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广东省深圳市富源学校2026年九年级数学中考全真模拟考试试卷
1．《九章算术》中对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之.”若盈余3万元记作+3万元，则-3万元表示（　　）
A．亏损-3万元 B．盈余3万元
C．亏损3万元 D．不盈余不亏损
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵ 盈余3万元记作万元，
∴ 与盈余相反的意义是亏损。
∴万元表示亏损3万元。
故答案为：C
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量。题中已经规定“盈余”为正，则与“盈余”意义相反的“亏损”应为负，所以万元表示亏损3万元。
2．下列音符图片是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察四个图形，只有选项 B 中的图形沿中间竖直直线对折后，两边能够完全重合。
故答案为：B
【分析】本题考查轴对称图形的判断。轴对称图形要求存在一条直线，使图形沿这条直线折叠后两部分完全重合。选项 B 满足这一特点，其余图形不能找到这样的对称轴。
3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=110°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若，则同旁内角互补，
∵对顶角相等，
则
∵，
还需增大
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的判定。两条直线被第三条直线所截时，如果同旁内角互补，则两直线平行。题中与的和为，还差才能达到，所以木条至少顺时针旋转。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 不是同类项，不能合并为 ，错误；
B. ，错误；
C. ，错误；
D. ，正确。
故答案为：D
【分析】本题考查整式幂的运算。乘法同底数幂指数相加，除法同底数幂指数相减，幂的乘方指数相乘。只有选项D符合。
5．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的棋子的结果数为4种，
∴两次摸到不同颜色的棋子的概率，
故答案为：D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到不同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 ，得
由 ，得
不等式组的解集为
数轴上应表示为处空心圆，处实心圆，中间部分连线，如图：
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。先分别求出两个不等式的解集，再取公共部分。>符号对应空心圆，符号对应实心圆，故表达在数轴上即可求解。
7．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的水平距离BD可以表示为（　　）
A．（m-n）cosα米 B．（m-n）sinα米
C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：甲的水平距离为，乙的水平距离为
两人的水平距离为
故答案为：A
【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用。在坡面长度已知、坡角为 时，水平距离等于坡面长度乘以。甲、乙都从同一点出发，所以两人的水平距离是两个水平投影的差。
8．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时，PO的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；通过函数图象获取信息；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图象可知，，。
菱形的对角线互相垂直平分，
由勾股定理得
∵ 点P运动到BC的中点，
故答案为：C
【分析】本题考查菱形性质与函数图象的结合。图象中点在，时，，所以；点在时，，所以。菱形对角线互相垂直平分，进而根据勾股定理求出BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
9．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数非负。
解得
故答案为：
【分析】本题考查二次根式有意义的条件。二次根式在实数范围内有意义，必须满足，因此只需令并解不等式。
10．平面直角坐标系xOy中，点M（a，a+3），N（-3，1），若直线MN与x轴平行，则点M的坐标是　 　.
【答案】（-2，1）
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：轴，点，的纵坐标相等。
，
解得
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线特点。平行于轴的直线上所有点的纵坐标相同，所以令的纵坐标等于的纵坐标，即可求出点坐标。
11．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则的长度为　 　.
【答案】4π
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的每个内角为，
。
半径
弧的长为
故答案为：
【分析】本题考查正多边形内角和弧长公式。正六边形每个内角为，弧是以为圆心、半径为、圆心角为的弧，代入弧长公式即可求解。
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点A在反比例函数的图象上，∠BAC=90°，点B、C分别在坐标轴上，且AB=AC，若OB=3，OC=4，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点作轴于点，轴于点，
，
四边形是矩形，
。
又，
，
。
在和中：
，
，。
且四边形是矩形，
四边形是正方形，
。
设，则，。
由得：，
解得。
，，
点坐标为。
将代入得：
。
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质。通过作两条坐标轴的垂线构造矩形，利用推导出角相等，结合证明与全等，得到对应边相等。由邻边相等的矩形是正方形判定四边形为正方形，进而得到。设未知数表示出和的长度，列方程求解得到点坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式求出的值。
13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=6，点D，E分别在AC，BC上，连接AE，BD交于点F，且则AF的长为　 　.
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，
， AB=BC=6，
是等腰直角三角形，
。
，
是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得：
，
即，
解得。
。
在中，由勾股定理得：
是的外角，
。
又，
。
，
是等腰直角三角形，
。
在和中：
，
。
代入已知边长得：
。
解得：，，
，
故答案为：
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角性质、相似三角形的判定与性质。先根据已知条件判定为等腰直角三角形，得到，过点作两条垂线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出、和的长度。利用三角形外角性质结合已知角相等推导出，得到为等腰直角三角形，即。再通过两角分别相等证明与相似，根据相似三角形对应边成比例求出和的长度，最后将与相加得到的长。
14．计算：
【答案】解：原式
=2.
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数混合运算。负数的偶数次方结果为，负指数幂转化为倒数，先判断再化简绝对值，同时代入特殊角三角函数值，逐步计算求值。
15．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解．
16． 2026年2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划.为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取40名学生开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下.
七、八年级调查数据统计表
年级 中位数 众数 平均数
七年级 a 2 2.25
八年级 2 b 2.1
（1）在调查数据条形图中，七年级劳动时间为3小时的有 ▲ 人，并补全条形图；
（2）统计表中a=　 　，b=　 　.
（3）若八年级有400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数.
（4）该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长 结合统计数据说明理由.
【答案】（1）10；补全条形统计图如图所示
（2）2；1
（3）用400乘以样本中八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数占比可得：400×（1-40%）=240名，
答：估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数为240名
（4）七年级学生劳动时间更长，理由如下：
两个年级学生劳动时间的中位数相同，但七年级学生劳动时间的平均数和众数均高于八年级，所以七年级学生劳动时间更长.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)七年级共调查人，已知劳动时间为小时的有人，小时的有人，小时的有人，
劳动时间为小时的有人，
故答案为：10
(2)七年级数据从小到大排列后，第个和第个数据均为，
。
八年级调查数据扇形图中，劳动时间为小时的人数占比为40%，占比最大，
众数。
故答案为：2，1；
【分析】(1)本考查条形统计图中频数的补全。七年级样本总人数是，用总人数减去已知各组人数，就能得到劳动时间为小时的人数；
(2)本问考查中位数和众数。七年级共有个数据，中位数是第个和第个数据的平均数；八年级众数是出现次数最多的劳动时间，由扇形图可知小时占比最大；
(3)本问考查用样本估计总体。八年级劳动时间不低于小时的人数比例等于除去小时人数比例后的部分，再乘以八年级总人数；
(4)本问考查平均数、中位数、众数的综合比较。两个年级中位数相同，说明中间水平相近，而七年级平均数和众数都更大，所以七年级整体劳动时间更长。
17．某超市在端午节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍.
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子
【答案】（1）解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价是2x元，
依题意得：
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
∴2x=8，
答：甲种粽子的单价是8元，乙种粽子的单价是4元.
（2）设购进m个，甲种粽子，则购进（200-m）个乙种粽子，
依题意得：8m+4（200-m）≤1150，
解得：m≤87.5，
答：最多购进87个甲种粽子.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)本问考查分式方程解决实际问题。数量等于金额除以单价，设乙种单价为，甲种单价就是，再根据甲种数量比乙种少个列分式方程求解；
(2)本问考查一元一次不等式的应用。结合总个数设未知数，根据总金额不超过元列不等式，结合实际意义取不超过的最大整数。
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AB=4，BC=5，BD=2
（1）求证：BD⊥CD；
（2）请用不带刻度的直尺和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断AD是否为⊙O的切线，并说明理由.
【答案】（1）证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠BDC=∠A=90°，
即BD⊥CD.
（2）解：如图所示，⊙O即为所求.
AD是⊙O的切线.
理由如下：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴AB∥OD.
∵∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线.
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的判定；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】(1)本问考查相似三角形判定和垂直证明。由已知边长可得到，再结合角平分线得到夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等证明两个三角形相似，由对应角相等推出；
(2)本问考查外接圆与切线判定。由(1)知是直角三角形，直角三角形外接圆圆心是斜边的中点。要证明是切线，只需证明半径。通过等腰三角形的底角相等和角平分线关系，推出，再由得到，进而证明切线。
19．体育课上小李同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的看作是抛物线的一部分.如图-1是小李连续两次蛙跳的运动示意图.
规定小李距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），第一个蛙跳的起跳点为原点，并在（1，0.4）达到最高点.在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳.路线为抛物线其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同.
（1）求小李第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式；
（2）若小李第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点.
①求k的值；
②在距离原点3m处，水平放置一个距离地面高度为0.12m的可调节支撑杆，判断小李在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆 并说明理由；
（3）如图2.为提高训练效果，老师指导小李在可调节坡度的斜坡（近似看作直线y=mx（m≠0））上进行训练，P为斜坡与L1的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且PQ⊥x轴.当且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围.
【答案】（1）解：依题意，设小李第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为代入（0，0）得，0=a+0.4
解得：a=-0.4
（2）①∵第一个蛙跳在点A处落地，
∴当y=0时，
解得：
∴A（2，0），
∵第二个蛙跳路线为抛物线L2：y=a（x-h）2+k（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同.
∵在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点，
又∵A（2，0），
解得：
②小李在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下，
当x=3时，
∵0.08<0.12，
∴小李在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆
（3）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】(3)整理。
联立与，得，
除去，解得。
与顶点纵坐标相等，。
点同时在、上，可得。
由题意二次蛙跳顶点在点右侧，得。
代入，得。
当时，求得
【分析】(1)本问考查二次函数顶点式。题中直接给出抛物线顶点，因此设顶点式解析式，再利用起跳点代入求出系数；
(2)①本问考查抛物线平移与待定系数法。令函数值为求出第一次落地点，两个抛物线开口一致则二次项系数相同，将落地点坐标代入解析式求出；②本问考查函数值与实际高度比较。把支撑杆对应横坐标代入解析式求出高度，和支撑杆高度对比即可判断；
(3)本问考查二次函数与一次函数交点及参数范围。先求直线与非原点交点横坐标，结合两条抛物线顶点纵坐标相等、公共点条件推导出与的关系式，最后根据的取值范围求出的取值范围。
20．探究与思考
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，AE与BF交于点P.
（1）【特例感知】
如图1，若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AE与BF的数量关系为　 　，位置关系为　 　；
（2）【思考探究】
如图2，若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D，则线段AE与BF满足怎样的数量关系 请证明你的猜想；
（3）【类比迁移】
如图3，若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=60°，请求出的值；
（4）【联系拓广】
如图4，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=6，∠C=120°，F是CD边的中点，当点E在直线BC上运动，且直线AE与直线BF所夹的锐角为60°时，请直接写BE的长.
【答案】（1）AE=BF；AE⊥BF
（2）猜想AE=BF，证明如下：
如图在BC边上取一点M使AM=AB，则∠ABM=∠AMB.
∵四边形ABCD是菱形.
∴AB∥CD，AB=BC=AM，∠ABM+∠C=180°，∠D=∠ABE.
∵∠AME+∠AMB=180°，∠ABM+∠C=180°，
∴∠AME=∠C.
∵∠APB=∠D=∠ABM=∠AMB，
∴∠FBC=∠APB-∠AEM=∠AMB-∠AEM=∠EAM.
在△AEM和△BFC中，∠FBC=∠EAM，AM=BC，∠AME=∠C，
∴△AEM≌△BFC（ASA）.
∴AE=BF.
（3）如图，延长AB，使BG=BE.
∵AB∥CD，
∴∠GBC=∠C=60°，
∴△BGE是等边三角形.
∵∠BAE+∠BEA=∠BGC，∠PBE+∠BEP=∠APB，∠APB=∠C=60°
∴∠BAE=∠PBE.
在△EAG和△FBC中，∠GAE=∠CBF，∠G=∠C，
∴△EAG∽△FBC.
（4）或
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)当四边形是正方形，且时，
线段与的数量关系为，位置关系为。
(4)四边形是平行四边形，，。
是中点，，，即。
分两种情况讨论：
①当点在线段上时：
由角度关系得。在上取点，使。
，是等边三角形。
，。
。
。
设，则，。
，解得，即。
②当点在直线的延长线上时：
过点作，垂足为。
，，
，。
。
由勾股定理得。
结合相似三角形、等边三角形性质计算，最终解得。
综上，的长为或。
【分析】(1)本问考查正方形中特殊位置的线段关系。利用正方形内角为直角、三角形内角和与互余角关系，可证明两条线段垂直且相等；
(2)本问考查菱形中的全等三角形证明。在BC边上取一点M使AM=AB，则∠ABM=∠AMB，根据菱形的性质得到AB∥CD，AB=BC=AM，∠ABM+∠C=180°，∠D=∠ABE，进而结合题意等量代换得到∠FBC=∠APB-∠AEM=∠AMB-∠AEM=∠EAM，再根据三角形全等的判定与性质证明△AEM≌△BFC（ASA）得到AE=BF；
(3)本问考查等边三角形构造和相似三角形。延长AB，使BG=BE，根据等边三角形的判定与性质得到，进而等量代换得到∠BAE=∠PBE，再根据相似三角形的判定与性质证明△EAG∽△FBC得到；
(4)本问考查分类讨论和相似三角形。根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，即，再根据题意分类讨论：①当点在线段上，②当点在直线的延长线上，分类讨论，进而根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理即可求解。
1 / 1广东省深圳市富源学校2026年九年级数学中考全真模拟考试试卷
1．《九章算术》中对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之.”若盈余3万元记作+3万元，则-3万元表示（　　）
A．亏损-3万元 B．盈余3万元
C．亏损3万元 D．不盈余不亏损
2．下列音符图片是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=110°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的水平距离BD可以表示为（　　）
A．（m-n）cosα米 B．（m-n）sinα米
C．米 D．米
8．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时，PO的长为（　　）
A． B．2 C． D．
9．若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是　 　.
10．平面直角坐标系xOy中，点M（a，a+3），N（-3，1），若直线MN与x轴平行，则点M的坐标是　 　.
11．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点B为圆心、AB的长为半径作弧AC，则的长度为　 　.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点A在反比例函数的图象上，∠BAC=90°，点B、C分别在坐标轴上，且AB=AC，若OB=3，OC=4，则k的值为　 　.
13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=6，点D，E分别在AC，BC上，连接AE，BD交于点F，且则AF的长为　 　.
14．计算：
15．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
16． 2026年2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划.为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取40名学生开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下.
七、八年级调查数据统计表
年级 中位数 众数 平均数
七年级 a 2 2.25
八年级 2 b 2.1
（1）在调查数据条形图中，七年级劳动时间为3小时的有 ▲ 人，并补全条形图；
（2）统计表中a=　 　，b=　 　.
（3）若八年级有400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数.
（4）该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长 结合统计数据说明理由.
17．某超市在端午节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍.
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AB=4，BC=5，BD=2
（1）求证：BD⊥CD；
（2）请用不带刻度的直尺和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断AD是否为⊙O的切线，并说明理由.
19．体育课上小李同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的看作是抛物线的一部分.如图-1是小李连续两次蛙跳的运动示意图.
规定小李距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），第一个蛙跳的起跳点为原点，并在（1，0.4）达到最高点.在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳.路线为抛物线其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同.
（1）求小李第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式；
（2）若小李第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点.
①求k的值；
②在距离原点3m处，水平放置一个距离地面高度为0.12m的可调节支撑杆，判断小李在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆 并说明理由；
（3）如图2.为提高训练效果，老师指导小李在可调节坡度的斜坡（近似看作直线y=mx（m≠0））上进行训练，P为斜坡与L1的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且PQ⊥x轴.当且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围.
20．探究与思考
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，AE与BF交于点P.
（1）【特例感知】
如图1，若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AE与BF的数量关系为　 　，位置关系为　 　；
（2）【思考探究】
如图2，若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D，则线段AE与BF满足怎样的数量关系 请证明你的猜想；
（3）【类比迁移】
如图3，若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=60°，请求出的值；
（4）【联系拓广】
如图4，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=6，∠C=120°，F是CD边的中点，当点E在直线BC上运动，且直线AE与直线BF所夹的锐角为60°时，请直接写BE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵ 盈余3万元记作万元，
∴ 与盈余相反的意义是亏损。
∴万元表示亏损3万元。
故答案为：C
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量。题中已经规定“盈余”为正，则与“盈余”意义相反的“亏损”应为负，所以万元表示亏损3万元。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察四个图形，只有选项 B 中的图形沿中间竖直直线对折后，两边能够完全重合。
故答案为：B
【分析】本题考查轴对称图形的判断。轴对称图形要求存在一条直线，使图形沿这条直线折叠后两部分完全重合。选项 B 满足这一特点，其余图形不能找到这样的对称轴。
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若，则同旁内角互补，
∵对顶角相等，
则
∵，
还需增大
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的判定。两条直线被第三条直线所截时，如果同旁内角互补，则两直线平行。题中与的和为，还差才能达到，所以木条至少顺时针旋转。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 不是同类项，不能合并为 ，错误；
B. ，错误；
C. ，错误；
D. ，正确。
故答案为：D
【分析】本题考查整式幂的运算。乘法同底数幂指数相加，除法同底数幂指数相减，幂的乘方指数相乘。只有选项D符合。
5．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的棋子的结果数为4种，
∴两次摸到不同颜色的棋子的概率，
故答案为：D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到不同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算．
6．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 ，得
由 ，得
不等式组的解集为
数轴上应表示为处空心圆，处实心圆，中间部分连线，如图：
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。先分别求出两个不等式的解集，再取公共部分。>符号对应空心圆，符号对应实心圆，故表达在数轴上即可求解。
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：甲的水平距离为，乙的水平距离为
两人的水平距离为
故答案为：A
【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用。在坡面长度已知、坡角为 时，水平距离等于坡面长度乘以。甲、乙都从同一点出发，所以两人的水平距离是两个水平投影的差。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；通过函数图象获取信息；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图象可知，，。
菱形的对角线互相垂直平分，
由勾股定理得
∵ 点P运动到BC的中点，
故答案为：C
【分析】本题考查菱形性质与函数图象的结合。图象中点在，时，，所以；点在时，，所以。菱形对角线互相垂直平分，进而根据勾股定理求出BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
9．【答案】m≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数非负。
解得
故答案为：
【分析】本题考查二次根式有意义的条件。二次根式在实数范围内有意义，必须满足，因此只需令并解不等式。
10．【答案】（-2，1）
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：轴，点，的纵坐标相等。
，
解得
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线特点。平行于轴的直线上所有点的纵坐标相同，所以令的纵坐标等于的纵坐标，即可求出点坐标。
11．【答案】4π
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的每个内角为，
。
半径
弧的长为
故答案为：
【分析】本题考查正多边形内角和弧长公式。正六边形每个内角为，弧是以为圆心、半径为、圆心角为的弧，代入弧长公式即可求解。
12．【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点作轴于点，轴于点，
，
四边形是矩形，
。
又，
，
。
在和中：
，
，。
且四边形是矩形，
四边形是正方形，
。
设，则，。
由得：，
解得。
，，
点坐标为。
将代入得：
。
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质。通过作两条坐标轴的垂线构造矩形，利用推导出角相等，结合证明与全等，得到对应边相等。由邻边相等的矩形是正方形判定四边形为正方形，进而得到。设未知数表示出和的长度，列方程求解得到点坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式求出的值。
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，
， AB=BC=6，
是等腰直角三角形，
。
，
是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得：
，
即，
解得。
。
在中，由勾股定理得：
是的外角，
。
又，
。
，
是等腰直角三角形，
。
在和中：
，
。
代入已知边长得：
。
解得：，，
，
故答案为：
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角性质、相似三角形的判定与性质。先根据已知条件判定为等腰直角三角形，得到，过点作两条垂线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出、和的长度。利用三角形外角性质结合已知角相等推导出，得到为等腰直角三角形，即。再通过两角分别相等证明与相似，根据相似三角形对应边成比例求出和的长度，最后将与相加得到的长。
14．【答案】解：原式
=2.
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数混合运算。负数的偶数次方结果为，负指数幂转化为倒数，先判断再化简绝对值，同时代入特殊角三角函数值，逐步计算求值。
15．【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解．
16．【答案】（1）10；补全条形统计图如图所示
（2）2；1
（3）用400乘以样本中八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数占比可得：400×（1-40%）=240名，
答：估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数为240名
（4）七年级学生劳动时间更长，理由如下：
两个年级学生劳动时间的中位数相同，但七年级学生劳动时间的平均数和众数均高于八年级，所以七年级学生劳动时间更长.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)七年级共调查人，已知劳动时间为小时的有人，小时的有人，小时的有人，
劳动时间为小时的有人，
故答案为：10
(2)七年级数据从小到大排列后，第个和第个数据均为，
。
八年级调查数据扇形图中，劳动时间为小时的人数占比为40%，占比最大，
众数。
故答案为：2，1；
【分析】(1)本考查条形统计图中频数的补全。七年级样本总人数是，用总人数减去已知各组人数，就能得到劳动时间为小时的人数；
(2)本问考查中位数和众数。七年级共有个数据，中位数是第个和第个数据的平均数；八年级众数是出现次数最多的劳动时间，由扇形图可知小时占比最大；
(3)本问考查用样本估计总体。八年级劳动时间不低于小时的人数比例等于除去小时人数比例后的部分，再乘以八年级总人数；
(4)本问考查平均数、中位数、众数的综合比较。两个年级中位数相同，说明中间水平相近，而七年级平均数和众数都更大，所以七年级整体劳动时间更长。
17．【答案】（1）解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价是2x元，
依题意得：
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意，
∴2x=8，
答：甲种粽子的单价是8元，乙种粽子的单价是4元.
（2）设购进m个，甲种粽子，则购进（200-m）个乙种粽子，
依题意得：8m+4（200-m）≤1150，
解得：m≤87.5，
答：最多购进87个甲种粽子.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)本问考查分式方程解决实际问题。数量等于金额除以单价，设乙种单价为，甲种单价就是，再根据甲种数量比乙种少个列分式方程求解；
(2)本问考查一元一次不等式的应用。结合总个数设未知数，根据总金额不超过元列不等式，结合实际意义取不超过的最大整数。
18．【答案】（1）证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠BDC=∠A=90°，
即BD⊥CD.
（2）解：如图所示，⊙O即为所求.
AD是⊙O的切线.
理由如下：连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴AB∥OD.
∵∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∵OD为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线.
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的判定；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】(1)本问考查相似三角形判定和垂直证明。由已知边长可得到，再结合角平分线得到夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等证明两个三角形相似，由对应角相等推出；
(2)本问考查外接圆与切线判定。由(1)知是直角三角形，直角三角形外接圆圆心是斜边的中点。要证明是切线，只需证明半径。通过等腰三角形的底角相等和角平分线关系，推出，再由得到，进而证明切线。
19．【答案】（1）解：依题意，设小李第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为代入（0，0）得，0=a+0.4
解得：a=-0.4
（2）①∵第一个蛙跳在点A处落地，
∴当y=0时，
解得：
∴A（2，0），
∵第二个蛙跳路线为抛物线L2：y=a（x-h）2+k（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同.
∵在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点，
又∵A（2，0），
解得：
②小李在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下，
当x=3时，
∵0.08<0.12，
∴小李在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆
（3）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】(3)整理。
联立与，得，
除去，解得。
与顶点纵坐标相等，。
点同时在、上，可得。
由题意二次蛙跳顶点在点右侧，得。
代入，得。
当时，求得
【分析】(1)本问考查二次函数顶点式。题中直接给出抛物线顶点，因此设顶点式解析式，再利用起跳点代入求出系数；
(2)①本问考查抛物线平移与待定系数法。令函数值为求出第一次落地点，两个抛物线开口一致则二次项系数相同，将落地点坐标代入解析式求出；②本问考查函数值与实际高度比较。把支撑杆对应横坐标代入解析式求出高度，和支撑杆高度对比即可判断；
(3)本问考查二次函数与一次函数交点及参数范围。先求直线与非原点交点横坐标，结合两条抛物线顶点纵坐标相等、公共点条件推导出与的关系式，最后根据的取值范围求出的取值范围。
20．【答案】（1）AE=BF；AE⊥BF
（2）猜想AE=BF，证明如下：
如图在BC边上取一点M使AM=AB，则∠ABM=∠AMB.
∵四边形ABCD是菱形.
∴AB∥CD，AB=BC=AM，∠ABM+∠C=180°，∠D=∠ABE.
∵∠AME+∠AMB=180°，∠ABM+∠C=180°，
∴∠AME=∠C.
∵∠APB=∠D=∠ABM=∠AMB，
∴∠FBC=∠APB-∠AEM=∠AMB-∠AEM=∠EAM.
在△AEM和△BFC中，∠FBC=∠EAM，AM=BC，∠AME=∠C，
∴△AEM≌△BFC（ASA）.
∴AE=BF.
（3）如图，延长AB，使BG=BE.
∵AB∥CD，
∴∠GBC=∠C=60°，
∴△BGE是等边三角形.
∵∠BAE+∠BEA=∠BGC，∠PBE+∠BEP=∠APB，∠APB=∠C=60°
∴∠BAE=∠PBE.
在△EAG和△FBC中，∠GAE=∠CBF，∠G=∠C，
∴△EAG∽△FBC.
（4）或
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)当四边形是正方形，且时，
线段与的数量关系为，位置关系为。
(4)四边形是平行四边形，，。
是中点，，，即。
分两种情况讨论：
①当点在线段上时：
由角度关系得。在上取点，使。
，是等边三角形。
，。
。
。
设，则，。
，解得，即。
②当点在直线的延长线上时：
过点作，垂足为。
，，
，。
。
由勾股定理得。
结合相似三角形、等边三角形性质计算，最终解得。
综上，的长为或。
【分析】(1)本问考查正方形中特殊位置的线段关系。利用正方形内角为直角、三角形内角和与互余角关系，可证明两条线段垂直且相等；
(2)本问考查菱形中的全等三角形证明。在BC边上取一点M使AM=AB，则∠ABM=∠AMB，根据菱形的性质得到AB∥CD，AB=BC=AM，∠ABM+∠C=180°，∠D=∠ABE，进而结合题意等量代换得到∠FBC=∠APB-∠AEM=∠AMB-∠AEM=∠EAM，再根据三角形全等的判定与性质证明△AEM≌△BFC（ASA）得到AE=BF；
(3)本问考查等边三角形构造和相似三角形。延长AB，使BG=BE，根据等边三角形的判定与性质得到，进而等量代换得到∠BAE=∠PBE，再根据相似三角形的判定与性质证明△EAG∽△FBC得到；
(4)本问考查分类讨论和相似三角形。根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，即，再根据题意分类讨论：①当点在线段上，②当点在直线的延长线上，分类讨论，进而根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理即可求解。
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