点，
∴AD=AB=CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵在Rt△ACE中，
∴AE=8.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AF=CF，
∵AB=BE，
∴BF是△ACE的中位线
∴BD=2BF=4.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；切线的性质；切线长定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接DB交AC于点F，先证出AC垂直平分BD，可得CD=CB，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用等量代换可得AD=AB=CB=CD，从而得证；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再证出BF是△ACE的中位线，利用中位线的性质可得BD=2BF=4，最后求出菱形的面积即可.
22．【答案】（1）解：如图，过点C作CE⊥AB，并反向延长交地面DH于点D，过点A作AH⊥DH于点H，
在Rt△ACE中，
∵AC=2.4米，∠CAE=30°
（米）
又易得四边形EDHA为矩形
∴DE=OH=1.6米
∴C端到地面高度：CD=DE-CE=1.6-1.2=0.4（米）
答：长棍的C端到地面高度为0.4米.
（2）解：如图，过点Q作QF⊥MN于点F，过点R作RK⊥FQ于点K，过点R作RG⊥MN于点G，
∴四边形RGFK为矩形.
∵PQ=0.3米，P点离地高度为1.2米，且PQ竖直向上，
∴FP=1.2（米）
∴Q点离地高度FQ=1.2-0.3=0.9（米）
α为锐角，
∴在Rt△RKQ中，设KR为3k，KQ为4k
由勾股定理，得
∴在Rt△RKQ中，
∵QR=PQ=0.3（米）
∴KQ=QR·cosα=0.3×0.8=0.24（米）
∴R点离地高度RG=FK=FP-PQ-KQ=1.2-0.3-0.24=0.66（米）
答：此时R离地面MN的高度为0.66米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB，并反向延长交地面DH于点D，过点A作AH⊥DH于点H，先利用解直角三角形的方法求出CE的长，再结合DE=OH=1.6米，最后利用线段的和差求出CD的长即可；
（2）过点Q作QF⊥MN于点F，过点R作RK⊥FQ于点K，过点R作RG⊥MN于点G，设KR为3k，KQ为4k，利用勾股定理求出QR，再利用余弦的定义求出，求出KQ=QR·cosα=0.3×0.8=0.24（米），最后利用线段的和差求出RG即可.
23．【答案】（1）解：依题意，得抛物线的解析式为
∴抛物线的函数解析式为
（2）（2，4）
（3）解：抛物线与y轴交点C（0，3），点P在第一象限，故0①当0特征矩形的长为t，宽为4-3=1，周长f=2（t+1）=2t+2
②当4周长

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）=，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
故答案为：（2，4）.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将二次函数的一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标即可；
（3）分类讨论：①当01 / 1

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