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江苏省连云港市2026年中考数学真题
1．6的相反数是（　　）
A． B． C．6 D．-6
2．下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3． 2026年“五一”假期期间，我市接待游客突破608万人次，同比增长20.51%.数据“608万”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c.下列结论正确的是（　　）
A．|a|< |c| B．|b|> |c| C．|a|< |b| D．|c|>|a+b|
5．已知 以下对p的值估算正确的是（　　）
A．3 < p <4 B．4 < p <5
C．5 < p <6 D．6 < p <7
6．如图，扇形OAB，点 C在 上.若∠AOB =60°，则∠ACB 的度数是（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
7．下列命题为真命题的是（　　）
①若 则a=b；
②相等的角是对顶角；
③末尾数字是5的整数，能被5整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等.
A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③
8．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB =10，DC =4，AD = BC =5.点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向终点B运动，同时点Q从点A出发，以同样速度沿边AB 向终点B运动.设△APQ的面积为S，运动时间为t(s)，则S关于t的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．不等式x-1<0的解集是　 　 .
10．分解因式： 　 　.
11．要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是 你认为派　 　(填“甲”或“乙”或“丙”)去参赛更合适.
12．如图，在 ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD的平分线交CD于点E，则=　 　.
13．取一张矩形纸片ABCD(图1)，按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE，再按如图3所示方式折叠，点C 与点 E恰好重合，则=　 　.
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数 和 在第二象限内的图象依次为C1，C2.已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　 　.
15．若a，b，c是三个不为零的实数，且 则 的最小值为　 　.
16． 如图，菱形ABCD中，∠BCD=60°，CD=6，点P在边CD上，且PC=2，Q为边BC上的动点，点 C 关于 PQ 的对称点为 C'. 若 △C'AD、△C'BD 的面积分别记为 则 的最大值为　 　.
17．计算
18．解方程x(x-1)=8x-8.
19．先化简 再从3，-1，2中选取一个合适的数代入求值.
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且.BE=DF.求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
21．6月5日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”.为了解某市的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30天的空气质量，并对空气质量指数(W)进行了统计分析.
【收集数据】
43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92
60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60
【整理数据】
规定：W≤50时，空气质量为优；50 空气质量 频数(天数) 频率
优 12 0.4
良 a 0.5
轻微污染 3 b
合计 30 1.0
【分析数据】
此组数据的平均数是62.5，众数是 c ，中位数是60.
【解决问题】
（1）填空：a= 　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）请估计该城市这一年(365天)中有多少天空气质量达到优；
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的想法.
22．我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象.小明将关于地域特产的4个IP 形象(A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶)，制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP 形象玩具.
（1）若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是　 　(填序号)；
①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件
（2）若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率.
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点分别为A(-6，0)，B(10，0)，C(4，10)，D(0，8).请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
（1）在CD边上作一点 P，使 PA =PB，此时点 P 的坐标为　 　；
（2）在BC边上作一点 Q，使△QAD和△QOB 的面积相等.
24．某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买100亩，价一万.其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今买好田、坏田共100亩，价值10 000钱.
（1）求好田、坏田各买了多少亩
（2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为3000kg，坏田的总产量为6000kg，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量
25．
（1）【生活观察】小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮的轴心距(前后轮所在圆的圆心的距离)AB =1.5m，前轮转向角θ即 ∠CBD =30°，则旋转半径 OB =　 　m.
（2）【类比探究】小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶.与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切(轮胎的宽度忽略不计).
如图3，某款家用汽车宽AB约为2m，轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角θ即∠ECF = 20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH 的度数.
(参考数据：
（3）【综合实践】如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C，D与直角拐点Q共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为5m，车辆左侧与实线PQ的距离为1m.现右前轮欲以固定转向角θ转弯行驶，若能规范通过此直角弯道(四轮均不压实线)，请直接写出 sinθ的范围.
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (m为常数)与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C.若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点(3，0).
（1）直接写出抛物线和直线BC对应的函数表达式；
（2）若平行于 x轴的直线 l 与抛物线交于点 与直线 BC 交于点 且 求 的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为D，连接AC，在x轴上找一点 P，使以点 P，B，D为顶点的 △PBD与△ABC 相似，求点 P 的坐标.
27．
（1）【问题情境】在锐角 △ABC中，求作一点 P，使PA +PB +PC 的值最小.
下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理.
如图1，以AC为边向外作等边三角形ACD，再作△ACD 的外接圆⊙O，连接BD，与⊙O交于点 P.则点 P 即为求作的点.
在 PD上取一点 P'，使PP'=AP，连接AP'，在⊙O中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得 ，故△APP'是等边三角形.所以AP =AP'.
进而可证得△ADP'≌△ACP.所以CP =DP'.
所以PB +PA +PC =BP +PP'+ P'D =BD.
由 ② (从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空)可得，BD 的长即为 PA +PB +PC 的最小值.
（2）【方法迁移】如图2，已知点A，B到直线l的距离AE=BF=4，EF=6.在图中找一点P，使点P到点A、点 B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值
（3）【拓展应用】如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来.请你设计管道路线总长最短的铺设方案(不需要说明理由)，并直接写出路线总长(用含a，b的代数式表示).
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 的相反数为 ．
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，，
故A选项错误，B选项正确，C选项错误，
∵，
∴D选项错误．
故答案为：B.
【分析】根据数轴上点的位置得到，，然后根据有理数的绝对值得到，然后逐项判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，且，
，
，即 ，
不等式三边同时加 ，得，即 ．
故答案为：C.
【分析】先化简 ，然后估算无理数的取值范围，即可得到 的取值范围解答即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接 ，则，
∴ ，
，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接 ，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，然后根据角的和差解答即可．
7．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若，则，例如， 满足但，①是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题；
③末尾数字是5的整数可表示为 ，其中为整数，该数是5的倍数，能被5整除，③是真命题；
④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题；
综上真命题为③④．
故答案为：B.
【分析】根据有理数的乘方、对顶角、数的整除、正方形的判定、全等三角形的判定定理逐项判断解答即可.
8．【答案】A
【知识点】函数解析式；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴，
过点作 于点，
当在 上时，即 时，如图所示，
∴ ，
∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意；
当在 上时，即 时，
∴ ，
∴ ，函数图象为直线的一部分，
当在 上且 未到达 时，即 时，
∴ ，
∴，
∴ ，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意；
当在 上且 到达 后，即 时，
∴ ，函数图象为直线的一部分，故A符合题意．
故答案为：A.
【分析】过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，即可得到四边形CDEF是矩形、△ADE≌△BCF，即可得到AE=BF，然后根据勾股定理求出DE长 ，进而可得，分成当在 上时，即 时，当在 上时，即 时，当在 上且 未到达 时，即 时，当在 上且 到达 后，即 时，根据三角形的面积公式，分别求得函数解析式，然后逐项判断解答即可．
9．【答案】x<1
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解： ，
不等号两边同时＋1，得：．
故答案是：．
【分析】根据不等式的性质解不等式即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式= a 2 22=( a + 2 ) ( a 2 )
【分析】本题属于基础题，没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．
11．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵三人的平均成绩都是分，方差分别是 ， ，
，
甲的方差最小，甲的成绩最稳定，
故派甲去参赛更合适．
故答案为：甲.
【分析】平均成绩相同的情况下，比较三人方差，根据方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定解答即可．
12．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，，
，
平分 ，
，
，
，
．
故答案为：1.
【分析】根据平行四边形的性质得到DC=AB=3，∠DEA=∠EAB，再根据角平分线的定义得到，即可得到，根据等角对等边得到AD=DE=2，进而根据线段的和差解答即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设，
∵四边形 是矩形，
∴，
根据图2可得 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴，
根据图3可得，
∴.
故答案为：.
【分析】设，根据折叠的性质、矩形的性质得到 是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，，然后求出比值解答即可．
14．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，
由反比例函数比例系数的几何意义可得，
∴四边形的面积为．
故答案为：4.
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得然后根据割补法求出四边形OAPB的面积即可．
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ，且 都不为 ，
，
，
设则 ，原式 ，
，
，当时，原式取得最小值，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】把 代入，设，即可得到 关于t的二次函数，配方得到顶点式，即可得到最小值解答即可．
16．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，过点作，垂足为，过点作，垂足为 ，设与 交于点 ，
∵，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵菱形 中， ，，
∴，，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴当最小时，即 最小时，最大，
由对称可知：，
∵，
∴，
∴当时，当在线段 上时， 取最小值，最小值，
又∵ ，
∴，
∴，
∴的最小值，
∴的最大值为．
故答案为：6.
【分析】过点 作 ，垂足为 ，过点作，垂足为，过点作，垂足为 ，设与 交于点 ，根据得出当最小时， 最小，最大，然后根据三角形三边关系得到，进而求出C'G的最小值，解答即可．
17．【答案】原式=2+1-3=0
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据立方根的性质、零次幂和负整数次幂运算，然后加减解答即可.
18．【答案】解：x(x-1)-8(x-1)=0.
(x-8)(x-1)=0
x-8 =0或x-1 =0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后提取公因式(x-1)，利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．【答案】解：
因为a不能为-1和2，所以a =3.
当a=3时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把除法化为乘法 ，然后把分子、分母分解因式，约分化简，再根据分式有意义的条件得到a的值，代入计算即可.
20．【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴AB = CD，∠A=∠C=90°.
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(HL).
∴AE =CF，∵ AD =BC，
∴AD-AE = BC-CF. 即 ED=BF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据矩形的性质得到AB = CD，∠A=∠C=90°.然后根据HL得到△ABE≌△CDF，即可得到AE =CF，进而可得 ED=BF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可.
21．【答案】（1）15；0.1；60
（2）365×0.4 = 146(天).
答：估计该城市这一年(365天)中有146天空气质量达到优
（3）解：该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）．
【知识点】频数（率）分布表；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
，
在这组数据中，60出现的次数最多，
∴其众数．
故答案为：15；0.1；60；
【分析】（1）根据频数总和减去其它等级的天数得到空气质量为优的天数、利用频率总和减去优、良天气的频率求出b的值 、根据众数的定义求出c解答即可；
（2）利用一年总天数乘以样本中空气质量为优的频率解答即可；
（3）根据统计结果提出治理方案解答即可．
22．【答案】（1）②
（2）解：树状图如图所示：
由图可以看出一共有12种等可能结果，
其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种.
∴P(抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”)
答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是：随机事件；
故答案为：②；
【分析】（1）根据随机事件的定义“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件”解答即可；
（2）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
23．【答案】（1）(2，9)
（2）解：如图，
∵，，
∴
∴
∴
设 到 的距离为， 到 的距离为
∵ 和 的面积相等
∴
∴
∴ 在 的角平分线上，作 的角平分线交 于点 ，即为所求．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，

∵，
∴在直线 上，
设直线 的解析式为 ，代入，
∴，解得；
∴直线 的解析式为
当 时，
∴；
故答案为：(2，9).
【分析】（1）根据题意可得点P在AB的垂直平分线上，即可得到在直线 上，先根据待定系数法求出直线 的解析式，令 ，求出交点P的纵坐标即可；
（2）先求出AD=OB，即可得到点Q到AD和AB的距离相等，然后作∠DAB的平分线交BC于点Q，则点Q即为所作．
24．【答案】（1）设好田有x亩，则坏田有(100-x) 亩.
根据题意，得
解这个方程，得
答：好田买了 亩，坏田买了 亩.
（2）设坏田平均亩产量为 ykg，则好田平均亩产量是 3y kg.
根据题意，得
解方程，得y= 100.
经检验，y = 100是所列方程的解. 所以有3y = 300.
答：好田的平均亩产量是 300 kg
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据“ 买好田、坏田共100亩，价值10 000钱 ”列一元一次方程，解方程求出x的值解答即可；
（2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列分式方程，解方程求出y的值并检验解答即可．
25．【答案】（1）3
（2）解：由题意得OC ⊥CF，OB ⊥ BC，OA⊥AD，OD ⊥DH.
∴∠ECF +∠OCB =90°，∠COB +∠OCB =90°，
∴∠COB =∠ECF=20.6°.
在 Rt△OCB 中，
∴OA=OB-AB≈8-2=6m.
在Rt△OAD 中，
∵∠AOD +∠ADO =90°，∠GDH + ∠ADO =90°，
∴∠GDH=∠AOD ≈26.6°.
答：此时左前轮的转向角 ∠GDH的度数约为26.6°
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）依题意， ，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3；
（3）解：如图，连接 ，设 ， 交于点，
当 最大时， 点经过 点，此时，
依题意，，
设 ，则，，
在中，，
∴，
解得： ，
∴，，
在中， ，
∴，
当 最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点 作 垂直于道路右侧，
设道路宽为，依题意，，
∴ ，
∴，
综上所述，，
故答案为：.
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到，早根据30度角的直角三角形的性质解答即可；
（2）在Rt△OCB 中根据正切的定义求得 ，进而在中根据正切求出∠AOD的度数 ，利用等角的余角相等求出∠GDH解答即可；
（3）连接 ，设 ， 交于点，当 最大时， 点经过 点，根据勾股定理求出OC长，即可计算 sinθ ；当 最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点 作 垂直于道路右侧，根据线段的和差求出OC长，即可得到sinθ的值，求出取值范围即可．
26．【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为
直线BC对应的函数表达式为y=-2x+12
（2）如图，设直线l
∵ 直线l与抛物线和直线BC都相交，
∴ 可列方程 即可得到
∵抛物线的对称轴是x=4，
又
∵0 < a < 12，
即
（3）如图，连接BD，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.
∵ 抛物线 顶点 D(4，-4).
由(1)可知，OC=12，OB=6，DE=4，BE=2，
∴ 可求得
∴∠ABC =∠DBE.∵△PBD与△ABC相似，
∴ 点 P 在点 B 的左侧.
∴ 存在△ABC∽△PBD或△ABC∽△DBP.
当△ABC∽△PBD时，有
得
∴ 点
当△ABC∽△DBP时，有 得 ∴点 P(-9，0).
综上，使△PBD与△ABC相似的点 P 的坐标为( 或(-9，0).
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成： ，
将点代入 得：，
解得 或 ，
将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成： ，
将点代入 得： ，
解得 或，
∴公共解为 ，
把 代入，
得出抛物线对应的函数表达式为；
令 ，
则，
解得，，
∴，，
令 ，则 ，
∴，
设 的解析式为 ，
则，
解得
∴直线 对应的函数表达式为．
故答案为：．
【分析】（1）根据二次函数平移得到平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，求出m的值，得到二次函数解析式与坐标轴的交点，根据待定系数法求出直线的解析式即可．
（2）设直线l： ，求出a的取值范围，将点M，N，Q的坐标分别代入解析式得出根据对称轴得到x1+x2=8，再根据整理可得，然后根据a的取值范围，利用二次函数的增减性得到取值范围即可．
（3）连接 ，过点D作 轴，垂足为E．根据正切的定义可得，即可得到点P在点B的左侧．然后分为或两种情况．根据相似三角形的对应边成比例列方程求出PB长解答即可．
27．【答案】（1）①∠ACD；②两点之间线段最短
（2）作法：如图1，连接AB，在AB上方作等边三角形ABD，再作 △ABD的外接圆，过点 D作 DM⊥l，垂足为M，DM交AB于N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点.
∴ 点 P 到点A、点 B、直线l的距离之和为 DM 的长.
∵ 点A，B到直线l的距离AE =BF =4，
∴AE∥BF，AE=BF.
∴ 四边形AEFB 是平行四边形.∴AB =EF =6，AB ∥EF.
∴MN=AE=4.
∵DM⊥EF，∴DN⊥AB.
∵△ABD 是等边三角形，
∴∠DAB =60°，AD =AB =6.
在 Rt△AND中，
∴ 点 P 到点A、点 B、直线l的距离之和最小值为
（3）管道路线总长度最短为
设计方案：如图所示，分别以边 AB 和边 CD 向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形 CDN ，再作 △ABM 和 △CDN的外接圆.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【解答】（1）如图1，以AC为边向外作等边三角形ACD，再作△ACD 的外接圆⊙O，连接BD，与⊙O交于点 P.则点 P 即为求作的点.
在 PD上取一点 P'，使PP'=AP，连接AP'，在⊙O中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得 ，故△APP'是等边三角形.所以AP =AP'.
进而可证得△ADP'≌△ACP.所以CP =DP'.
所以PB +PA +PC =BP +PP'+ P'D =BD.
由 两点之间线段最短可得，BD 的长即为 PA +PB +PC 的最小值.
故答案为：∠ACD；两点之间线段最短；
（3）连接M，N，分别交两圆于点 P1和点 P2，连接AP1，BP1，CP2，DP2，
∴ MN的长即为管道路线总长度的最小值，最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等和两点之间线段最短补充解答过程即可；
（2）连接 ，在 上方作等边三角形 ，再作 的外接圆，过点D作，垂足为M， 交 于N，交圆于点P，点P即为要作的点．根据一组对边平行且相等的四边形是是平行四边形得到是平行四边形，即可得到DM⊥EF，再在，根据正弦的定义求出DN长解答即可；
（3）分别以边 和边 向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作 和的外接圆，连接M，N，分别交两圆于点和点，得出的长为管道路线总长度的最小值，同（2）的方法解答即可．
1 / 1江苏省连云港市2026年中考数学真题
1．6的相反数是（　　）
A． B． C．6 D．-6
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 的相反数为 ．
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”解答即可.
2．下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故答案为：A.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此解答即可．
3． 2026年“五一”假期期间，我市接待游客突破608万人次，同比增长20.51%.数据“608万”用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c.下列结论正确的是（　　）
A．|a|< |c| B．|b|> |c| C．|a|< |b| D．|c|>|a+b|
【答案】B
【知识点】化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，，
故A选项错误，B选项正确，C选项错误，
∵，
∴D选项错误．
故答案为：B.
【分析】根据数轴上点的位置得到，，然后根据有理数的绝对值得到，然后逐项判断解答即可．
5．已知 以下对p的值估算正确的是（　　）
A．3 < p <4 B．4 < p <5
C．5 < p <6 D．6 < p <7
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，且，
，
，即 ，
不等式三边同时加 ，得，即 ．
故答案为：C.
【分析】先化简 ，然后估算无理数的取值范围，即可得到 的取值范围解答即可．
6．如图，扇形OAB，点 C在 上.若∠AOB =60°，则∠ACB 的度数是（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接 ，则，
∴ ，
，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接 ，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，然后根据角的和差解答即可．
7．下列命题为真命题的是（　　）
①若 则a=b；
②相等的角是对顶角；
③末尾数字是5的整数，能被5整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等.
A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若，则，例如， 满足但，①是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题；
③末尾数字是5的整数可表示为 ，其中为整数，该数是5的倍数，能被5整除，③是真命题；
④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题；
综上真命题为③④．
故答案为：B.
【分析】根据有理数的乘方、对顶角、数的整除、正方形的判定、全等三角形的判定定理逐项判断解答即可.
8．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB =10，DC =4，AD = BC =5.点 P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向终点B运动，同时点Q从点A出发，以同样速度沿边AB 向终点B运动.设△APQ的面积为S，运动时间为t(s)，则S关于t的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴，
过点作 于点，
当在 上时，即 时，如图所示，
∴ ，
∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意；
当在 上时，即 时，
∴ ，
∴ ，函数图象为直线的一部分，
当在 上且 未到达 时，即 时，
∴ ，
∴，
∴ ，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意；
当在 上且 到达 后，即 时，
∴ ，函数图象为直线的一部分，故A符合题意．
故答案为：A.
【分析】过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，即可得到四边形CDEF是矩形、△ADE≌△BCF，即可得到AE=BF，然后根据勾股定理求出DE长 ，进而可得，分成当在 上时，即 时，当在 上时，即 时，当在 上且 未到达 时，即 时，当在 上且 到达 后，即 时，根据三角形的面积公式，分别求得函数解析式，然后逐项判断解答即可．
9．不等式x-1<0的解集是　 　 .
【答案】x<1
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解： ，
不等号两边同时＋1，得：．
故答案是：．
【分析】根据不等式的性质解不等式即可.
10．分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式= a 2 22=( a + 2 ) ( a 2 )
【分析】本题属于基础题，没有公因式，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．
11．要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是 你认为派　 　(填“甲”或“乙”或“丙”)去参赛更合适.
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵三人的平均成绩都是分，方差分别是 ， ，
，
甲的方差最小，甲的成绩最稳定，
故派甲去参赛更合适．
故答案为：甲.
【分析】平均成绩相同的情况下，比较三人方差，根据方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定解答即可．
12．如图，在 ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD的平分线交CD于点E，则=　 　.
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，，
，
平分 ，
，
，
，
．
故答案为：1.
【分析】根据平行四边形的性质得到DC=AB=3，∠DEA=∠EAB，再根据角平分线的定义得到，即可得到，根据等角对等边得到AD=DE=2，进而根据线段的和差解答即可．
13．取一张矩形纸片ABCD(图1)，按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE，再按如图3所示方式折叠，点C 与点 E恰好重合，则=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设，
∵四边形 是矩形，
∴，
根据图2可得 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴，
根据图3可得，
∴.
故答案为：.
【分析】设，根据折叠的性质、矩形的性质得到 是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，，然后求出比值解答即可．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数 和 在第二象限内的图象依次为C1，C2.已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　 　.
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：如图，
由反比例函数比例系数的几何意义可得，
∴四边形的面积为．
故答案为：4.
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得然后根据割补法求出四边形OAPB的面积即可．
15．若a，b，c是三个不为零的实数，且 则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： ，且 都不为 ，
，
，
设则 ，原式 ，
，
，当时，原式取得最小值，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】把 代入，设，即可得到 关于t的二次函数，配方得到顶点式，即可得到最小值解答即可．
16． 如图，菱形ABCD中，∠BCD=60°，CD=6，点P在边CD上，且PC=2，Q为边BC上的动点，点 C 关于 PQ 的对称点为 C'. 若 △C'AD、△C'BD 的面积分别记为 则 的最大值为　 　.
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，过点作，垂足为，过点作，垂足为 ，设与 交于点 ，
∵，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵菱形 中， ，，
∴，，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴当最小时，即 最小时，最大，
由对称可知：，
∵，
∴，
∴当时，当在线段 上时， 取最小值，最小值，
又∵ ，
∴，
∴，
∴的最小值，
∴的最大值为．
故答案为：6.
【分析】过点 作 ，垂足为 ，过点作，垂足为，过点作，垂足为 ，设与 交于点 ，根据得出当最小时， 最小，最大，然后根据三角形三边关系得到，进而求出C'G的最小值，解答即可．
17．计算
【答案】原式=2+1-3=0
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据立方根的性质、零次幂和负整数次幂运算，然后加减解答即可.
18．解方程x(x-1)=8x-8.
【答案】解：x(x-1)-8(x-1)=0.
(x-8)(x-1)=0
x-8 =0或x-1 =0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后提取公因式(x-1)，利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．先化简 再从3，-1，2中选取一个合适的数代入求值.
【答案】解：
因为a不能为-1和2，所以a =3.
当a=3时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把除法化为乘法 ，然后把分子、分母分解因式，约分化简，再根据分式有意义的条件得到a的值，代入计算即可.
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且.BE=DF.求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴AB = CD，∠A=∠C=90°.
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(HL).
∴AE =CF，∵ AD =BC，
∴AD-AE = BC-CF. 即 ED=BF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据矩形的性质得到AB = CD，∠A=∠C=90°.然后根据HL得到△ABE≌△CDF，即可得到AE =CF，进而可得 ED=BF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可.
21．6月5日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”.为了解某市的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30天的空气质量，并对空气质量指数(W)进行了统计分析.
【收集数据】
43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92
60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60
【整理数据】
规定：W≤50时，空气质量为优；50 空气质量 频数(天数) 频率
优 12 0.4
良 a 0.5
轻微污染 3 b
合计 30 1.0
【分析数据】
此组数据的平均数是62.5，众数是 c ，中位数是60.
【解决问题】
（1）填空：a= 　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）请估计该城市这一年(365天)中有多少天空气质量达到优；
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的想法.
【答案】（1）15；0.1；60
（2）365×0.4 = 146(天).
答：估计该城市这一年(365天)中有146天空气质量达到优
（3）解：该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）．
【知识点】频数（率）分布表；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
，
在这组数据中，60出现的次数最多，
∴其众数．
故答案为：15；0.1；60；
【分析】（1）根据频数总和减去其它等级的天数得到空气质量为优的天数、利用频率总和减去优、良天气的频率求出b的值 、根据众数的定义求出c解答即可；
（2）利用一年总天数乘以样本中空气质量为优的频率解答即可；
（3）根据统计结果提出治理方案解答即可．
22．我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象.小明将关于地域特产的4个IP 形象(A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶)，制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP 形象玩具.
（1）若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是　 　(填序号)；
①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件
（2）若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率.
【答案】（1）②
（2）解：树状图如图所示：
由图可以看出一共有12种等可能结果，
其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种.
∴P(抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”)
答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是：随机事件；
故答案为：②；
【分析】（1）根据随机事件的定义“在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件”解答即可；
（2）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点分别为A(-6，0)，B(10，0)，C(4，10)，D(0，8).请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)
（1）在CD边上作一点 P，使 PA =PB，此时点 P 的坐标为　 　；
（2）在BC边上作一点 Q，使△QAD和△QOB 的面积相等.
【答案】（1）(2，9)
（2）解：如图，
∵，，
∴
∴
∴
设 到 的距离为， 到 的距离为
∵ 和 的面积相等
∴
∴
∴ 在 的角平分线上，作 的角平分线交 于点 ，即为所求．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，

∵，
∴在直线 上，
设直线 的解析式为 ，代入，
∴，解得；
∴直线 的解析式为
当 时，
∴；
故答案为：(2，9).
【分析】（1）根据题意可得点P在AB的垂直平分线上，即可得到在直线 上，先根据待定系数法求出直线 的解析式，令 ，求出交点P的纵坐标即可；
（2）先求出AD=OB，即可得到点Q到AD和AB的距离相等，然后作∠DAB的平分线交BC于点Q，则点Q即为所作．
24．某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买100亩，价一万.其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今买好田、坏田共100亩，价值10 000钱.
（1）求好田、坏田各买了多少亩
（2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为3000kg，坏田的总产量为6000kg，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量
【答案】（1）设好田有x亩，则坏田有(100-x) 亩.
根据题意，得
解这个方程，得
答：好田买了 亩，坏田买了 亩.
（2）设坏田平均亩产量为 ykg，则好田平均亩产量是 3y kg.
根据题意，得
解方程，得y= 100.
经检验，y = 100是所列方程的解. 所以有3y = 300.
答：好田的平均亩产量是 300 kg
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设好田有x亩，则坏田有亩，根据“ 买好田、坏田共100亩，价值10 000钱 ”列一元一次方程，解方程求出x的值解答即可；
（2）设坏田平均亩产量为，则好田平均亩产量是，根据题意列分式方程，解方程求出y的值并检验解答即可．
25．
（1）【生活观察】小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮的轴心距(前后轮所在圆的圆心的距离)AB =1.5m，前轮转向角θ即 ∠CBD =30°，则旋转半径 OB =　 　m.
（2）【类比探究】小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶.与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切(轮胎的宽度忽略不计).
如图3，某款家用汽车宽AB约为2m，轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角θ即∠ECF = 20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH 的度数.
(参考数据：
（3）【综合实践】如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C，D与直角拐点Q共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为5m，车辆左侧与实线PQ的距离为1m.现右前轮欲以固定转向角θ转弯行驶，若能规范通过此直角弯道(四轮均不压实线)，请直接写出 sinθ的范围.
【答案】（1）3
（2）解：由题意得OC ⊥CF，OB ⊥ BC，OA⊥AD，OD ⊥DH.
∴∠ECF +∠OCB =90°，∠COB +∠OCB =90°，
∴∠COB =∠ECF=20.6°.
在 Rt△OCB 中，
∴OA=OB-AB≈8-2=6m.
在Rt△OAD 中，
∵∠AOD +∠ADO =90°，∠GDH + ∠ADO =90°，
∴∠GDH=∠AOD ≈26.6°.
答：此时左前轮的转向角 ∠GDH的度数约为26.6°
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）依题意， ，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3；
（3）解：如图，连接 ，设 ， 交于点，
当 最大时， 点经过 点，此时，
依题意，，
设 ，则，，
在中，，
∴，
解得： ，
∴，，
在中， ，
∴，
当 最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点 作 垂直于道路右侧，
设道路宽为，依题意，，
∴ ，
∴，
综上所述，，
故答案为：.
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到，早根据30度角的直角三角形的性质解答即可；
（2）在Rt△OCB 中根据正切的定义求得 ，进而在中根据正切求出∠AOD的度数 ，利用等角的余角相等求出∠GDH解答即可；
（3）连接 ，设 ， 交于点，当 最大时， 点经过 点，根据勾股定理求出OC长，即可计算 sinθ ；当 最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点 作 垂直于道路右侧，根据线段的和差求出OC长，即可得到sinθ的值，求出取值范围即可．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (m为常数)与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C.若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点(3，0).
（1）直接写出抛物线和直线BC对应的函数表达式；
（2）若平行于 x轴的直线 l 与抛物线交于点 与直线 BC 交于点 且 求 的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为D，连接AC，在x轴上找一点 P，使以点 P，B，D为顶点的 △PBD与△ABC 相似，求点 P 的坐标.
【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为
直线BC对应的函数表达式为y=-2x+12
（2）如图，设直线l
∵ 直线l与抛物线和直线BC都相交，
∴ 可列方程 即可得到
∵抛物线的对称轴是x=4，
又
∵0 < a < 12，
即
（3）如图，连接BD，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.
∵ 抛物线 顶点 D(4，-4).
由(1)可知，OC=12，OB=6，DE=4，BE=2，
∴ 可求得
∴∠ABC =∠DBE.∵△PBD与△ABC相似，
∴ 点 P 在点 B 的左侧.
∴ 存在△ABC∽△PBD或△ABC∽△DBP.
当△ABC∽△PBD时，有
得
∴ 点
当△ABC∽△DBP时，有 得 ∴点 P(-9，0).
综上，使△PBD与△ABC相似的点 P 的坐标为( 或(-9，0).
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的性质-对应边；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成： ，
将点代入 得：，
解得 或 ，
将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成： ，
将点代入 得： ，
解得 或，
∴公共解为 ，
把 代入，
得出抛物线对应的函数表达式为；
令 ，
则，
解得，，
∴，，
令 ，则 ，
∴，
设 的解析式为 ，
则，
解得
∴直线 对应的函数表达式为．
故答案为：．
【分析】（1）根据二次函数平移得到平移后的解析式，再把点分别代入两次平移后的解析式，求出m的值，得到二次函数解析式与坐标轴的交点，根据待定系数法求出直线的解析式即可．
（2）设直线l： ，求出a的取值范围，将点M，N，Q的坐标分别代入解析式得出根据对称轴得到x1+x2=8，再根据整理可得，然后根据a的取值范围，利用二次函数的增减性得到取值范围即可．
（3）连接 ，过点D作 轴，垂足为E．根据正切的定义可得，即可得到点P在点B的左侧．然后分为或两种情况．根据相似三角形的对应边成比例列方程求出PB长解答即可．
27．
（1）【问题情境】在锐角 △ABC中，求作一点 P，使PA +PB +PC 的值最小.
下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理.
如图1，以AC为边向外作等边三角形ACD，再作△ACD 的外接圆⊙O，连接BD，与⊙O交于点 P.则点 P 即为求作的点.
在 PD上取一点 P'，使PP'=AP，连接AP'，在⊙O中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得 ，故△APP'是等边三角形.所以AP =AP'.
进而可证得△ADP'≌△ACP.所以CP =DP'.
所以PB +PA +PC =BP +PP'+ P'D =BD.
由 ② (从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空)可得，BD 的长即为 PA +PB +PC 的最小值.
（2）【方法迁移】如图2，已知点A，B到直线l的距离AE=BF=4，EF=6.在图中找一点P，使点P到点A、点 B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值
（3）【拓展应用】如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来.请你设计管道路线总长最短的铺设方案(不需要说明理由)，并直接写出路线总长(用含a，b的代数式表示).
【答案】（1）①∠ACD；②两点之间线段最短
（2）作法：如图1，连接AB，在AB上方作等边三角形ABD，再作 △ABD的外接圆，过点 D作 DM⊥l，垂足为M，DM交AB于N，交圆于点 P，点 P 即为要作的点.
∴ 点 P 到点A、点 B、直线l的距离之和为 DM 的长.
∵ 点A，B到直线l的距离AE =BF =4，
∴AE∥BF，AE=BF.
∴ 四边形AEFB 是平行四边形.∴AB =EF =6，AB ∥EF.
∴MN=AE=4.
∵DM⊥EF，∴DN⊥AB.
∵△ABD 是等边三角形，
∴∠DAB =60°，AD =AB =6.
在 Rt△AND中，
∴ 点 P 到点A、点 B、直线l的距离之和最小值为
（3）管道路线总长度最短为
设计方案：如图所示，分别以边 AB 和边 CD 向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形 CDN ，再作 △ABM 和 △CDN的外接圆.
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【解答】（1）如图1，以AC为边向外作等边三角形ACD，再作△ACD 的外接圆⊙O，连接BD，与⊙O交于点 P.则点 P 即为求作的点.
在 PD上取一点 P'，使PP'=AP，连接AP'，在⊙O中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得 ，故△APP'是等边三角形.所以AP =AP'.
进而可证得△ADP'≌△ACP.所以CP =DP'.
所以PB +PA +PC =BP +PP'+ P'D =BD.
由 两点之间线段最短可得，BD 的长即为 PA +PB +PC 的最小值.
故答案为：∠ACD；两点之间线段最短；
（3）连接M，N，分别交两圆于点 P1和点 P2，连接AP1，BP1，CP2，DP2，
∴ MN的长即为管道路线总长度的最小值，最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等和两点之间线段最短补充解答过程即可；
（2）连接 ，在 上方作等边三角形 ，再作 的外接圆，过点D作，垂足为M， 交 于N，交圆于点P，点P即为要作的点．根据一组对边平行且相等的四边形是是平行四边形得到是平行四边形，即可得到DM⊥EF，再在，根据正弦的定义求出DN长解答即可；
（3）分别以边 和边 向矩形外侧作等边三角形和等边三角形，再作 和的外接圆，连接M，N，分别交两圆于点和点，得出的长为管道路线总长度的最小值，同（2）的方法解答即可．
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