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四川省达州市2026年中考数学真题
1．下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥
2．点关于轴对称的点的坐标是(　　)
A． B． C． D．
3．两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若，则(　　)
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．食盐的主要成分是，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入水，要想烧出味美的汤，可放入盐 水的密度是，
A． B． C． D．
6．“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是(　　)
一元二次方程或一元一次方程 多项式多项式单项式多项式单项式单项式
A． B． C． D．
7．下列命题为真命题的是(　　)
A．对顶角相等
B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
C．带根号的数都是无理数
D．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定
8．为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图表示质量，表示密度，表示体积，下列说法正确的是(　　)
A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的倍
B．当乙的质量为时，体积为
C．甲物质的密度小于乙物质的密度
D．甲物质的密度等于乙物质的密度
9．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为(　　)
A． B． C． D．或
10．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
　
　
　
　
在下列结论中：；；当时，的值随着值的增大而增大；，是关于的方程的两个根．正确结论的个数是(　　)
A． B． C． D．
11．实数，在数轴上对应点的位置如图所示．则　 　填“”或“”．
12．把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是　 　．
13．如图，、请你添加一个条件　 　，使得．
14．中国古代数学家李冶的测圆海镜是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，测圆海镜是高次幂在上，低次幂在下，如图中的天元式表示多项式，则图表示的多项式的二次项系数为　 　．
15．如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是　 　．
16．计算．
17．化简：．
18．为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知识竞赛活动．以下是本次竞赛成绩成绩为百分制且为整数的数据收集、整理、分析过程．
【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行记录数据．
【整理数据】将收集的名学生的竞赛成绩进行整理成绩均不低于分，用表示，将成绩分为四个等级：等级；等级；等级；等级
下面给出了部分数据：
七年级名学生竞赛成绩的数据是：
、、、、、、、、、、、、、、，
、、、、、、、、、、、、、、．
八年级名学生竞赛成绩在等级中的数据是：
、、、、、、、、、．
【描述数据】根据整理的数据、绘制出如下统计图表：
所抽取学生竞赛成绩得分统计表
统计量年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
【分析数据】根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由；言之有理即可
（3）该校八年级有学生人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数．
19．在学习特殊平行四边形时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆．
（1）在以上思维导图中横线上需要补充的条件依次为　 　，　 　；
（2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．　 　是正方形；请将添加的条件填在横线上
（3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，、是正方形的对角线所在直线上的两点，且．
求证：四边形是菱形．
20．在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九班同学需要翻越一座小山．他们由山脚处出发，先沿坡角为的山坡行走到达处，再沿坡角为的山坡行走到达山顶处．估计这座小山的高度．参考数据：、，，结果保留整数
21．已知：如图，为外一点，与相切于点连接，，为的直径、连接．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为、，求的长．
22．综合与实践
背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路忽略小路宽度把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域种植甲种蔬菜，Ⅱ区域种植乙种蔬菜．
素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，；
素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株；
素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为．
完成以下任务
（1）任务一：求四边形空地的面积；
（2）任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价；
（3）任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：　 　填“”“”或“”
23．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
（1）对于函数，，其中与是“　 　函数”，与是“　 　函数”；
（2）若与是“友好函数”，如图，当时，的取值范围是　 　；若与是“相连函数”，则的值为　 　；
（3）如图，过点的直线、对应的函数分别与，是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点直线经过点、与轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由．
25．综合与探究
（1）【方法探究】如图，直线，，两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是　 　，理由是　 　.
（2）如图，是的直径，是上的动点不与重合、是的中点，用圆规和无刻度直尺在图中作出点的运动路径不写作法、保留作图痕迹，简要说明理由；
（3）【问题解决】如图，直线，是上一点，，垂足为，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类；圆柱的特征
【解析】【解答】解：它的外形可以近似地看作圆柱，
故答案为：A．
【分析】根据物体的外形，结合几何体的特征解答即可.
2．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，
又∵点的坐标为，
∴ 对称点的横坐标变为，纵坐标保持不变，
∴的坐标为．
故答案为：B.
【分析】根据关于轴对称点的坐标特征“坐标不变，横坐标互为相反数”解答即可．
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
矩形纸条的对边平行，
水平纸条的上下边平行，倾斜纸条的左右边平行，
水平纸条上下边平行，
，
倾斜纸条左右边平行，
，
与是对顶角，
，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠4的度数，然后根据对顶角相等解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：∵和不是同类项，不能合并，∴A错误．
选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴B错误．
选项C：∵，∴C错误．
选项D：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴D正确．
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则逐项判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵，水的密度为
∴水的质量为
设放入盐的质量为，根据浓度要求在，
可得不等式：
解左边不等式：
得
解右边不等式：
得
∴盐的质量范围约为，
选项中只有在此范围内．
故选．
【分析】根据浓度公式列出不等式，得到盐的质量范围解答即可．
6．【答案】C
【知识点】转化思想
【解析】【解答】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想；
②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想；
③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想；
④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想．
综上所述，用到转化思想的是②③④．
故答案为：C.
【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．据此逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵对顶角的性质为对顶角相等，
∴A是真命题；
∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
选项B未说明“不相邻”，
∴B是假命题；
∵是有理数，说明带根号的数不一定是无理数，
∴C是假命题；
∵一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定，
∴D是假命题．
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等，三角形的外角，无理数的定义，方差的意义逐项判断解答即可．
8．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可知，当时，，，即，
A正确；
当时，由图象可知，
B错误；
当时，；当时，；
，，
，
C、D错误．
故答案为：A.
【分析】根据图象提取相关信息计算解答即可.
9．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：解不等式，移项得．
．不等式的正整数解为和．
等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和，
分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为．
，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去．
②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系，
此时周长为．
因此等腰三角形的周长为，
故选：C．
【分析】解一元一次不等式求出解集，得到得到正整数解，结合等腰三角形的定义，利用三角形三边关系判断，然后计算周长解答即可案．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，和时值均为，
因此二次函数对称轴为，
由对称轴公式得，即．
时，代入二次函数得，即，
将代入得，即．
①，，①正确．
②由可知成立，②正确．
③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误．
④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确．
综上，正确结论共3个．
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，即可得到b=-2a，判断②；然后把x=-2，y=0代入得到，得到a的取值范围判断①；根据开口方向和增减性判断③；根据对称性得到抛物线与x轴交点的横坐标判断④解答即可．
11．【答案】
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，点在点的左侧．
．
故答案为：<.
【分析】根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数进行判断即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，所有等可能的结果总数为，能打开门锁的结果数为，
因此能打开门锁的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式解答即可.
13．【答案】(答案不唯一，如或等
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
．
，
，即．
若添加，
在和中，
．
若添加
在和中，
．
若添加
在和中，
．
故答案为：(答案不唯一，如或等
【分析】根据平行线的性质得出，根据线段的和差关系得出，然后根据全等三角形的判定定理解答即可．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下，
图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项，
图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位，
千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，
该多项式的二次项系数为．
【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，即可得到图2中最上方一行表示二次项系数，根据算筹记数规则写出数值即可．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接、、，
在正六边形中，，，
∵点为正六边形的中心，
∴、、交于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
根据题意，，
在中，，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：.
【分析】连接、、，根据正六边形的性质得到、、交于点，即可得到是等边三角形，利用等边三角形的性质和正弦的定义求出．利用正多边形的内角和公式求得，根据正六边形的面积减去两个圆心角为120°的扇形面积解答即可．
16．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值、计算零次幂、算术平方根和绝对值，然后加减解答即可.
17．【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先把除法化为乘法，然后把分子、分母分解因式，约分化简解答即可.
18．【答案】（1）84；86；85
（2）解：我认为八年级的学生对交通安全知识掌握得更好，理由如下：
七年级与八年级的平均数相同，都为分，而八年级学生成绩的中位数为分，大于七年级学生成绩的中位数为分，
八年级的学生对交通安全知识掌握得更好；
（3）解：（人）.
答：估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数有人．
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级从低到高排列后第15名，16名学生的竞赛成绩是84分，84分，
∴，
∵七年级30名学生竞赛成绩出现次数最多的为85，
∴众数，
∵八年级A组有11人，
∴八年级30名学生竞赛成绩从高到低排列，第15名，16名学生的竞赛成绩是87分，85分，
即八年级中位数；
故答案为：84；85；86；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义解答即可；
（2）比较七、八年级抽取学生的平均数，中位数，作出决策即可；
（3）根据八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数的占比乘以八年级学生总数600解答即可．
19．【答案】（1）相等；相等且互相垂直.
（2）一组邻边相等的矩形答案不唯一
（3）证明：连接交于点，如图
四边形是正方形，
，，．
，
，
即．
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定与性质；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，
故答案为：相等，相等且互相垂直；
（2）解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知
故答案为：一组邻边相等的矩形（答案不唯一）；
【分析】（1）根据矩形，正方形的判定定理解答即可；
（2）根据正方形的判定定理解答即可；
（3）连接交于点，根据正方形的性质可得，，，然后根据线段的和差得到，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．
20．【答案】解：过点作于，过点作于，交于点．
由题意可得：，
，
四边形为矩形，故，
在中，米，，
米
米．
在Rt△BCH中，米，，
（米），
小山高度米．
答：这座小山的高度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点作于，过点作于，交于点，即可得到四边形BFGH是矩形，然后在和Rt△BCH中根据正弦的定义求出BF和CG长，然后根据线段的和差解答即可.
21．【答案】（1）与相切，理由如下：
连接，
与相切，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图所示，过点O作于点D，
∴．
在中，，
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据平行线的性质和等边对等角性得到，利用SAS得到，即可得到证明结论即可；
（2） 过点O作于点D， 根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求出，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
22．【答案】（1）解：，，，
米
米，米，
是直角三角形，且
平方米；
（2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙菜苗的单价为元，
答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株
（3）
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；有理数混合运算的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株）
乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株）
∵
∴
故答案为：>.
【分析】（1）根据勾股定理求得长，进利用勾股定理的推论得到是直角三角形，且，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）设甲菜苗的单价为元每株，根据“ 乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株 ”列分式方程，求出x的值并检验解答即可．
（3）根据公式计算出两种菜苗的实际成本，然后比较大小解答即可．
23．【答案】（1）陌生；友好
（2）或；
（3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，
联立与，得，
，
整理，得，
当时，，与题意矛盾，
，
与是“相连函数”，
，
，即，
直线的函数解析式为，
将代入，得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为，
，即，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：（1）对于①与②，联立得，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数解，即与无交点，
∴①与②是“陌生函数”，
对于①与③，联立得，
整理，得，
解得或，
∴与有两个交点，
∴①与③是“友好函数”；
故答案为：陌生；友好；
（2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象，
∴当时，的取值范围是或；
联立与，得，
，
整理，得，
当时，，与矛盾，
∴，
∵与是“相连函数”，
∴，
解得；
故答案为：或；.
【分析】（1）联立两函数解析式，根据根的判别式得到方程的解的个数，再根据新定义判断即可；
（2）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围；联立两函数解析式，根据求出的值即可；
（3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，根据求出，从而得到点的坐标为，同理可得点的坐标为．根据题意得到，然后根据完全平方公式的变形解答即可．
24．【答案】（1）解：直线与轴交于点，
把，代入得，
解得，
直线解析式为，
直线经过点，且点在轴上，
令，得，
，
抛物线与轴交于点，
把代入，得，
解得，
，
综上所述，，抛物线的函数表达式为；
（2）解：，，
，，
，
，
四边形的周长为：，
求四边形周长的最小值，只需求的最小值，
抛物线的函数表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
、在直线上，且，在上方，
设，，
如图：把点向上平移个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、，
在四边形中，
轴，轴，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
与关于直线对称，在直线上，
，
，
两点之间线段最短，
当点在与直线的交点处时，最小，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得
直线的解析式为，
当时，，
；
（3）或或
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）抛物线与轴交于，两点，
令，得，
解得：或，
在左侧，
，，
由知，，
，，
，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，，
点沿射线方向平移个单位长度后与点重合，
，，
抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，如图：
抛物线的对称轴为直线，
平移后对称轴为直线，
点为平移后的抛物线对称轴上一动点，
设，
，，
，，
，
若，如图：
则，
，
解得，
，
若，如图：
则，
，
解得或，
或，
若，如图：
则，
，
解得，
．
故答案为：或或.
【分析】（1）将点的坐标代入直线解析式求出的值，进而求出点坐标，然后把点C的坐标代入抛物线解析式求出a的值解答即可；
（2）根据点C和D的坐标求出、为定长，即可得到四边形的周长最小时最小；设，，把点向上平移个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、，即可得到四边形是平行四边形，得到DF=D'E，然后根据两点之间线段最短得到到当点在与直线的交点处时，最小，然后求出直线的解析式，进而求出点E的坐标即可；
（3）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后根据题意得到抛物线可看作整体向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到平移后的解析式，设，根据两点间距离公式表示AC，AG和CG长，再根据或两种情况列方程求出n的值解答即可．
25．【答案】（1）相等；同底等高的三角形面积相等
（2）解：如图，
点的运动路径是以线段为直径的圆不包含点
证明：连接，
是中点，是的中点，
是的中位线
．
又是直径
，
，
点在以为直径的圆上．
又点、不重合，故点不与点重合，
点的运动路径是以线段为直径的圆不包含点
（3）解：过点作，交于，交于，
由可得：，
，，，
，即，
解得：，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，即，
，
点在以为直径的半圆弧上方，不含、两点上运动，
取中点，则，连接、，
，
当点在延长上时，最大，最大值为，
，，
，即，
，
，
即最大值为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解： 、 、 面积相等．
理由：它们共底边，且由于，顶点到直线 的距离（即高）相等，故面积相等．
故答案为：相等；同底等高的三角形面积相等.
【分析】（1）根据同底等高的三角形的面积相等解答即可；
（2）以OA为直径作圆；根据三角形中位线定理得到，即可得到，根据角所对弦是直径得到点D的运动路径是以为直径的圆上（不包含点）；
（3）过点作，交于，交于，根据（1）的结论可得，利用△EMG的面积求得，然后证明四边形是平行四边形，即可得到，得到是直角三角形，即可得到点在以为直径的半圆弧上方，不含、两点上运动，取中点，得到OG长，进而可得当点在延长上时，最大，最大值为，根据勾股定理求出ON长解答即可．
1 / 1四川省达州市2026年中考数学真题
1．下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类；圆柱的特征
【解析】【解答】解：它的外形可以近似地看作圆柱，
故答案为：A．
【分析】根据物体的外形，结合几何体的特征解答即可.
2．点关于轴对称的点的坐标是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，
又∵点的坐标为，
∴ 对称点的横坐标变为，纵坐标保持不变，
∴的坐标为．
故答案为：B.
【分析】根据关于轴对称点的坐标特征“坐标不变，横坐标互为相反数”解答即可．
3．两条完全相同的矩形纸条如图叠放，若，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
矩形纸条的对边平行，
水平纸条的上下边平行，倾斜纸条的左右边平行，
水平纸条上下边平行，
，
倾斜纸条左右边平行，
，
与是对顶角，
，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到∠4的度数，然后根据对顶角相等解答即可．
4．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：∵和不是同类项，不能合并，∴A错误．
选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，，∴B错误．
选项C：∵，∴C错误．
选项D：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴D正确．
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法法则逐项判断解答即可．
5．食盐的主要成分是，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入水，要想烧出味美的汤，可放入盐 水的密度是，
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵，水的密度为
∴水的质量为
设放入盐的质量为，根据浓度要求在，
可得不等式：
解左边不等式：
得
解右边不等式：
得
∴盐的质量范围约为，
选项中只有在此范围内．
故选．
【分析】根据浓度公式列出不等式，得到盐的质量范围解答即可．
6．“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是(　　)
一元二次方程或一元一次方程 多项式多项式单项式多项式单项式单项式
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】转化思想
【解析】【解答】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想；
②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想；
③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想；
④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想．
综上所述，用到转化思想的是②③④．
故答案为：C.
【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．据此逐项判断即可.
7．下列命题为真命题的是(　　)
A．对顶角相等
B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
C．带根号的数都是无理数
D．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵对顶角的性质为对顶角相等，
∴A是真命题；
∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
选项B未说明“不相邻”，
∴B是假命题；
∵是有理数，说明带根号的数不一定是无理数，
∴C是假命题；
∵一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定，
∴D是假命题．
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等，三角形的外角，无理数的定义，方差的意义逐项判断解答即可．
8．为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图表示质量，表示密度，表示体积，下列说法正确的是(　　)
A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的倍
B．当乙的质量为时，体积为
C．甲物质的密度小于乙物质的密度
D．甲物质的密度等于乙物质的密度
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可知，当时，，，即，
A正确；
当时，由图象可知，
B错误；
当时，；当时，；
，，
，
C、D错误．
故答案为：A.
【分析】根据图象提取相关信息计算解答即可.
9．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为(　　)
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：解不等式，移项得．
．不等式的正整数解为和．
等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和，
分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为．
，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去．
②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系，
此时周长为．
因此等腰三角形的周长为，
故选：C．
【分析】解一元一次不等式求出解集，得到得到正整数解，结合等腰三角形的定义，利用三角形三边关系判断，然后计算周长解答即可案．
10．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
　
　
　
　
在下列结论中：；；当时，的值随着值的增大而增大；，是关于的方程的两个根．正确结论的个数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格可知，和时值均为，
因此二次函数对称轴为，
由对称轴公式得，即．
时，代入二次函数得，即，
将代入得，即．
①，，①正确．
②由可知成立，②正确．
③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误．
④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确．
综上，正确结论共3个．
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，即可得到b=-2a，判断②；然后把x=-2，y=0代入得到，得到a的取值范围判断①；根据开口方向和增减性判断③；根据对称性得到抛物线与x轴交点的横坐标判断④解答即可．
11．实数，在数轴上对应点的位置如图所示．则　 　填“”或“”．
【答案】
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，点在点的左侧．
．
故答案为：<.
【分析】根据数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数进行判断即可．
12．把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，所有等可能的结果总数为，能打开门锁的结果数为，
因此能打开门锁的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式解答即可.
13．如图，、请你添加一个条件　 　，使得．
【答案】(答案不唯一，如或等
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
．
，
，即．
若添加，
在和中，
．
若添加
在和中，
．
若添加
在和中，
．
故答案为：(答案不唯一，如或等
【分析】根据平行线的性质得出，根据线段的和差关系得出，然后根据全等三角形的判定定理解答即可．
14．中国古代数学家李冶的测圆海镜是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，测圆海镜是高次幂在上，低次幂在下，如图中的天元式表示多项式，则图表示的多项式的二次项系数为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下，
图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项，
图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位，
千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，
该多项式的二次项系数为．
【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，即可得到图2中最上方一行表示二次项系数，根据算筹记数规则写出数值即可．
15．如图，已知正六边形的中心为、边心距，分别以、为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边，所围成的阴影部分面积是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接、、，
在正六边形中，，，
∵点为正六边形的中心，
∴、、交于点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
根据题意，，
在中，，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：.
【分析】连接、、，根据正六边形的性质得到、、交于点，即可得到是等边三角形，利用等边三角形的性质和正弦的定义求出．利用正多边形的内角和公式求得，根据正六边形的面积减去两个圆心角为120°的扇形面积解答即可．
16．计算．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊角的三角函数值、计算零次幂、算术平方根和绝对值，然后加减解答即可.
17．化简：．
【答案】解：原式
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先把除法化为乘法，然后把分子、分母分解因式，约分化简解答即可.
18．为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知识竞赛活动．以下是本次竞赛成绩成绩为百分制且为整数的数据收集、整理、分析过程．
【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行记录数据．
【整理数据】将收集的名学生的竞赛成绩进行整理成绩均不低于分，用表示，将成绩分为四个等级：等级；等级；等级；等级
下面给出了部分数据：
七年级名学生竞赛成绩的数据是：
、、、、、、、、、、、、、、，
、、、、、、、、、、、、、、．
八年级名学生竞赛成绩在等级中的数据是：
、、、、、、、、、．
【描述数据】根据整理的数据、绘制出如下统计图表：
所抽取学生竞赛成绩得分统计表
统计量年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
【分析数据】根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由；言之有理即可
（3）该校八年级有学生人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数．
【答案】（1）84；86；85
（2）解：我认为八年级的学生对交通安全知识掌握得更好，理由如下：
七年级与八年级的平均数相同，都为分，而八年级学生成绩的中位数为分，大于七年级学生成绩的中位数为分，
八年级的学生对交通安全知识掌握得更好；
（3）解：（人）.
答：估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数有人．
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级从低到高排列后第15名，16名学生的竞赛成绩是84分，84分，
∴，
∵七年级30名学生竞赛成绩出现次数最多的为85，
∴众数，
∵八年级A组有11人，
∴八年级30名学生竞赛成绩从高到低排列，第15名，16名学生的竞赛成绩是87分，85分，
即八年级中位数；
故答案为：84；85；86；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义解答即可；
（2）比较七、八年级抽取学生的平均数，中位数，作出决策即可；
（3）根据八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数的占比乘以八年级学生总数600解答即可．
19．在学习特殊平行四边形时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆．
（1）在以上思维导图中横线上需要补充的条件依次为　 　，　 　；
（2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．　 　是正方形；请将添加的条件填在横线上
（3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，、是正方形的对角线所在直线上的两点，且．
求证：四边形是菱形．
【答案】（1）相等；相等且互相垂直.
（2）一组邻边相等的矩形答案不唯一
（3）证明：连接交于点，如图
四边形是正方形，
，，．
，
，
即．
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定与性质；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，
故答案为：相等，相等且互相垂直；
（2）解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知
故答案为：一组邻边相等的矩形（答案不唯一）；
【分析】（1）根据矩形，正方形的判定定理解答即可；
（2）根据正方形的判定定理解答即可；
（3）连接交于点，根据正方形的性质可得，，，然后根据线段的和差得到，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．
20．在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九班同学需要翻越一座小山．他们由山脚处出发，先沿坡角为的山坡行走到达处，再沿坡角为的山坡行走到达山顶处．估计这座小山的高度．参考数据：、，，结果保留整数
【答案】解：过点作于，过点作于，交于点．
由题意可得：，
，
四边形为矩形，故，
在中，米，，
米
米．
在Rt△BCH中，米，，
（米），
小山高度米．
答：这座小山的高度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点作于，过点作于，交于点，即可得到四边形BFGH是矩形，然后在和Rt△BCH中根据正弦的定义求出BF和CG长，然后根据线段的和差解答即可.
21．已知：如图，为外一点，与相切于点连接，，为的直径、连接．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为、，求的长．
【答案】（1）与相切，理由如下：
连接，
与相切，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图所示，过点O作于点D，
∴．
在中，，
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据平行线的性质和等边对等角性得到，利用SAS得到，即可得到证明结论即可；
（2） 过点O作于点D， 根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求出，然后根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
22．综合与实践
背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路忽略小路宽度把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域种植甲种蔬菜，Ⅱ区域种植乙种蔬菜．
素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，；
素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株；
素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为．
完成以下任务
（1）任务一：求四边形空地的面积；
（2）任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价；
（3）任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：　 　填“”“”或“”
【答案】（1）解：，，，
米
米，米，
是直角三角形，且
平方米；
（2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙菜苗的单价为元，
答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株
（3）
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；有理数混合运算的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株）
乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株）
∵
∴
故答案为：>.
【分析】（1）根据勾股定理求得长，进利用勾股定理的推论得到是直角三角形，且，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）设甲菜苗的单价为元每株，根据“ 乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株 ”列分式方程，求出x的值并检验解答即可．
（3）根据公式计算出两种菜苗的实际成本，然后比较大小解答即可．
23．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
（1）对于函数，，其中与是“　 　函数”，与是“　 　函数”；
（2）若与是“友好函数”，如图，当时，的取值范围是　 　；若与是“相连函数”，则的值为　 　；
（3）如图，过点的直线、对应的函数分别与，是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值．
【答案】（1）陌生；友好
（2）或；
（3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，
联立与，得，
，
整理，得，
当时，，与题意矛盾，
，
与是“相连函数”，
，
，即，
直线的函数解析式为，
将代入，得，
点的坐标为，
同理，点的坐标为，
，即，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：（1）对于①与②，联立得，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数解，即与无交点，
∴①与②是“陌生函数”，
对于①与③，联立得，
整理，得，
解得或，
∴与有两个交点，
∴①与③是“友好函数”；
故答案为：陌生；友好；
（2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象，
∴当时，的取值范围是或；
联立与，得，
，
整理，得，
当时，，与矛盾，
∴，
∵与是“相连函数”，
∴，
解得；
故答案为：或；.
【分析】（1）联立两函数解析式，根据根的判别式得到方程的解的个数，再根据新定义判断即可；
（2）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围；联立两函数解析式，根据求出的值即可；
（3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，根据求出，从而得到点的坐标为，同理可得点的坐标为．根据题意得到，然后根据完全平方公式的变形解答即可．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点直线经过点、与轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由．
【答案】（1）解：直线与轴交于点，
把，代入得，
解得，
直线解析式为，
直线经过点，且点在轴上，
令，得，
，
抛物线与轴交于点，
把代入，得，
解得，
，
综上所述，，抛物线的函数表达式为；
（2）解：，，
，，
，
，
四边形的周长为：，
求四边形周长的最小值，只需求的最小值，
抛物线的函数表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
、在直线上，且，在上方，
设，，
如图：把点向上平移个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、，
在四边形中，
轴，轴，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
与关于直线对称，在直线上，
，
，
两点之间线段最短，
当点在与直线的交点处时，最小，
设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得
直线的解析式为，
当时，，
；
（3）或或
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）抛物线与轴交于，两点，
令，得，
解得：或，
在左侧，
，，
由知，，
，，
，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，，
点沿射线方向平移个单位长度后与点重合，
，，
抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，如图：
抛物线的对称轴为直线，
平移后对称轴为直线，
点为平移后的抛物线对称轴上一动点，
设，
，，
，，
，
若，如图：
则，
，
解得，
，
若，如图：
则，
，
解得或，
或，
若，如图：
则，
，
解得，
．
故答案为：或或.
【分析】（1）将点的坐标代入直线解析式求出的值，进而求出点坐标，然后把点C的坐标代入抛物线解析式求出a的值解答即可；
（2）根据点C和D的坐标求出、为定长，即可得到四边形的周长最小时最小；设，，把点向上平移个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、，即可得到四边形是平行四边形，得到DF=D'E，然后根据两点之间线段最短得到到当点在与直线的交点处时，最小，然后求出直线的解析式，进而求出点E的坐标即可；
（3）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后根据题意得到抛物线可看作整体向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到平移后的解析式，设，根据两点间距离公式表示AC，AG和CG长，再根据或两种情况列方程求出n的值解答即可．
25．综合与探究
（1）【方法探究】如图，直线，，两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是　 　，理由是　 　.
（2）如图，是的直径，是上的动点不与重合、是的中点，用圆规和无刻度直尺在图中作出点的运动路径不写作法、保留作图痕迹，简要说明理由；
（3）【问题解决】如图，直线，是上一点，，垂足为，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值．
【答案】（1）相等；同底等高的三角形面积相等
（2）解：如图，
点的运动路径是以线段为直径的圆不包含点
证明：连接，
是中点，是的中点，
是的中位线
．
又是直径
，
，
点在以为直径的圆上．
又点、不重合，故点不与点重合，
点的运动路径是以线段为直径的圆不包含点
（3）解：过点作，交于，交于，
由可得：，
，，，
，即，
解得：，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，即，
，
点在以为直径的半圆弧上方，不含、两点上运动，
取中点，则，连接、，
，
当点在延长上时，最大，最大值为，
，，
，即，
，
，
即最大值为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解： 、 、 面积相等．
理由：它们共底边，且由于，顶点到直线 的距离（即高）相等，故面积相等．
故答案为：相等；同底等高的三角形面积相等.
【分析】（1）根据同底等高的三角形的面积相等解答即可；
（2）以OA为直径作圆；根据三角形中位线定理得到，即可得到，根据角所对弦是直径得到点D的运动路径是以为直径的圆上（不包含点）；
（3）过点作，交于，交于，根据（1）的结论可得，利用△EMG的面积求得，然后证明四边形是平行四边形，即可得到，得到是直角三角形，即可得到点在以为直径的半圆弧上方，不含、两点上运动，取中点，得到OG长，进而可得当点在延长上时，最大，最大值为，根据勾股定理求出ON长解答即可．
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