资源简介

广东省东莞市南城区2025-2026 学年九年级下学期二模数学试卷
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．家具中会用到许多榫（sǔn）卯结构，比如燕尾榫．如右图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其主视图的是（　　）
A． B． C． D．
3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点先向右平移再向下平移可能移动到下列哪个点的位置（　　）
A．（－3，1） B．（－3，3） C．（3，3） D．（3，1）
6．将若干个大小相同的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（　　）个这样的正五边形．
A．9 B．10 C．5 D．7
7．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）：
箭尺读数（cm） 1 3.5 6 13.5 21 31
指示时间 7：00 8：00 9：00 12：00 ？ 19：00
则箭尺读数为时，指示时间应为（　　）
A． B． C． D．
8．在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，p的值可以是（　　）
A．18 B．28 C．38 D．48
9．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝9，交点为O，点F在OC上，且CF＝2OF，过点F作EF∥BC交AB于点E．则△AEF的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．8
10．二次函数的图象过点，，．若，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知整式分解因式的结果为，则　 　．
12．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为　 　．
13．如图矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为　 　cm．
14．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，3，6，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点C的概率是　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，已知∠AEB＝∠DFE＝∠BFE，且AB＝4，BC＝6，DE＝2，DF＝1，则BE的长为　 　．
16．解不等式组：．
17．学校举办校园投篮比赛，九年级某班选拔甲、乙两名同学参加集训．将两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下统计表与不完整的统计图：
投篮训练成绩统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲 8 b
乙 a 8
投篮训练成绩条形统计图：
（1）补全条形统计图；
（2）表中　 　，　 　．
（3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛．
18．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格．
19．如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上异于端点的一点，过点B作轴的垂线，交反比例函数的图象于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若BD＝3，求点B的坐标；
（3）反比例函数的图象关于x轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标．
20．【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用3D打印完成的中国鼓模型．
【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标．
【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点O，连接AC，OA，OC，使OA＝OC，用带有刻度的直尺量出OA或OC的长度，用量角器量出△OAC任一内角的度数．
【问题解决】若∠OAC＝63.5°，OA＝OC＝50cm．
（1）求∠O的度数；
（2）求该鼓的厚度AC．（精确到1cm，参考数据：）
21．在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作：
（1）如图1，折叠纸片，使边AB恰好落在边AD上，得到折痕AE；打开后再折叠该纸片，使边CD恰好落在边CB上，得到折痕CF，则四边形AECF的形状是　 　；
（2）老师沿折痕将△ABE和△CDF剪下，摆放成如图2的位置，则图2中四边形ABCD的形状是　 　；若图2中AC＝6，BD＝8，则该四边形ABCD的周长为　 　；
（3）在（2）的条件下，固定△ABE，将△CDF沿着射线EA的方向平移，如图3，当四边形FBED为矩形时，求线段AF的长度．
22．研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手．
（1）【初步尝试】如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规图1和图2中分别作出下列函数的图象（保留作图痕迹）．
①②
（2）【深入研究】已知二次函数（m为常数，且）．
①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
②该二次函数的图象所过的象限随m的取值变化而变化，直接根据m的取值范围写出函数图象所经过的象限（写出所有可能情况）．
23．扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形AOB、扇形COD的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r．
（1）如图1，若的长与的长相等，已知，求这个图形的面积S（结果留）；
（2）如图2，连接AB，CD ，作关于直线CD的对称图形，已知与交于点M、N，且AM＝MN，求R与r之间的数量关系；
（3）如图3，连接CD ，作关于直线CD的对称图形，如果所在的圆与所在的圆内切于点F，点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】本题考查单项式乘单项式的运算法则。计算时先将系数相乘得到结果的系数，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则计算字母部分，将两部分结果相乘即可得到最终答案。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从物体正面观察得到的平面图形，观察燕尾榫带榫头部分的正面结构，其轮廓符合选项C的图形特征。
故答案为：C
【分析】本题考查简单几何体的三视图识别。主视图反映物体的正面形状，绘制时需注意物体各部分的轮廓和相对位置，从正面观察该燕尾榫结构，即可确定对应的主视图。
3．【答案】A
【知识点】还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，，
∴将1.024的小数点向左移动7位，得到原数为0.0000001024
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法与原数的转换。科学记数法中负指数表示小数点向左移动，移动的位数等于指数的绝对值，据此可将科学记数法表示的数还原为原数。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴
∵与是对顶角，且
∴
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质和对顶角的性质。利用两直线平行，同旁内角互补分别求出和的度数，再根据角的和差关系及对顶角相等，即可得出的大小。
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设平移后点的坐标为。
∵点先向右平移，横坐标增大，再向下平移，纵坐标减小
∴，
A选项，不符合；B选项且，不符合；
C选项，不符合；D选项且，符合条件
故答案为：D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律。点向右平移时横坐标增加，向下平移时纵坐标减小，根据平移方向确定平移后横纵坐标的取值范围，再逐一判断选项即可。
6．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的外角和为，正五边形的每个外角为
设相邻两个正五边形的公共顶点为，则在点处形成的角
∵圆环一周为
∴组成圆环共需要正五边形的个数为个
已排3个，还需要个
故答案为：D
【分析】本题考查正多边形的外角和及角度计算。先根据正多边形外角和求出正五边形的外角，再计算相邻正五边形在公共顶点处形成的内角，用周角除以该内角得到组成圆环所需正五边形的总数，减去已有的数量即可。
7．【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格数据可知，7：00到8：00箭尺读数从1cm变为3.5cm，上升了cm；
8：00到9：00读数从3.5cm变为6cm，也上升了cm。
∵水位匀速上浮，∴箭尺每小时上升2.5cm。
设以7：00为起点，经过小时后箭尺读数为cm，则。
当时，，解得。
7：00经过8小时后是15：00
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数的实际应用。先根据表格数据计算出箭尺每小时上升的高度，确定箭尺读数与时间的一次函数关系，再将读数21cm代入函数求出对应的时间。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为。
由图象可知，函数过点，将其代入解析式得：
，解得
∴反比例函数解析式为
当时，
当时，
∵，∴当时，随的增大而减小
∴当时，
四个选项中只有18在此范围内
故答案为：A
【分析】本题考查反比例函数的实际应用。先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再分别计算出和时对应的值，根据反比例函数的单调性确定的取值范围，最后判断选项即可。
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且菱形面积等于对角线乘积的一半
∴菱形的面积
∵对角线将菱形分成两个面积相等的三角形
∴
∵，∴
∵，∴
∴
∵，∴
∵相似三角形面积比等于相似比的平方
∴
∴
故答案为：B
【分析】本题考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质。先根据菱形对角线的性质求出菱形及的面积，再由线段比例关系求出的长度，利用平行线判定与相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算的面积。
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线。
∵，抛物线开口向下，∴在对称轴处取得最大值，即最大。
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为。
∵抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，∴。
∵，
∴分两种情况讨论：
若，则，，此时，但将代入得：
，解得，与矛盾，舍去。
若，则需且，才能满足，即：
化简得
解得
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质。先求出抛物线的对称轴，根据开口方向和点到对称轴的距离判断、、的大小关系，再结合分情况讨论，通过解不等式组确定的取值范围。
11．【答案】16
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：将展开：
∵
∴对应项系数相等，即，解得
故答案为：16
【分析】本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系。将分解因式后的结果利用平方差公式展开，与原式对比对应项的系数，即可求出的值。
12．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设有名选手参加比赛，每名选手都要与其余名选手各赛一场，则所有选手参赛的总场数为场。
∵每两名选手之间只进行一场比赛，上述计算中每场比赛被重复计算了2次，
∴实际比赛总场数为。
已知初赛共进行了55场，因此可列方程：
故答案为：
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用——单循环比赛问题。单循环比赛中，总场数等于参赛人数乘以人数减1再除以2，根据总场数为55即可列出方程。
13．【答案】6
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为cm。
∵正方形中cm，∴扇形的半径为4cm，圆心角为。
扇形的弧长公式为，则扇形的弧长为：
cm
∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，
∴，解得cm。
∵矩形中裁出的最大圆的直径等于矩形的宽，
∴cm。
又∵cm，
∴cm
故答案为：6
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形、圆的关系。先根据扇形弧长公式求出扇形的弧长，该弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求出底面圆的半径，再结合矩形中最大圆的直径等于矩形的宽，求出的长度，最终得到的长。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意列表求和如下：
1 3 6
1 2 4 7
3 4 6 9
6 7 9 12
∵点P经过两次运动后到达点C，且转动一圈为5次，
∴点P两次运动的数字和为2或7或12，
由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有4种，
∴点P经过两次运动后到达点C的概率是．
故答案为：
【分析】本题考查列表法求概率及正多边形的性质。通过列表法列出两次抽取卡片数字和的所有等可能结果，再根据正五边形的边长特得到点P两次运动的数字和为2或7或12，最后利用概率公式计算概率即可求解。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长、交于点，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，∴，。
∴，又∵，∴，∴。
∵，∴。
又∵，∴，∴。
∵，，∴，∴。
∵，∴为的中点。
∵，，∴，∴。
∴。
在中，由勾股定理得：
。
在中，由勾股定理得：
。
∵，∴，∴。
即，解得
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用等腰三角形三线合一求出相关线段长度，再结合勾股定理和相似三角形的性质计算的长。
16．【答案】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。解第一个不等式时，先去括号去掉括号，再通过移项将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，合并同类项后将系数化为1求出解集；解第二个不等式时，先两边同乘3去分母，再移项、合并同类项、系数化为1求出解集，最后取两个解集的公共部分作为不等式组的解集。
17．【答案】（1）解：补全条形统计图：
（2）8；9
（3）解：甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛（答案不唯一，言之有理即可）．
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）第5次甲的成绩：（个），
第3次乙的成绩：（个），
补全条形统计图：
；
（2）把乙的成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，
；
甲的成绩为：5，6，8，9，9，
∴，
故答案为：8，9；
【分析】本题考查条形统计图与统计量的综合应用。
（1） 利用平均数等于所有数据之和除以数据个数，分别求出甲第5次和乙第3次的投篮成绩，再根据成绩补全条形统计图；
（2） 将乙的5次成绩从小到大排列，位于中间位置的数即为中位数；将甲的5次成绩从小到大排列，位于中间位置的数即为中位数；
（3）对比甲乙两人的平均数、中位数和方差，方差反映数据的波动程度，方差越小说明成绩越稳定，据此分析谁更适合代表班级参赛。
18．【答案】解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，由题意得：
，
解得；
经检验：是原方程的解，
答：每个A种挂件的价格为25元
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用。设每个A种挂件的价格为元，则每个B种挂件的价格为元，根据“数量=总价÷单价”分别表示出用300元购买B种挂件的数量和用200元购买A种挂件的数量，再根据“B种挂件数量比A种挂件数量多7个”这一等量关系列出分式方程，求解后进行检验即可得到答案。
19．【答案】（1）解：将代入得，
∴
将代入得，
解得，
∴反比例函数表达式为
（2）解：设点，则点，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
解得，舍），
∴．
（3）解：点的坐标为
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为，
∴
设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，
过作轴于K，过作轴于L，如图：
则，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点的坐标为．
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的综合应用。
（1）先将点的横坐标代入正比例函数，求出的值得到点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得到反比例函数的表达式；
（2）设点的坐标为，根据且平行于轴，得到点的坐标为，再将点坐标代入反比例函数解析式求解，舍去不符合条件的解即可得到点的坐标；
（3）先根据关于轴对称的点的坐标特征，求出的解析式为，再利用旋转的性质构造全等三角形，求出旋转后射线与的交点坐标。
20．【答案】（1）解：∵，△OAC为等腰三角形，
∴，
根据三角形内角和为，
，
答：的度数为；
（2）解：如图 ，过点作于点，
在中，∵，，
∴，
，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理：
，
答：鼓的厚度约为．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形的实际应用。
（1）根据等腰三角形两底角相等的性质，得到，再结合三角形内角和为，即可求出的度数；
（2）过点作于点，在中利用的正弦和余弦分别求出和的长度，再用减去得到的长度，最后在中利用勾股定理求出的长度。
21．【答案】（1）平行四边形
（2）菱形；20
（3）解：作交于点，
，
由（2）得，，
，
四边形是矩形，
∴，
，
解得，
∴，
∴线段AF的长度为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
由折叠可知， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知，，即，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，，
∴，即，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，交于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在中，，
∴该四边形的周长为 ；
【分析】本题考查平行四边形的折叠问题、菱形的判定与性质及矩形的性质。
（1）根据折叠的性质得到，，结合平行四边形对角相等的性质推出，再利用平行线的性质得到，进而推出，结合平行四边形对边平行的性质，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形的形状；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边得到，判定其为菱形，然后利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出和的长度，再用勾股定理求出边长，进而得到菱形的周长；
（3）作于点，利用等腰三角形三线合一求出的长度，再根据矩形的性质得到，利用三角函数的定义建立方程求出的长度，最后通过计算出的长度。
22．【答案】（1）解：如题①，直线即为所求；如题②，直线即为所求.
（2）解：①证明：当时，，
解得，
当，即时，方程有两个相等的实数根；
当，即时，方程有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
②当时，此时图像经过一、二、四象限；
当时，此时图像经过三、四象限；
当或时，此时图像经过一、三、四象限；
当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限．
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题考查一次函数的图象画法及二次函数的图象与性质。
（1）先求出一次函数与坐标轴的交点和，再分别求出与坐标轴的交点和，与坐标轴的交点和，利用尺规作图确定这些交点的位置，连接对应交点即可得到函数的图象；
（2）①令，解关于的方程，得到方程的两个根，根据根的情况证明函数图象与轴总有公共点；②分、、或、四种情况，结合抛物线的开口方向、与轴和轴的交点位置，确定函数图象经过的所有象限。
23．【答案】（1）解：由题可知，
，
，
，
，
，解得，故，
∴
（2）解：如图，记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接，
由对称性可知P是中点，由是等腰直角三角形，，
且，
再由对称性可知，
同样是等腰直角三角形，，，
，
，
Q是中点也是中点，
由已知得，
，
，
又，在中，由勾股定理得
，
即，解得或，
由题可知，故 ．
（3）解：如图，记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H，
由于所在的圆与所在的圆内切于点F，
，
由①知，
，
，
，
，
，
，再由知是等腰直角三角形，
，
，
∴.
∴，
，
由是等腰三角形，
，
．
【知识点】圆与圆的位置关系；弧长的计算；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查扇形的弧长与面积计算、轴对称的性质、圆与圆的位置关系及解三角形的综合应用。
（1）先根据弧长公式分别表示出和的长，结合两者相等及建立方程，求出和的值，再利用扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，相加即为图形的总面积；
（2）作点关于直线的对称点，利用轴对称的性质和等腰直角三角形的性质求出、、等相关线段的长度，再在中利用勾股定理建立与的方程，求解并舍去不符合条件的解即可得到两者的数量关系；
（3）同样作点的对称点，根据两圆内切的性质得到、、三点共线，利用线段比例关系推出，再通过解直角三角形求出和的度数，最后利用角的和差关系求出的度数。
1 / 1广东省东莞市南城区2025-2026 学年九年级下学期二模数学试卷
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】本题考查单项式乘单项式的运算法则。计算时先将系数相乘得到结果的系数，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则计算字母部分，将两部分结果相乘即可得到最终答案。
2．家具中会用到许多榫（sǔn）卯结构，比如燕尾榫．如右图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形是其主视图的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从物体正面观察得到的平面图形，观察燕尾榫带榫头部分的正面结构，其轮廓符合选项C的图形特征。
故答案为：C
【分析】本题考查简单几何体的三视图识别。主视图反映物体的正面形状，绘制时需注意物体各部分的轮廓和相对位置，从正面观察该燕尾榫结构，即可确定对应的主视图。
3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵，，
∴将1.024的小数点向左移动7位，得到原数为0.0000001024
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法与原数的转换。科学记数法中负指数表示小数点向左移动，移动的位数等于指数的绝对值，据此可将科学记数法表示的数还原为原数。
4．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴
∵与是对顶角，且
∴
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质和对顶角的性质。利用两直线平行，同旁内角互补分别求出和的度数，再根据角的和差关系及对顶角相等，即可得出的大小。
5．在平面直角坐标系中，点先向右平移再向下平移可能移动到下列哪个点的位置（　　）
A．（－3，1） B．（－3，3） C．（3，3） D．（3，1）
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：设平移后点的坐标为。
∵点先向右平移，横坐标增大，再向下平移，纵坐标减小
∴，
A选项，不符合；B选项且，不符合；
C选项，不符合；D选项且，符合条件
故答案为：D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律。点向右平移时横坐标增加，向下平移时纵坐标减小，根据平移方向确定平移后横纵坐标的取值范围，再逐一判断选项即可。
6．将若干个大小相同的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（　　）个这样的正五边形．
A．9 B．10 C．5 D．7
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正多边形的外角和为，正五边形的每个外角为
设相邻两个正五边形的公共顶点为，则在点处形成的角
∵圆环一周为
∴组成圆环共需要正五边形的个数为个
已排3个，还需要个
故答案为：D
【分析】本题考查正多边形的外角和及角度计算。先根据正多边形外角和求出正五边形的外角，再计算相邻正五边形在公共顶点处形成的内角，用周角除以该内角得到组成圆环所需正五边形的总数，减去已有的数量即可。
7．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如下表（未记录完整）：
箭尺读数（cm） 1 3.5 6 13.5 21 31
指示时间 7：00 8：00 9：00 12：00 ？ 19：00
则箭尺读数为时，指示时间应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格数据可知，7：00到8：00箭尺读数从1cm变为3.5cm，上升了cm；
8：00到9：00读数从3.5cm变为6cm，也上升了cm。
∵水位匀速上浮，∴箭尺每小时上升2.5cm。
设以7：00为起点，经过小时后箭尺读数为cm，则。
当时，，解得。
7：00经过8小时后是15：00
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数的实际应用。先根据表格数据计算出箭尺每小时上升的高度，确定箭尺读数与时间的一次函数关系，再将读数21cm代入函数求出对应的时间。
8．在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，p的值可以是（　　）
A．18 B．28 C．38 D．48
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为。
由图象可知，函数过点，将其代入解析式得：
，解得
∴反比例函数解析式为
当时，
当时，
∵，∴当时，随的增大而减小
∴当时，
四个选项中只有18在此范围内
故答案为：A
【分析】本题考查反比例函数的实际应用。先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再分别计算出和时对应的值，根据反比例函数的单调性确定的取值范围，最后判断选项即可。
9．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝9，交点为O，点F在OC上，且CF＝2OF，过点F作EF∥BC交AB于点E．则△AEF的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．8
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且菱形面积等于对角线乘积的一半
∴菱形的面积
∵对角线将菱形分成两个面积相等的三角形
∴
∵，∴
∵，∴
∴
∵，∴
∵相似三角形面积比等于相似比的平方
∴
∴
故答案为：B
【分析】本题考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质。先根据菱形对角线的性质求出菱形及的面积，再由线段比例关系求出的长度，利用平行线判定与相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算的面积。
10．二次函数的图象过点，，．若，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线。
∵，抛物线开口向下，∴在对称轴处取得最大值，即最大。
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为。
∵抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，∴。
∵，
∴分两种情况讨论：
若，则，，此时，但将代入得：
，解得，与矛盾，舍去。
若，则需且，才能满足，即：
化简得
解得
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质。先求出抛物线的对称轴，根据开口方向和点到对称轴的距离判断、、的大小关系，再结合分情况讨论，通过解不等式组确定的取值范围。
11．已知整式分解因式的结果为，则　 　．
【答案】16
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：将展开：
∵
∴对应项系数相等，即，解得
故答案为：16
【分析】本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系。将分解因式后的结果利用平方差公式展开，与原式对比对应项的系数，即可求出的值。
12．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设有名选手参加比赛，每名选手都要与其余名选手各赛一场，则所有选手参赛的总场数为场。
∵每两名选手之间只进行一场比赛，上述计算中每场比赛被重复计算了2次，
∴实际比赛总场数为。
已知初赛共进行了55场，因此可列方程：
故答案为：
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用——单循环比赛问题。单循环比赛中，总场数等于参赛人数乘以人数减1再除以2，根据总场数为55即可列出方程。
13．如图矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为　 　cm．
【答案】6
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为cm。
∵正方形中cm，∴扇形的半径为4cm，圆心角为。
扇形的弧长公式为，则扇形的弧长为：
cm
∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，
∴，解得cm。
∵矩形中裁出的最大圆的直径等于矩形的宽，
∴cm。
又∵cm，
∴cm
故答案为：6
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形、圆的关系。先根据扇形弧长公式求出扇形的弧长，该弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求出底面圆的半径，再结合矩形中最大圆的直径等于矩形的宽，求出的长度，最终得到的长。
14．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，3，6，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点C的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意列表求和如下：
1 3 6
1 2 4 7
3 4 6 9
6 7 9 12
∵点P经过两次运动后到达点C，且转动一圈为5次，
∴点P两次运动的数字和为2或7或12，
由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有4种，
∴点P经过两次运动后到达点C的概率是．
故答案为：
【分析】本题考查列表法求概率及正多边形的性质。通过列表法列出两次抽取卡片数字和的所有等可能结果，再根据正五边形的边长特得到点P两次运动的数字和为2或7或12，最后利用概率公式计算概率即可求解。
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，已知∠AEB＝∠DFE＝∠BFE，且AB＝4，BC＝6，DE＝2，DF＝1，则BE的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长、交于点，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，∴，。
∴，又∵，∴，∴。
∵，∴。
又∵，∴，∴。
∵，，∴，∴。
∵，∴为的中点。
∵，，∴，∴。
∴。
在中，由勾股定理得：
。
在中，由勾股定理得：
。
∵，∴，∴。
即，解得
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用等腰三角形三线合一求出相关线段长度，再结合勾股定理和相似三角形的性质计算的长。
16．解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。解第一个不等式时，先去括号去掉括号，再通过移项将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，合并同类项后将系数化为1求出解集；解第二个不等式时，先两边同乘3去分母，再移项、合并同类项、系数化为1求出解集，最后取两个解集的公共部分作为不等式组的解集。
17．学校举办校园投篮比赛，九年级某班选拔甲、乙两名同学参加集训．将两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下统计表与不完整的统计图：
投篮训练成绩统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲 8 b
乙 a 8
投篮训练成绩条形统计图：
（1）补全条形统计图；
（2）表中　 　，　 　．
（3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛．
【答案】（1）解：补全条形统计图：
（2）8；9
（3）解：甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛（答案不唯一，言之有理即可）．
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）第5次甲的成绩：（个），
第3次乙的成绩：（个），
补全条形统计图：
；
（2）把乙的成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，
；
甲的成绩为：5，6，8，9，9，
∴，
故答案为：8，9；
【分析】本题考查条形统计图与统计量的综合应用。
（1） 利用平均数等于所有数据之和除以数据个数，分别求出甲第5次和乙第3次的投篮成绩，再根据成绩补全条形统计图；
（2） 将乙的5次成绩从小到大排列，位于中间位置的数即为中位数；将甲的5次成绩从小到大排列，位于中间位置的数即为中位数；
（3）对比甲乙两人的平均数、中位数和方差，方差反映数据的波动程度，方差越小说明成绩越稳定，据此分析谁更适合代表班级参赛。
18．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个．求每个A种挂件的价格．
【答案】解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元，由题意得：
，
解得；
经检验：是原方程的解，
答：每个A种挂件的价格为25元
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用。设每个A种挂件的价格为元，则每个B种挂件的价格为元，根据“数量=总价÷单价”分别表示出用300元购买B种挂件的数量和用200元购买A种挂件的数量，再根据“B种挂件数量比A种挂件数量多7个”这一等量关系列出分式方程，求解后进行检验即可得到答案。
19．如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上异于端点的一点，过点B作轴的垂线，交反比例函数的图象于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若BD＝3，求点B的坐标；
（3）反比例函数的图象关于x轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标．
【答案】（1）解：将代入得，
∴
将代入得，
解得，
∴反比例函数表达式为
（2）解：设点，则点，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
解得，舍），
∴．
（3）解：点的坐标为
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为，
∴
设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，
过作轴于K，过作轴于L，如图：
则，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点的坐标为．
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的综合应用。
（1）先将点的横坐标代入正比例函数，求出的值得到点的坐标，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得到反比例函数的表达式；
（2）设点的坐标为，根据且平行于轴，得到点的坐标为，再将点坐标代入反比例函数解析式求解，舍去不符合条件的解即可得到点的坐标；
（3）先根据关于轴对称的点的坐标特征，求出的解析式为，再利用旋转的性质构造全等三角形，求出旋转后射线与的交点坐标。
20．【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用3D打印完成的中国鼓模型．
【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标．
【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点O，连接AC，OA，OC，使OA＝OC，用带有刻度的直尺量出OA或OC的长度，用量角器量出△OAC任一内角的度数．
【问题解决】若∠OAC＝63.5°，OA＝OC＝50cm．
（1）求∠O的度数；
（2）求该鼓的厚度AC．（精确到1cm，参考数据：）
【答案】（1）解：∵，△OAC为等腰三角形，
∴，
根据三角形内角和为，
，
答：的度数为；
（2）解：如图 ，过点作于点，
在中，∵，，
∴，
，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理：
，
答：鼓的厚度约为．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形的实际应用。
（1）根据等腰三角形两底角相等的性质，得到，再结合三角形内角和为，即可求出的度数；
（2）过点作于点，在中利用的正弦和余弦分别求出和的长度，再用减去得到的长度，最后在中利用勾股定理求出的长度。
21．在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作：
（1）如图1，折叠纸片，使边AB恰好落在边AD上，得到折痕AE；打开后再折叠该纸片，使边CD恰好落在边CB上，得到折痕CF，则四边形AECF的形状是　 　；
（2）老师沿折痕将△ABE和△CDF剪下，摆放成如图2的位置，则图2中四边形ABCD的形状是　 　；若图2中AC＝6，BD＝8，则该四边形ABCD的周长为　 　；
（3）在（2）的条件下，固定△ABE，将△CDF沿着射线EA的方向平移，如图3，当四边形FBED为矩形时，求线段AF的长度．
【答案】（1）平行四边形
（2）菱形；20
（3）解：作交于点，
，
由（2）得，，
，
四边形是矩形，
∴，
，
解得，
∴，
∴线段AF的长度为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
由折叠可知， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知，，即，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，，
∴，即，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，交于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在中，，
∴该四边形的周长为 ；
【分析】本题考查平行四边形的折叠问题、菱形的判定与性质及矩形的性质。
（1）根据折叠的性质得到，，结合平行四边形对角相等的性质推出，再利用平行线的性质得到，进而推出，结合平行四边形对边平行的性质，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形的形状；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边得到，判定其为菱形，然后利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出和的长度，再用勾股定理求出边长，进而得到菱形的周长；
（3）作于点，利用等腰三角形三线合一求出的长度，再根据矩形的性质得到，利用三角函数的定义建立方程求出的长度，最后通过计算出的长度。
22．研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手．
（1）【初步尝试】如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规图1和图2中分别作出下列函数的图象（保留作图痕迹）．
①②
（2）【深入研究】已知二次函数（m为常数，且）．
①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
②该二次函数的图象所过的象限随m的取值变化而变化，直接根据m的取值范围写出函数图象所经过的象限（写出所有可能情况）．
【答案】（1）解：如题①，直线即为所求；如题②，直线即为所求.
（2）解：①证明：当时，，
解得，
当，即时，方程有两个相等的实数根；
当，即时，方程有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
②当时，此时图像经过一、二、四象限；
当时，此时图像经过三、四象限；
当或时，此时图像经过一、三、四象限；
当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限．
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题考查一次函数的图象画法及二次函数的图象与性质。
（1）先求出一次函数与坐标轴的交点和，再分别求出与坐标轴的交点和，与坐标轴的交点和，利用尺规作图确定这些交点的位置，连接对应交点即可得到函数的图象；
（2）①令，解关于的方程，得到方程的两个根，根据根的情况证明函数图象与轴总有公共点；②分、、或、四种情况，结合抛物线的开口方向、与轴和轴的交点位置，确定函数图象经过的所有象限。
23．扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形AOB、扇形COD的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r．
（1）如图1，若的长与的长相等，已知，求这个图形的面积S（结果留）；
（2）如图2，连接AB，CD ，作关于直线CD的对称图形，已知与交于点M、N，且AM＝MN，求R与r之间的数量关系；
（3）如图3，连接CD ，作关于直线CD的对称图形，如果所在的圆与所在的圆内切于点F，点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数．
【答案】（1）解：由题可知，
，
，
，
，
，解得，故，
∴
（2）解：如图，记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接，
由对称性可知P是中点，由是等腰直角三角形，，
且，
再由对称性可知，
同样是等腰直角三角形，，，
，
，
Q是中点也是中点，
由已知得，
，
，
又，在中，由勾股定理得
，
即，解得或，
由题可知，故 ．
（3）解：如图，记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H，
由于所在的圆与所在的圆内切于点F，
，
由①知，
，
，
，
，
，
，再由知是等腰直角三角形，
，
，
∴.
∴，
，
由是等腰三角形，
，
．
【知识点】圆与圆的位置关系；弧长的计算；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查扇形的弧长与面积计算、轴对称的性质、圆与圆的位置关系及解三角形的综合应用。
（1）先根据弧长公式分别表示出和的长，结合两者相等及建立方程，求出和的值，再利用扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，相加即为图形的总面积；
（2）作点关于直线的对称点，利用轴对称的性质和等腰直角三角形的性质求出、、等相关线段的长度，再在中利用勾股定理建立与的方程，求解并舍去不符合条件的解即可得到两者的数量关系；
（3）同样作点的对称点，根据两圆内切的性质得到、、三点共线，利用线段比例关系推出，再通过解直角三角形求出和的度数，最后利用角的和差关系求出的度数。
1 / 1

展开更多......

收起↑