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安徽省2026年中考数学真题
1．下列比小的数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-2<0<2<7
故答案为：C
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．科学杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文模型“星衍”，可探测到距地球超过亿光年的星系，其中亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿=13000000000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．一个几何体如图水平放置，其主视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
主视图为
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．下列各式中，计算结果等于的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：不能合并，不符合题意；
C：，符合题意；
D：，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
5．已知一组数据：，，，，，，该组数据的中位数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，9
处在最中间的数为3，即中位数为3
故答案为：B
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，若，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC=12
∴
∵∠C=45°，
∴△ACM为等腰直角三角形
∴
∵∠FAE=30°
∴AN=2MN
在Rt△AMN中，AM2+MN2=AN2
即62+MN2=(2MN)2
解得：MN=
故答案为：A
【分析】根据等腰直角三角形性质可得AC，AM，再根据含30°角的直角三角形可得AN=2MN，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根
∴，即
∴(b-2a)2=0
∴b=2a
∴2
故答案为：D
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，化简即可求出答案.
8．如图，矩形中，六个小正方形的边长均为，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，．，所在圆的圆心分别是，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设EH与MN交于点O
∵矩形中，六个小正方形的边长均为
∴OE=ON=OH=OM=BF=FM=EF=1，∠BFM=∠BEH=90°，OE⊥AB，ON⊥AD，OH⊥CD，OM⊥FG
∴BE=EF+BF=2，EH=OE+OH=2
∵正方形AFGD的各边与所在的圆分别相切于点E，M，H，N
∴所在的圆为以点O为圆心，OH长为半径的圆O
∴阴影部分的面积为
=
=
故答案为：A
【分析】设EH与MN交于点O，由题意可得：OE=ON=OH=OM=BF=FM=EF=1，∠BFM=∠BEH=90°，OE⊥AB，ON⊥AD，OH⊥CD，OM⊥FG，根据边之间的关系可得BE=EH=2，根据切线性质可得所在的圆为以点O为圆心，OE长为半径的圆O，再根据割补法，结合扇形，正方形面积即可求出答案.
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数在第一象限内的图象交于点若，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：在一次函数中，当x=0时，y=-1
∴点B的坐标为(0，-1)
∴OB=1=OP=1
过点P作PD⊥y轴于点D
∴OA∥PD
∴，即
解得：
在Rt△POD中，
∴
∵点P在反比例函数的图象上
∴
故答案为：C
【分析】根据y轴上点的坐标特征可得B(0，-1)，根据两点间距离可得OP=OB=1，过点P作PD⊥y轴于点D，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得OD，根据勾股定理可得PD，再根据点的坐标可得，再根据待定数法将点P坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
10．如图，点，分别为等腰直角与等腰直角的直角顶点，且点在边上．，垂足为边的中点为，线段，分别交于点，，连接，若，则下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC，△DBE为等腰直角三角形
∴∠ACB=∠E=∠F=90°，CA=CB，BE=DE
∴∠ACF+∠BCE=180°-∠ACB=90°，∠BCE+∠CBE=180°-∠E=90°
∴∠ACF=∠CBE
在△ACF和△CBE中
∴△ACF≌△CBE(AAS)
∴CF=BE
∵BE=DE
∴CF=DE，即CD+DF=CD+CE
∴DF=DE，A正确，不符合题意
∵△ACF≌△CBE(AAS)
∴AF=DF，∠ACF=∠CBE
∴AF=DF，∠FAD=∠FDA=45°
∵AD=DC
∴∠DAC=∠DCA
∵∠FDA=∠DAC+∠DCA=45°
∴∠DAC=∠DCA=22.5°
∴∠CBE=∠CBD=∠ABD=22.5°
∴∠ADH+∠ACD=∠AHN=90°-22.5°=67.5°
∵点M为AB的边中点为M
∴CM⊥AB，∠BCM=∠ACM=45°
∴∠ANH=∠BCM+∠CBD=67.5°
∴∠CHN=∠CNH
∴CH=CN，C正确，不符合题意；
∵∠FDA=45°，∠BDE=45°
∴∠ADN=90°
∵CM垂直平分AB
∴AN=BN
∴∠NAB=∠NBA=22.5°
∴∠DAN=45°，即△ADN为等腰直角三角形
∴，即，D正确，不符合题意；
∵△ADN为等腰直角三角形
∴AD=DN，即
∵，且∠AMC=90°
∵AN>AM，即，B错误，符合题意
故答案为：B
【分析】由题意可得，∠ACB=∠E=∠F=90°，CA=CB，BE=DE，根据角之间的关系可得∠ACF=∠CBE，根据全等三角形判定定理可得△ACF≌△CBE(AAS)，则CF=BE，根据边之间的关系可判断A；根据全等三角形性质可得AF=DF，∠ACF=∠CBE，则AF=DF，∠FAD=∠FDA=45°，根据等边对等角可得∠DAC=∠DCA，根据角之间的关系可得∠ADH+∠ACD=∠AHN=67.5°，根据等腰直角三角形性质可得CM⊥AB，∠BCM=∠ACM=45°，根据角之间的关系可得∠CHN=∠CNH，根据等角对等边可判断C；根据垂直平分线性质可得AN=BN，根据等边对等角可得∠NAB=∠NBA=22.5°，则∠DAN=45°，即△ADN为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可判断B，D.
11．因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】用平方差公式分解即可．
12．如图，点在正五边形的边的延长线上，则　 　．
【答案】36
【知识点】正多边形的性质；补角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形
∴∠CBA=∠CDE=
∴∠CBF=180°-∠CBA=72°
∴
故答案为：36
【分析】根据正多边形内角和可得∠CBA=∠CDE=108°，再根据补角可得∠CBF，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．中国古代数学著作九章算术中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从九章算术中挑选出个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各个．在某次活动中，从这个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽到的是“开平方”问题的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．图是轨道示意图，其中，，，是矩形的四个顶点，为，的交点，机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．
（1）若机器人到点的距离单位：关于运动时间单位：的函数图象如图所示，则取最大值时，　 　；
（2）将机器人在运动过程中经过点，，，的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有　 　种．
【答案】（1）
（2）4
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是矩形，
∴EC=BE=AE=1m，∠ABC=90°，
由图象可得，当x=1时，y=1，
∴当x=1时，机器人从点A运动到点B，或点A运动到点E，
∵从x=1到y取最大值时，y随x的增大而增大
∴机器人从点 B运动到点 C，或从点E运动到点C，
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A，
∴若机器人从点E运动到点C，接下来运动到点B或点D都不符合题意
∴机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值
∵AC=AE+EC=2m，AB=1m，∠ABC=90°
∴
∴y取最大值时，x=AB+BC=
故答案为：
（2）四边形ABCD是矩形
∴EC=ED=1m，CD=AB=1m，AD=BC=m
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A
∴机器人的运动方式有：
①A→B→C→E→D→A
∴运动时间为（AB+BC+CE+DE+AD)÷1=(1++1+1+)+1=2+3(min)：
②A→B→C→D→E→A
∴运动时间为（AB+BC+CD+DE+EA)÷1=(1++1+1+1)÷1=+4(min)：
③A→B→E→C→D→A
∴运动时间为(AB+BE+EC+CD+DA)+1=(1+1+1+1+)+1=+4(min)：
①A→E→B→C→D→A
∴运动时间为(AE+EB+BC+CD+D4)÷1=(1+1++1+)+1=2+3(min).
⑤A→E→D→C→B→A
∴运动时间为（AE+ED+DC+CB+BA)÷1=(1+1+1++1)÷1=+4(min)：
⑥A→D→C→E→B→A
∴运动时间为(AD+DC+CE+EB+BA)÷1=(+1+1+1+1)÷1=+4(min)：
⑦A→D→E→C→B→A
∴运动时间为（AD+DE+EC+CB+B1)+1=（+1+1++1)+1=2+3(min)；
@A→D→C→B→E→A
∴运动时间为（AD+DC+CB+BE+EA)÷1=(+1++1+1)÷1=2+3(min).
∴
=>0
∴2+3>+4
∴+4为最短用时，共4中
故答案为：4
【分析】（1）根据矩形性质可得EC=BE=AE=1m，∠ABC=90°，由图象可得，当x=1时，y=1，根据函数图象信息进行判断可得机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值，根据边之间的关系可得AC，根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得EC=ED=1m，CD=AB=1m，AD=BC=m，根据题意进行分类讨论，再比较大小即可求出答案.
15．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
16．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点网格线的交点，点，，的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：下图为所求：
（2）解：下图线段为所求：
（3）解：下图线段为所求，点的坐标为
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据旋转性质作图即可.
17．广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由，，，四个小矩形组成，如图所示．的面积比的面积的倍多，的面积比的面积的倍少设的面积为，的面积为．
（1）的面积为　 　用含的代数式表示，的面积为　 　用含的代数式表示；
（2）若的面积与的面积之和为，的面积比的面积少，求和．
【答案】（1） ；
（2）解：的面积与的面积之和为，
，
的面积比的面积少，
，
解得．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）∵的面积为，的面积为
∴的面积为，的面积为
故答案为：；
【分析】（1）根据的面积比的面积的倍多，的面积比的面积的倍少建立代数式即可求出答案.
（3）由题意可得，，即，联立方程组，解方程组即可求出答案.
18．某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为，，，，五个等级．现随机抽取位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息如图所示．
已知抽取的样本中，等级的人数为．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）扇形统计图中　 　；
（2）　 　；
（3）每位学生的测试结果按下表进行评分：
等级
分值
若七年级学生本次测试结果的平均分不低于，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由．
【答案】（1）4
（2）50
（3）解：分，
，
该校七年级学生体能训练整体情况良好．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得：
a%=1-6%-32%-40%-18%=4%
∴a=4
故答案为：4
（2）n=2÷4%=50人
故答案为：50
【分析】（1）根据1减去其他等级的占比即可求出答案.
（2）根据E等级的人数与占比可得总人数n.
（3）求出平均数，再比较大小即可求出答案.
19．湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离精确到参考数据：，，，，，．
【答案】解：由题意可得，，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，间的距离约为．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】由题意可得，，，，根据三角形内角和定理可得∠ABD，再解直角三角形即可求出答案.
20．如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：为的直径，
，
四边形是平行四边形，
，
，分别与相切于点，，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形；
（2）解：过点作于点，则，
经过圆心，
，
在中，，
四边形是矩形，，
，
，四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据平行四边形性质可得，根据切线性质可得，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，则，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，，根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得BT，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为．
设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数．
【规律探究】
分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
勾股数 序号
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
（1），对应的勾股数是(　 　，　 　，　 　)序号为　 　；
（2）勾股数对应的　 　，　 　；
（3）序号为的勾股数是(　 　，　 　，　 　)
（4）【项目拓展】项目组某成员观察上表发现：在序号从依次增大到的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从依次增大到的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【答案】（1）24；10；26；7
（2）6；1
（3）11；60；61
（4）解：不正确，
理由：当，时，，序号为；
当，时，，序号为；
，，
序号从增加到时，的值减小，
他的猜想不正确．
【知识点】勾股数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）将m＝5，n＝1分别代入公式计算：
m2-n2=52-12=25-1=24
2mn=2×5×1=10
m2+n2=52+12=25+1=26
对应勾股数为（24，10，26）；
统计m小于5的所有组数m=2有1组，m=3有2组，m=4有3组，全部相加，1+2+3＝6，
m＝5时，n＝1是该m下第1组，序号计算为：6+1=7
故答案为：24；10；26；7.
(2)勾股数（35，12，37)，则m2-n2=35，m2+n2=37，2mn=12，
故2m2=35+37=72
解得：m＝6，n=1
故答案为：6：1
（3）序号为15的勾股数，逐层累加每组数量，确定序号15对应的m、n
m=2一共有1组勾股数
m=3一共有1+2=3组勾股数
m=4一共有3+3=6组勾股数
m=5一共有6+4=10组勾股数，
m=6一共有10+5=15组勾股数，
则序号11对应m=6，n=1
序号12对应m=6，n=2
序号13对应m=6，n=3
序号14对应m=6，n=4
序号15对应m=6，n=5
将m＝6，n=5代入公式计算勾股数：
m2-n2=62-52=36-25=11
2mn=2×6×5=60，
m2+n2=62+52=36
故答案为：11；60；61
【分析】（1）m＝5，n＝1分别代入公式，结合表格信息即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）求出序号15对应的m，n，再代入公式即可求出答案.
（4）求出序号为10，11的m2+n2，再比较大小即可求出答案.
22．如图，在中，，边的中点为，连接．
（1）求证：；
（2）如图，，垂足为点在线段上，，，垂足分别为、．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】（1）证明：在中，
，，
，
，边的中点为，
，
，
，
；
（2）①证明：作于，
，，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：作于并延长交于，过作交于，
由①知，，
在中，
，，，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
为边的中点，
，
又，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，则，根据线段中点可得DM，再根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①作于，根据矩形判定定理可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②作于并延长交于，过作交于，根据平行四边形性质可得，，，则，根据直线平行性质可得，则，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．已知抛物线．
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点，，都在抛物线上．
①求的值；
②设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为，
则抛物线的对称轴为，
把代入抛物线解析式得
解得，即为抛物线顶点的纵坐标．
（2）解：①令，可得，
即，
，
故解得，
；
②当时，；当时，．
理由如下：由①得，已知，显然成立，令，解得，也就是说，当时，恒成立，故只用讨论的情形：
时，，故整数点只有，，；
时，，故整数点有，，；
时，，故整数点有，，；
时，，故整数点有，，；
时，，故整数点有，，；
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性可得对称轴为x=a，再代入解析式即可求出答案.
（2）①将代入解析式，解方程即可求出答案.
②由①得，已知，显然成立，令，解得，也就是说，当时，恒成立，故只用讨论的情形，再逐项代入计算，再进行判断即可求出答案.
1 / 1安徽省2026年中考数学真题
1．下列比小的数是(　　)
A． B． C． D．
2．科学杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文模型“星衍”，可探测到距地球超过亿光年的星系，其中亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．一个几何体如图水平放置，其主视图是(　　)
A． B．
C． D．
4．下列各式中，计算结果等于的是(　　)
A． B． C． D．
5．已知一组数据：，，，，，，该组数据的中位数是(　　)
A． B． C． D．
6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，若，则(　　)
A． B． C． D．
7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则(　　)
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，六个小正方形的边长均为，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，．，所在圆的圆心分别是，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴和轴交于点和，与反比例函数在第一象限内的图象交于点若，，则(　　)
A． B． C． D．
10．如图，点，分别为等腰直角与等腰直角的直角顶点，且点在边上．，垂足为边的中点为，线段，分别交于点，，连接，若，则下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
11．因式分解： 　 　．
12．如图，点在正五边形的边的延长线上，则　 　．
13．中国古代数学著作九章算术中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从九章算术中挑选出个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各个．在某次活动中，从这个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为　 　．
14．图是轨道示意图，其中，，，是矩形的四个顶点，为，的交点，机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．
（1）若机器人到点的距离单位：关于运动时间单位：的函数图象如图所示，则取最大值时，　 　；
（2）将机器人在运动过程中经过点，，，的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有　 　种．
15．计算：．
16．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点网格线的交点，点，，的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的；
（2）将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标．
17．广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由，，，四个小矩形组成，如图所示．的面积比的面积的倍多，的面积比的面积的倍少设的面积为，的面积为．
（1）的面积为　 　用含的代数式表示，的面积为　 　用含的代数式表示；
（2）若的面积与的面积之和为，的面积比的面积少，求和．
18．某校为了解七年级学生体能训练情况，对七年级全体学生进行一次体能测试，测试结果分为，，，，五个等级．现随机抽取位学生的测试结果作为样本，整理数据，并绘制扇形统计图，部分信息如图所示．
已知抽取的样本中，等级的人数为．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）扇形统计图中　 　；
（2）　 　；
（3）每位学生的测试结果按下表进行评分：
等级
分值
若七年级学生本次测试结果的平均分不低于，则认定七年级学生体能训练整体情况良好．根据样本数据，推断该校七年级学生体能训练整体情况是否良好，并说明理由．
19．湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离精确到参考数据：，，，，，．
20．如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）若，，求的长．
21．项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为．
设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数．
【规律探究】
分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
勾股数 序号
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
（1），对应的勾股数是(　 　，　 　，　 　)序号为　 　；
（2）勾股数对应的　 　，　 　；
（3）序号为的勾股数是(　 　，　 　，　 　)
（4）【项目拓展】项目组某成员观察上表发现：在序号从依次增大到的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从依次增大到的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
22．如图，在中，，边的中点为，连接．
（1）求证：；
（2）如图，，垂足为点在线段上，，，垂足分别为、．
①求证：；
②若，求的值．
23．已知抛物线．
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点，，都在抛物线上．
①求的值；
②设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-2<0<2<7
故答案为：C
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿=13000000000用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
主视图为
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：不能合并，不符合题意；
C：，符合题意；
D：，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，9
处在最中间的数为3，即中位数为3
故答案为：B
【分析】根据中位数的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC=12
∴
∵∠C=45°，
∴△ACM为等腰直角三角形
∴
∵∠FAE=30°
∴AN=2MN
在Rt△AMN中，AM2+MN2=AN2
即62+MN2=(2MN)2
解得：MN=
故答案为：A
【分析】根据等腰直角三角形性质可得AC，AM，再根据含30°角的直角三角形可得AN=2MN，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根
∴，即
∴(b-2a)2=0
∴b=2a
∴2
故答案为：D
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，化简即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设EH与MN交于点O
∵矩形中，六个小正方形的边长均为
∴OE=ON=OH=OM=BF=FM=EF=1，∠BFM=∠BEH=90°，OE⊥AB，ON⊥AD，OH⊥CD，OM⊥FG
∴BE=EF+BF=2，EH=OE+OH=2
∵正方形AFGD的各边与所在的圆分别相切于点E，M，H，N
∴所在的圆为以点O为圆心，OH长为半径的圆O
∴阴影部分的面积为
=
=
故答案为：A
【分析】设EH与MN交于点O，由题意可得：OE=ON=OH=OM=BF=FM=EF=1，∠BFM=∠BEH=90°，OE⊥AB，ON⊥AD，OH⊥CD，OM⊥FG，根据边之间的关系可得BE=EH=2，根据切线性质可得所在的圆为以点O为圆心，OE长为半径的圆O，再根据割补法，结合扇形，正方形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：在一次函数中，当x=0时，y=-1
∴点B的坐标为(0，-1)
∴OB=1=OP=1
过点P作PD⊥y轴于点D
∴OA∥PD
∴，即
解得：
在Rt△POD中，
∴
∵点P在反比例函数的图象上
∴
故答案为：C
【分析】根据y轴上点的坐标特征可得B(0，-1)，根据两点间距离可得OP=OB=1，过点P作PD⊥y轴于点D，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算可得OD，根据勾股定理可得PD，再根据点的坐标可得，再根据待定数法将点P坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC，△DBE为等腰直角三角形
∴∠ACB=∠E=∠F=90°，CA=CB，BE=DE
∴∠ACF+∠BCE=180°-∠ACB=90°，∠BCE+∠CBE=180°-∠E=90°
∴∠ACF=∠CBE
在△ACF和△CBE中
∴△ACF≌△CBE(AAS)
∴CF=BE
∵BE=DE
∴CF=DE，即CD+DF=CD+CE
∴DF=DE，A正确，不符合题意
∵△ACF≌△CBE(AAS)
∴AF=DF，∠ACF=∠CBE
∴AF=DF，∠FAD=∠FDA=45°
∵AD=DC
∴∠DAC=∠DCA
∵∠FDA=∠DAC+∠DCA=45°
∴∠DAC=∠DCA=22.5°
∴∠CBE=∠CBD=∠ABD=22.5°
∴∠ADH+∠ACD=∠AHN=90°-22.5°=67.5°
∵点M为AB的边中点为M
∴CM⊥AB，∠BCM=∠ACM=45°
∴∠ANH=∠BCM+∠CBD=67.5°
∴∠CHN=∠CNH
∴CH=CN，C正确，不符合题意；
∵∠FDA=45°，∠BDE=45°
∴∠ADN=90°
∵CM垂直平分AB
∴AN=BN
∴∠NAB=∠NBA=22.5°
∴∠DAN=45°，即△ADN为等腰直角三角形
∴，即，D正确，不符合题意；
∵△ADN为等腰直角三角形
∴AD=DN，即
∵，且∠AMC=90°
∵AN>AM，即，B错误，符合题意
故答案为：B
【分析】由题意可得，∠ACB=∠E=∠F=90°，CA=CB，BE=DE，根据角之间的关系可得∠ACF=∠CBE，根据全等三角形判定定理可得△ACF≌△CBE(AAS)，则CF=BE，根据边之间的关系可判断A；根据全等三角形性质可得AF=DF，∠ACF=∠CBE，则AF=DF，∠FAD=∠FDA=45°，根据等边对等角可得∠DAC=∠DCA，根据角之间的关系可得∠ADH+∠ACD=∠AHN=67.5°，根据等腰直角三角形性质可得CM⊥AB，∠BCM=∠ACM=45°，根据角之间的关系可得∠CHN=∠CNH，根据等角对等边可判断C；根据垂直平分线性质可得AN=BN，根据等边对等角可得∠NAB=∠NBA=22.5°，则∠DAN=45°，即△ADN为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可判断B，D.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】用平方差公式分解即可．
12．【答案】36
【知识点】正多边形的性质；补角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形
∴∠CBA=∠CDE=
∴∠CBF=180°-∠CBA=72°
∴
故答案为：36
【分析】根据正多边形内角和可得∠CBA=∠CDE=108°，再根据补角可得∠CBF，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
抽到的是“开平方”问题的概率为
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】（1）
（2）4
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是矩形，
∴EC=BE=AE=1m，∠ABC=90°，
由图象可得，当x=1时，y=1，
∴当x=1时，机器人从点A运动到点B，或点A运动到点E，
∵从x=1到y取最大值时，y随x的增大而增大
∴机器人从点 B运动到点 C，或从点E运动到点C，
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A，
∴若机器人从点E运动到点C，接下来运动到点B或点D都不符合题意
∴机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值
∵AC=AE+EC=2m，AB=1m，∠ABC=90°
∴
∴y取最大值时，x=AB+BC=
故答案为：
（2）四边形ABCD是矩形
∴EC=ED=1m，CD=AB=1m，AD=BC=m
∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A
∴机器人的运动方式有：
①A→B→C→E→D→A
∴运动时间为（AB+BC+CE+DE+AD)÷1=(1++1+1+)+1=2+3(min)：
②A→B→C→D→E→A
∴运动时间为（AB+BC+CD+DE+EA)÷1=(1++1+1+1)÷1=+4(min)：
③A→B→E→C→D→A
∴运动时间为(AB+BE+EC+CD+DA)+1=(1+1+1+1+)+1=+4(min)：
①A→E→B→C→D→A
∴运动时间为(AE+EB+BC+CD+D4)÷1=(1+1++1+)+1=2+3(min).
⑤A→E→D→C→B→A
∴运动时间为（AE+ED+DC+CB+BA)÷1=(1+1+1++1)÷1=+4(min)：
⑥A→D→C→E→B→A
∴运动时间为(AD+DC+CE+EB+BA)÷1=(+1+1+1+1)÷1=+4(min)：
⑦A→D→E→C→B→A
∴运动时间为（AD+DE+EC+CB+B1)+1=（+1+1++1)+1=2+3(min)；
@A→D→C→B→E→A
∴运动时间为（AD+DC+CB+BE+EA)÷1=(+1++1+1)÷1=2+3(min).
∴
=>0
∴2+3>+4
∴+4为最短用时，共4中
故答案为：4
【分析】（1）根据矩形性质可得EC=BE=AE=1m，∠ABC=90°，由图象可得，当x=1时，y=1，根据函数图象信息进行判断可得机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值，根据边之间的关系可得AC，根据勾股定理可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得EC=ED=1m，CD=AB=1m，AD=BC=m，根据题意进行分类讨论，再比较大小即可求出答案.
15．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
16．【答案】（1）解：下图为所求：
（2）解：下图线段为所求：
（3）解：下图线段为所求，点的坐标为
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据旋转性质作图即可.
17．【答案】（1） ；
（2）解：的面积与的面积之和为，
，
的面积比的面积少，
，
解得．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）∵的面积为，的面积为
∴的面积为，的面积为
故答案为：；
【分析】（1）根据的面积比的面积的倍多，的面积比的面积的倍少建立代数式即可求出答案.
（3）由题意可得，，即，联立方程组，解方程组即可求出答案.
18．【答案】（1）4
（2）50
（3）解：分，
，
该校七年级学生体能训练整体情况良好．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由图可得：
a%=1-6%-32%-40%-18%=4%
∴a=4
故答案为：4
（2）n=2÷4%=50人
故答案为：50
【分析】（1）根据1减去其他等级的占比即可求出答案.
（2）根据E等级的人数与占比可得总人数n.
（3）求出平均数，再比较大小即可求出答案.
19．【答案】解：由题意可得，，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，间的距离约为．
【知识点】三角形内角和定理；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】由题意可得，，，，根据三角形内角和定理可得∠ABD，再解直角三角形即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：为的直径，
，
四边形是平行四边形，
，
，分别与相切于点，，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形；
（2）解：过点作于点，则，
经过圆心，
，
在中，，
四边形是矩形，，
，
，四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，根据平行四边形性质可得，根据切线性质可得，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，则，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，，根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得BT，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）24；10；26；7
（2）6；1
（3）11；60；61
（4）解：不正确，
理由：当，时，，序号为；
当，时，，序号为；
，，
序号从增加到时，的值减小，
他的猜想不正确．
【知识点】勾股数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）将m＝5，n＝1分别代入公式计算：
m2-n2=52-12=25-1=24
2mn=2×5×1=10
m2+n2=52+12=25+1=26
对应勾股数为（24，10，26）；
统计m小于5的所有组数m=2有1组，m=3有2组，m=4有3组，全部相加，1+2+3＝6，
m＝5时，n＝1是该m下第1组，序号计算为：6+1=7
故答案为：24；10；26；7.
(2)勾股数（35，12，37)，则m2-n2=35，m2+n2=37，2mn=12，
故2m2=35+37=72
解得：m＝6，n=1
故答案为：6：1
（3）序号为15的勾股数，逐层累加每组数量，确定序号15对应的m、n
m=2一共有1组勾股数
m=3一共有1+2=3组勾股数
m=4一共有3+3=6组勾股数
m=5一共有6+4=10组勾股数，
m=6一共有10+5=15组勾股数，
则序号11对应m=6，n=1
序号12对应m=6，n=2
序号13对应m=6，n=3
序号14对应m=6，n=4
序号15对应m=6，n=5
将m＝6，n=5代入公式计算勾股数：
m2-n2=62-52=36-25=11
2mn=2×6×5=60，
m2+n2=62+52=36
故答案为：11；60；61
【分析】（1）m＝5，n＝1分别代入公式，结合表格信息即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）求出序号15对应的m，n，再代入公式即可求出答案.
（4）求出序号为10，11的m2+n2，再比较大小即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：在中，
，，
，
，边的中点为，
，
，
，
；
（2）①证明：作于，
，，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：作于并延长交于，过作交于，
由①知，，
在中，
，，，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
为边的中点，
，
又，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，则，根据线段中点可得DM，再根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①作于，根据矩形判定定理可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②作于并延长交于，过作交于，根据平行四边形性质可得，，，则，根据直线平行性质可得，则，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为，
则抛物线的对称轴为，
把代入抛物线解析式得
解得，即为抛物线顶点的纵坐标．
（2）解：①令，可得，
即，
，
故解得，
；
②当时，；当时，．
理由如下：由①得，已知，显然成立，令，解得，也就是说，当时，恒成立，故只用讨论的情形：
时，，故整数点只有，，；
时，，故整数点有，，；
时，，故整数点有，，；
时，，故整数点有，，；
时，，故整数点有，，；
综上所述，当时，；当时，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性可得对称轴为x=a，再代入解析式即可求出答案.
（2）①将代入解析式，解方程即可求出答案.
②由①得，已知，显然成立，令，解得，也就是说，当时，恒成立，故只用讨论的情形，再逐项代入计算，再进行判断即可求出答案.
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