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浙江宁波市东海实验学校2025-2026学年八年级下学期6月期末调研数学试卷
1．我国古代数学蕴含了许多有对称美的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
4．若用反证法证明命题“在△ABC 中，若∠B > ∠C，则 AC > AB”，则应假设（　　）
A．AC ≠ AB B．AC ≥ AB C．AC ≤ AB D．AC < AB
5．探讨关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx - 1 = 0 总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议： 甲：a - b - 1 = 0；乙：a， b 同号；丙：a + b - 1 = 0． 下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确
C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确
6．某班进行趣味投篮比赛，每人投 10 次，6 位参赛同学的命中次数整理如表（单位：次）：
最小值 平均数 中位数 众数 最大值
3 a 6 6 b
根据以上信息，下列分析正确的是（　　）
A．若 a = 6，则 b 的最小值为 7
B．若 a = 6，则 b 的最大值为 8
C．若 b = 9，则 a 的最大值为 6.5
D．若 b = 9，则 a 的最小值为 6
7．已知反比例函数，点 M (x1， y1) 和 N (x2， y2) 是反比例函数图象上的两点，若对于 x1 = 2a，2 ≤ x2 ≤ 4，都有 y1 < y2，则 a 的取值范围是（　　）
A．a < 0 或 2 < a < 3
B．0 < a < 1
C．2 < a < 3
D．a > 3 或 a < 0
8．如图 1，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 120°，点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿折线 B - C - D 向终点 D 匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为 x 秒，PQ2 为 y．如图 2，y 关于 x 的函数图象经过最低点 E (2， m)．下列说法不正确的是（　　）
A．n = 7
B．m = 25
C．
D．点 (4， 28) 在该函数图象上
9．一个多边形的外角和等于它的内角和的三分之一，它是　 　边形．
10．如图，四边形 ABCD 是菱形，CD = 5，BD = 8，AE ⊥ BC 于点 E，则 AE 的长是　 　．
11．已知二次函数 y=x2+4x+5，当 -3≤x≤0 时，y 的取值范围为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，□OABC 的顶点 C 在 x 轴上，顶点 B 在第二象限，边 BC 的中点 D 横坐标为 -6，反比例函数 的图象经过点 A，D．若 S△AOD = 9，则 k 的值为　 　．
13．某中学数学社团开展折纸活动，如图在一张宽为cm，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 ABCD (AB = cm)．先将纸片折出折痕 BD，再在边 AD 上取点 P，将 △ABP 沿 BP 折叠得 △A’BP．记 A’P 与 BD 的交点为 Q，在折纸过程中，当点 Q 平分线段 A’P 时，A’B 恰好平分 ∠DBC，且 BQ = 2DQ，则 AD 长度应取　 　 cm．
14．如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB = 30°，CD ⊥ AB 于 D 点，BC = 1．点 P 是直线 BC 上一动点，连接 AP．若点 E 是 AP 的中点，则 DE 的最小值是　 　．
15．计算
（1）
（2）解方程：x2-2x-3=0
16．如图，已知四边形 ABCD 是菱形，延长 BC 到点 E 使 CE = CB，延长 DC 到点 F 使 CF = CD，连接 BD，BF，ED，EF．
（1）求证：四边形 BDEF 是矩形；
（2）连接 EA，若 EA 平分 ∠BED，菱形 ABCD 的边长为 4，求矩形 BDEF 的面积．
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 的图象相交于点 A (1， 6)，B (3， n) 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出关于 x 的不等式的解集　 　；
（3）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在点 C（点 C 在直线 AB 的右上方）和点 D，使得四边形 ACBD 为正方形，若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．2026 年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
（1）某电商平台数据显示，该毛绒小马 2 月份销量为 20 万件，4 月份销量已增至 24.2 万件．求该电商平台“哭哭马”2 月到 4 月销量的月平均增长率．
（2）义乌某商铺以每件 10 元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为 30 元/件时，日销量为 80 件．售价每降低 1 元，日销量可增加 10 件．
① 为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到 1800 元，则每件应降价多少元？
② 若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付 2 元快递费，且线上日销量固定为 100 件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？最大利润是多少？
19．定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的 2 倍，则称这个点为“友好点”，如：A（1，3），B（-2，-6），C（0，0）等都是“友好点”．已知二次函数 y = -x2 - x + c（c 为常数）．
（1）若该函数经过点（1，-6），求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当 t ≤ x ≤ t + 2 时，函数的最小值为 -6，求 t 的值；
（3）在 -3 < x < 1 的范围内，若二次函数 y = -x2 - x + c 的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出 c 的取值范围．
20．如图，在矩形 ABCD 中，，点 E 是 BC 边上的动点，连接 AE，点 B 关于 AE 的对称点为点 F，连接 EF，作射线 CF 交直线 AD 于点 G．
（1）【动手操作】如图 1，若点 G 与点 A 重合时，请在图 1 中补全图形，并直接写出线段 EF 与线段 AB 的数量关系；
（2）【深入探究】如图 2，若 AE // CG，探究线段 EF 与线段 AB 的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展探究】若点 E 在射线 BC 上运动，当 E，F，D 三点共线时，求△ECF 的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B.
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断即可.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】】解： 不是最简二次根式，不合题意；
不是最简二次根式，不合题意；
不是最简二次根式，不合题意；
是最简二次根式，符合题意；
故选择：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式”逐个判断即可.
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故不符合题意；
B、有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意，
故选：D.
【分析】根据正方形的判定定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理即可得到结论.
4．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B>∠C，则 AC>AB”，第一步应是假设AC≤AB，
故选：C.【分析】根据反证法的一般步骤“①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.”解答即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
若a-b-1=0，即 方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根；
若a、b同号，不妨令a=-1，b=-1，此时 1-4=-3<0，方程没有实数解，所以乙的条件不满足方程总有实数根；
若a+b-1=0，即 方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；
故选： B.
【分析】根据根的判别式的定义得到 根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若(a=b+1，则 则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若 则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断.
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意，设6个数据分别为 ， x6，不妨设 中位数 ，
∴最大值 ，
∵众数为6，说明6出现次数最多，
对于选项A，
∴总和6×6=36，
且和为12，
∴只能
∴数据为3， x2， 6， 6， x5， b.
∵6次数最多，
∴要b最小，就让前面数尽量大
故A错误；
对于选项B，
由题意，
∴总和另个6×6=36，
又∵x2最小取3， x5最小取6，
则b=12，但最多投10次， 10，故B错误；
对于选项C、D，
由题意，
∴数据为3， x2， 6， 6， x5， 9，
总和
∴平均数
∴C正确， D错误.
故选： C.
【分析】设6个数据分别为 ， x6，不妨设 根据题意得到6个数的和为36，x1=3，x6=b，然后根据选项条件得到另一个的值，逐项判断解答即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设k=3-a，反比例函数为 分两种情况讨论：
情况1：k>0，即3-a>0，得a<3，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而减小.
由条件可知y1小于y2的最小值，y2的最小值为
又∵可得
当a<0时，左边 不等式恒成立，符合条件，
当a>0时，两边同乘4a，得2情况2：k<0，即3-a<0，得a>3，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而增大，
由条件可知 小于 的最小值 代入，得
两边同乘2a，得a<1，与a>3矛盾，∴此情况无解.
综上，a的取值范围是a<0或2故选： A.
【分析】根据系数3-a的正负分情况讨论，结合对任意 都有 的条件，列不等式求解a的取值范围即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：A选项：
由图可知，y关于x的图象关于x=3.5对称，则n =n=3.5×2=7，A正确；
B选项：
四边形ABCD为菱形， 由A可知：DB=7，
D=7，
因为P，Q匀速同时到达终点，∴Q点运动速度为每秒2个单位.
当x=2时，DP=2，BQ=4，过Q作 D于H.
在 中， 即
在 中， 故B错误；
C选项：
当x=3.5时，DP=3.5，BQ=7，即Q点与C点重合，P为BD中点，
为等边三角形，则. 又
则 故C正确；
D选项：当x=4时，由C选项可知Q在CD上.
DP=4，CQ=4×2-7=1，则DQ=7-1=6.
过P作. 于H，
由 得：
在 中，
即点(4，28)在函数图象上，故D正确.
综上，答案为：B.
【分析】A选项：由图象对称性求得n值可判断；B选项：分别求得最低点时P，Q位置，过Q作( BD于H构造直角三角形，由菱形内角特殊角及勾股定理求得m值；C选项：分别求得x=3.5时P，Q位置，由等边三角形三线合一，求得k值即可判断；D选项：分别求得x=4时P，Q位置， 过P作. CD于H构造直角三角形，由菱形内角特殊角及勾股定理可求得y，即可判断该点是否在函数图象上.
9．【答案】八
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是 边形，
这个多边形是八边形，
故答案为：八.
【分析】设这个多边形是 边形，根据这个多边形的外角和等于它的内角和的三分之一列出关于 的方程，解方程即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，CD=5，BD=8，
在 中，
6.
∵菱形 ABCD的面积为
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求出CO=3，即可得到AC=6，然后根据菱形的等积变形解答即可.
11．【答案】1≤y≤5
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
当x=-2时，有最小值1，
又∵抛物线开口向上，离对称轴远的点的函数值大，
∴当x=0时，有最大值5，
故当 时，二次函数 的最小值是1，最大值是5.
综上所述， y 的取值范围为 1≤y≤5.
故答案为：1≤y≤5.
【分析】先配方为顶点式，然后根据抛物线开口向上，离对称轴远的点的函数值大得到最大值和最小值，即可求出取值范围.
12．【答案】-12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，作轴、 轴，垂足分别为E、F.
∵边 BC的中点D 横坐标为-6，
则
根据反比例函数k值的几何意义，
得
解得k=-12.
故填：-12
【分析】作轴、 轴，垂足分别为E、F.代入反比例函数得到点D和A的坐标，然后根据列方程求出k的值解答即可.
13．【答案】7
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，延长PA'交BC于点E，过点P作PF 于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
，
∴四边形ABFP为矩形，
根据折叠可得，
平分
又
∵点Q平分线段.A'P，
又·
设PQ=A'Q=A'E=x，
则PE=3x，BF=AP=A'P=2x，
由勾股定理得
由勾股定理得 即
解得：x=2(负值已舍)，
AD=AP+PD=4+3=7.
故答案为：7.
【分析】延长PA'交BC于点E，过点P作. '于点F，通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等的边和角，证明 ，得出相等的边，结合矩形的性质证明 得出相似比，设PQ=A'Q=A'E=x，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：延长AB到F，使DF=AD，连接CF，P F，过点F作 于点H，如图所示：
∵点E是AP的中点，
∴DE是 的中位线，
∴当FP为最小时，DE为最小，
根据“垂线段最短”得：当点P与点H重合时，FP为最小，最小值为线段FH的长，
∴DE的最小值为
在 中， BC=1，
∴∠ABC =∠ACB-∠CAB=60°，
∴∠FBH=∠ABC=60°，
∵CD⊥AB于D点， DF= AD，
∴CD是线段AF的垂直平分线，
∴AC=FC，
∴∠BFC=∠CAB=30°，
∵∠ABC是△BCF的外角，
∴∠ABC =∠BFC+∠BCF，
∴60°=30°+∠BCF，
∴∠BCF=30°，
∴∠BCF =∠BFC=30°，
∴BF= BC = 1，
∵FH⊥PC于点H，
∴△FBH是直角三角形，
在Rt△FBH中， ∠BFH =90°-∠FBH = 30°，
由勾股定理得：
∴DE的最小值为
故答案为：
【分析】延长AB到F，使DF= AD，连接CF，PF，过点F作FH⊥PC于点H，由此得DE是△APF的中位线，则 进而得当FP为最小时，DE为最小，再根据“垂线段最短”得当点P与点H重合时，FP为最小，最小值为线段FH的长，故得DE的最小值为 先求出∠FBH=∠ABC=60°，证明CD是线段AF的垂直平分线得AC=FC， 则∠BFC=∠CAB=30°， 再证明∠BCF=∠BFC=30°得BF= BC =1， 在Rt△FBH中， 根据∠BFH =90°-∠FBH =30°得BH = 由勾股定理得 据此即可得出DE的最小值.
15．【答案】（1）解：
（2）解：
(x-3)(x+1)=0
x-3=0或x+1=0
解得x1=3，x2=-1.
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的乘除法、化简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）利用因式分解法化为两个一次方程，然后解两个一次方程求出x的值即可.
16．【答案】（1）证明： ∵CE=CB， CF=CD，∴四边形BDEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形
∴CB=CD，
∴2CB=2CD，
∵BE=2CB， DF=2CD，
∴BE=DF，
∴四边形BDEF是矩形.
（2）解： ∵菱形ABCD的边长为4，
∴AD=CB=4，AD∥CB，
∴BE=2CB=8， ∠DAE =∠BEA，
∵EA平分∠BED
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴ED=AD =4，
∵四边形BDEF是矩形，
∴∠BDE = 90°，
∴矩形BDEF的面积为
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)由CE=CB， CF=CD， 证明四边形BDEF是平行四边形，根据菱形的性质得到CB=CD，而进而可得BE= DF， 即可证明结论；
(2)由AD=CB=4，AD∥CB，得BE=8， ∠DAE=∠BEA， 而EA平分∠BED， 则∠DEA=∠BEA， 即可得到∠DAE=∠DEA， 则ED=AD=4， 由矩形的性质得∠BDE = 90°， 根据勾股定理求出BD长，再根据矩形的面积公式计算即可.
17．【答案】（1）解：(1)将点A (1，6)代入反比例函数 得：
解得m=6，
∴反比例函数的表达式为
将点B(3，n)代入 得：
∴ B(3，2)，
将A(1，6)， B(3，2)代入一次函数y=kx+b，得：，
解得
∴一次函数的表达式为y=-2x+8；
（2）1（3）解：存在， 点C的坐标为(4，5)，
理由：在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC，
过C作. 轴，过A作 于E，过B作BF '于F，
设C(s，t)，
∵A(1，6)， B(3，2)，
=s-3，
∴C(4，5)，
∴四边形ACBD为正方形时， C(4，5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(2)∵一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= 的图象相交于点A(1，6)，B(3，2)两点，
∴不等式 的解集为：1故答案为：1【分析】(1)将点A(1，6)代入反比例函数 解方程得到m=6，求得反比例函数的表达式为 ， 将点B(3，n)代入 得到B(3，2)， 将A(1，6)， B(3，2)代入一次函数y=kx+b解方程组得到 求出k，b的值解答即可；
(2)根据函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
(3)在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC，过C作 轴，过A作 于E，过B作 于F，根据全等三角形的性质得到AE=CF，CE=BF，设C(s，t)，得 到.AE=s-1，CE=6-s，CF=t-2，BF=s-3，解方程组即可得到结论.
18．【答案】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：
解得： (不符合题意，舍去).
答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；
（2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为(30-y-10)元，日销售量为(80+10y)件，
根据题意得：(30-y-10)(80+10y)=1800，
整理得：
解得：
又∵要尽快减少库存，
答：每件应降价10元；
②设线下售价为m元，总利润为ω元，
根据题意得：w=(m-10)[80+10(30-m)]+100(m-2)
=(m-10)(380-10m)+100(m-2)
∴当m=29时， w最大，最大值为3410元.
答：当线下售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3410元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，利用该毛绒小马4月份的销量=该毛绒小马2月份的销量×(1+该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)①设每件应降价y元，则每件的销售利润为(30-y-10)元，日销售量为(80+10y)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论；
②设线下售价为m元，总利润为w元，根据总利润=线上、线下利润之和列出函数解析式，根据函数性质求最值.
19．【答案】（1）解：已知二次函数 （ 为常数）经过点(1， -6)，将点(1， -6)代入得：
解得：c=-4，
∴抛物线解析式为
（2）解：由(1)可知为 其中a=-1<0，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线
第一种情况：
当 即 时，∴当x=t时， y取得最小值-6，
解得： t=-2或t=1，
∴t=-2；
第二种情况：
当 即 时，∴当x=t+2时， y取得最小值-6，
解得： t=-1或t=-4(不合题意，舍去)，
∴t=-1；
综上所述，t的值为-2或-1；
（3）解：由题意得，三倍点所在的直线为y=3x，在-3即在-3令 整理得： 则
解得：
把x=-3代入 得y=-6+c，代入y=3x得：y=-9，
解得：c<-3；
把x=1代入 得y=-2+c，代入y=3x得：y=3，
解得：c<5；
综上所述，c的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】(1)把(1， -6)代入 即可求得抛物线解析式；
(2)由(1)可知 ，分当 ，当 时，两种情况下的最小值，令最小值等于-6，分别求解即可.
(3)由题意得，三倍点所在的直线为 ，将在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在 的范围内，二次函数 和 至少有一个交点，即可求解.
20．【答案】（1）解：补全图形，如图1即为所求；
（2）解： 理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CGD=∠GCB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB =∠AEB， ∠AEF =∠CFE，
∵点B关于AE的对称点为点F，
∴∠AEB =∠AEF， BE = EF，
∴∠GCB=∠CFE， 即
（3）解： 的面积为 或 .理由如下：
分两种情况讨论如下：
①当点E在线段BC上时，如图3，
∵点B关于AE的对称点为点F，
在 中，由勾股定理得：CE=
分别过点F作 交AD于点M，交BC于点N，
∴四边形ABNM是矩形，
即
解得：
②当点E在射线BC上，点C右侧时，如图4，
点B关于AE的对称点为点F，
，
在 中，由勾股定理得：CE=
过点F作 交BE于点Q，FQ与AD交于点P，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴四边形APQB是矩形，
在 中，由勾股定理得：FD=
即
解得：
综上所述， 的面积为 或
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：(1) ，点B关于AE的对称点为点F，
∵射线CF交直线AD于点G，点G与点A重合，
∴∠EFC=180°-∠AFE = 90°，
在Rt△ABC中， 由勾股定理得： AC=
∴CF=AC-AF =8-4=4，
设BE=EF=x， 则( x，
在Rt△EFC中，
解得 即
故答案为：
【分析】(1)先根据题意作出对应的图形，利用轴对称的性质和勾股定理列出方程即可求解x的值，从而得到结论；
(2)利用矩形的性质得到∠CGD=∠GCB，利用轴对称的性质得到AEB =∠AEF， 根据平行线的性质得到∠GCB =∠AEB， ∠AEF =∠CFE， 即可得到EF和AB的关系式；
(3)分情况讨论：①当点E在线段BC上时，②当点E在射线BC上，点C右侧时；利用勾股定理求出CE长，然后根据矩形的性质和三角形的面积公式求出PF的长，即可求出PQ长，再根据三角形面积公式解答即可.
1 / 1浙江宁波市东海实验学校2025-2026学年八年级下学期6月期末调研数学试卷
1．我国古代数学蕴含了许多有对称美的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B.
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据定义判断即可.
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】】解： 不是最简二次根式，不合题意；
不是最简二次根式，不合题意；
不是最简二次根式，不合题意；
是最简二次根式，符合题意；
故选择：D.
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式”逐个判断即可.
3．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故不符合题意；
B、有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意，
故选：D.
【分析】根据正方形的判定定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理即可得到结论.
4．若用反证法证明命题“在△ABC 中，若∠B > ∠C，则 AC > AB”，则应假设（　　）
A．AC ≠ AB B．AC ≥ AB C．AC ≤ AB D．AC < AB
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B>∠C，则 AC>AB”，第一步应是假设AC≤AB，
故选：C.【分析】根据反证法的一般步骤“①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.”解答即可.
5．探讨关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx - 1 = 0 总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议： 甲：a - b - 1 = 0；乙：a， b 同号；丙：a + b - 1 = 0． 下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确
C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
若a-b-1=0，即 方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根；
若a、b同号，不妨令a=-1，b=-1，此时 1-4=-3<0，方程没有实数解，所以乙的条件不满足方程总有实数根；
若a+b-1=0，即 方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；
故选： B.
【分析】根据根的判别式的定义得到 根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若(a=b+1，则 则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若 则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断.
6．某班进行趣味投篮比赛，每人投 10 次，6 位参赛同学的命中次数整理如表（单位：次）：
最小值 平均数 中位数 众数 最大值
3 a 6 6 b
根据以上信息，下列分析正确的是（　　）
A．若 a = 6，则 b 的最小值为 7
B．若 a = 6，则 b 的最大值为 8
C．若 b = 9，则 a 的最大值为 6.5
D．若 b = 9，则 a 的最小值为 6
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意，设6个数据分别为 ， x6，不妨设 中位数 ，
∴最大值 ，
∵众数为6，说明6出现次数最多，
对于选项A，
∴总和6×6=36，
且和为12，
∴只能
∴数据为3， x2， 6， 6， x5， b.
∵6次数最多，
∴要b最小，就让前面数尽量大
故A错误；
对于选项B，
由题意，
∴总和另个6×6=36，
又∵x2最小取3， x5最小取6，
则b=12，但最多投10次， 10，故B错误；
对于选项C、D，
由题意，
∴数据为3， x2， 6， 6， x5， 9，
总和
∴平均数
∴C正确， D错误.
故选： C.
【分析】设6个数据分别为 ， x6，不妨设 根据题意得到6个数的和为36，x1=3，x6=b，然后根据选项条件得到另一个的值，逐项判断解答即可.
7．已知反比例函数，点 M (x1， y1) 和 N (x2， y2) 是反比例函数图象上的两点，若对于 x1 = 2a，2 ≤ x2 ≤ 4，都有 y1 < y2，则 a 的取值范围是（　　）
A．a < 0 或 2 < a < 3
B．0 < a < 1
C．2 < a < 3
D．a > 3 或 a < 0
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设k=3-a，反比例函数为 分两种情况讨论：
情况1：k>0，即3-a>0，得a<3，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而减小.
由条件可知y1小于y2的最小值，y2的最小值为
又∵可得
当a<0时，左边 不等式恒成立，符合条件，
当a>0时，两边同乘4a，得2情况2：k<0，即3-a<0，得a>3，此时反比例函数的图象在每个象限内y随x增大而增大，
由条件可知 小于 的最小值 代入，得
两边同乘2a，得a<1，与a>3矛盾，∴此情况无解.
综上，a的取值范围是a<0或2故选： A.
【分析】根据系数3-a的正负分情况讨论，结合对任意 都有 的条件，列不等式求解a的取值范围即可.
8．如图 1，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 120°，点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿折线 B - C - D 向终点 D 匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为 x 秒，PQ2 为 y．如图 2，y 关于 x 的函数图象经过最低点 E (2， m)．下列说法不正确的是（　　）
A．n = 7
B．m = 25
C．
D．点 (4， 28) 在该函数图象上
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：A选项：
由图可知，y关于x的图象关于x=3.5对称，则n =n=3.5×2=7，A正确；
B选项：
四边形ABCD为菱形， 由A可知：DB=7，
D=7，
因为P，Q匀速同时到达终点，∴Q点运动速度为每秒2个单位.
当x=2时，DP=2，BQ=4，过Q作 D于H.
在 中， 即
在 中， 故B错误；
C选项：
当x=3.5时，DP=3.5，BQ=7，即Q点与C点重合，P为BD中点，
为等边三角形，则. 又
则 故C正确；
D选项：当x=4时，由C选项可知Q在CD上.
DP=4，CQ=4×2-7=1，则DQ=7-1=6.
过P作. 于H，
由 得：
在 中，
即点(4，28)在函数图象上，故D正确.
综上，答案为：B.
【分析】A选项：由图象对称性求得n值可判断；B选项：分别求得最低点时P，Q位置，过Q作( BD于H构造直角三角形，由菱形内角特殊角及勾股定理求得m值；C选项：分别求得x=3.5时P，Q位置，由等边三角形三线合一，求得k值即可判断；D选项：分别求得x=4时P，Q位置， 过P作. CD于H构造直角三角形，由菱形内角特殊角及勾股定理可求得y，即可判断该点是否在函数图象上.
9．一个多边形的外角和等于它的内角和的三分之一，它是　 　边形．
【答案】八
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是 边形，
这个多边形是八边形，
故答案为：八.
【分析】设这个多边形是 边形，根据这个多边形的外角和等于它的内角和的三分之一列出关于 的方程，解方程即可.
10．如图，四边形 ABCD 是菱形，CD = 5，BD = 8，AE ⊥ BC 于点 E，则 AE 的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，CD=5，BD=8，
在 中，
6.
∵菱形 ABCD的面积为
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求出CO=3，即可得到AC=6，然后根据菱形的等积变形解答即可.
11．已知二次函数 y=x2+4x+5，当 -3≤x≤0 时，y 的取值范围为　 　．
【答案】1≤y≤5
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
当x=-2时，有最小值1，
又∵抛物线开口向上，离对称轴远的点的函数值大，
∴当x=0时，有最大值5，
故当 时，二次函数 的最小值是1，最大值是5.
综上所述， y 的取值范围为 1≤y≤5.
故答案为：1≤y≤5.
【分析】先配方为顶点式，然后根据抛物线开口向上，离对称轴远的点的函数值大得到最大值和最小值，即可求出取值范围.
12．如图，在平面直角坐标系中，□OABC 的顶点 C 在 x 轴上，顶点 B 在第二象限，边 BC 的中点 D 横坐标为 -6，反比例函数 的图象经过点 A，D．若 S△AOD = 9，则 k 的值为　 　．
【答案】-12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，作轴、 轴，垂足分别为E、F.
∵边 BC的中点D 横坐标为-6，
则
根据反比例函数k值的几何意义，
得
解得k=-12.
故填：-12
【分析】作轴、 轴，垂足分别为E、F.代入反比例函数得到点D和A的坐标，然后根据列方程求出k的值解答即可.
13．某中学数学社团开展折纸活动，如图在一张宽为cm，长度足够的矩形纸条中剪取矩形纸片 ABCD (AB = cm)．先将纸片折出折痕 BD，再在边 AD 上取点 P，将 △ABP 沿 BP 折叠得 △A’BP．记 A’P 与 BD 的交点为 Q，在折纸过程中，当点 Q 平分线段 A’P 时，A’B 恰好平分 ∠DBC，且 BQ = 2DQ，则 AD 长度应取　 　 cm．
【答案】7
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，延长PA'交BC于点E，过点P作PF 于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
，
∴四边形ABFP为矩形，
根据折叠可得，
平分
又
∵点Q平分线段.A'P，
又·
设PQ=A'Q=A'E=x，
则PE=3x，BF=AP=A'P=2x，
由勾股定理得
由勾股定理得 即
解得：x=2(负值已舍)，
AD=AP+PD=4+3=7.
故答案为：7.
【分析】延长PA'交BC于点E，过点P作. '于点F，通过翻折的性质和角平分线的性质得出相等的边和角，证明 ，得出相等的边，结合矩形的性质证明 得出相似比，设PQ=A'Q=A'E=x，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列出方程求解即可.
14．如图，在 Rt△ABC 中，∠CAB = 30°，CD ⊥ AB 于 D 点，BC = 1．点 P 是直线 BC 上一动点，连接 AP．若点 E 是 AP 的中点，则 DE 的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：延长AB到F，使DF=AD，连接CF，P F，过点F作 于点H，如图所示：
∵点E是AP的中点，
∴DE是 的中位线，
∴当FP为最小时，DE为最小，
根据“垂线段最短”得：当点P与点H重合时，FP为最小，最小值为线段FH的长，
∴DE的最小值为
在 中， BC=1，
∴∠ABC =∠ACB-∠CAB=60°，
∴∠FBH=∠ABC=60°，
∵CD⊥AB于D点， DF= AD，
∴CD是线段AF的垂直平分线，
∴AC=FC，
∴∠BFC=∠CAB=30°，
∵∠ABC是△BCF的外角，
∴∠ABC =∠BFC+∠BCF，
∴60°=30°+∠BCF，
∴∠BCF=30°，
∴∠BCF =∠BFC=30°，
∴BF= BC = 1，
∵FH⊥PC于点H，
∴△FBH是直角三角形，
在Rt△FBH中， ∠BFH =90°-∠FBH = 30°，
由勾股定理得：
∴DE的最小值为
故答案为：
【分析】延长AB到F，使DF= AD，连接CF，PF，过点F作FH⊥PC于点H，由此得DE是△APF的中位线，则 进而得当FP为最小时，DE为最小，再根据“垂线段最短”得当点P与点H重合时，FP为最小，最小值为线段FH的长，故得DE的最小值为 先求出∠FBH=∠ABC=60°，证明CD是线段AF的垂直平分线得AC=FC， 则∠BFC=∠CAB=30°， 再证明∠BCF=∠BFC=30°得BF= BC =1， 在Rt△FBH中， 根据∠BFH =90°-∠FBH =30°得BH = 由勾股定理得 据此即可得出DE的最小值.
15．计算
（1）
（2）解方程：x2-2x-3=0
【答案】（1）解：
（2）解：
(x-3)(x+1)=0
x-3=0或x+1=0
解得x1=3，x2=-1.
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先运算二次根式的乘除法、化简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可；
（2）利用因式分解法化为两个一次方程，然后解两个一次方程求出x的值即可.
16．如图，已知四边形 ABCD 是菱形，延长 BC 到点 E 使 CE = CB，延长 DC 到点 F 使 CF = CD，连接 BD，BF，ED，EF．
（1）求证：四边形 BDEF 是矩形；
（2）连接 EA，若 EA 平分 ∠BED，菱形 ABCD 的边长为 4，求矩形 BDEF 的面积．
【答案】（1）证明： ∵CE=CB， CF=CD，∴四边形BDEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形
∴CB=CD，
∴2CB=2CD，
∵BE=2CB， DF=2CD，
∴BE=DF，
∴四边形BDEF是矩形.
（2）解： ∵菱形ABCD的边长为4，
∴AD=CB=4，AD∥CB，
∴BE=2CB=8， ∠DAE =∠BEA，
∵EA平分∠BED
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴ED=AD =4，
∵四边形BDEF是矩形，
∴∠BDE = 90°，
∴矩形BDEF的面积为
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)由CE=CB， CF=CD， 证明四边形BDEF是平行四边形，根据菱形的性质得到CB=CD，而进而可得BE= DF， 即可证明结论；
(2)由AD=CB=4，AD∥CB，得BE=8， ∠DAE=∠BEA， 而EA平分∠BED， 则∠DEA=∠BEA， 即可得到∠DAE=∠DEA， 则ED=AD=4， 由矩形的性质得∠BDE = 90°， 根据勾股定理求出BD长，再根据矩形的面积公式计算即可.
17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 的图象相交于点 A (1， 6)，B (3， n) 两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）请直接写出关于 x 的不等式的解集　 　；
（3）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在点 C（点 C 在直线 AB 的右上方）和点 D，使得四边形 ACBD 为正方形，若存在，请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：(1)将点A (1，6)代入反比例函数 得：
解得m=6，
∴反比例函数的表达式为
将点B(3，n)代入 得：
∴ B(3，2)，
将A(1，6)， B(3，2)代入一次函数y=kx+b，得：，
解得
∴一次函数的表达式为y=-2x+8；
（2）1（3）解：存在， 点C的坐标为(4，5)，
理由：在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC，
过C作. 轴，过A作 于E，过B作BF '于F，
设C(s，t)，
∵A(1，6)， B(3，2)，
=s-3，
∴C(4，5)，
∴四边形ACBD为正方形时， C(4，5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：(2)∵一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= 的图象相交于点A(1，6)，B(3，2)两点，
∴不等式 的解集为：1故答案为：1【分析】(1)将点A(1，6)代入反比例函数 解方程得到m=6，求得反比例函数的表达式为 ， 将点B(3，n)代入 得到B(3，2)， 将A(1，6)， B(3，2)代入一次函数y=kx+b解方程组得到 求出k，b的值解答即可；
(2)根据函数图象，得到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量x的取值范围即可；
(3)在直线AB的上方作乙AB为斜边的等腰直角三角形ABC，过C作 轴，过A作 于E，过B作 于F，根据全等三角形的性质得到AE=CF，CE=BF，设C(s，t)，得 到.AE=s-1，CE=6-s，CF=t-2，BF=s-3，解方程组即可得到结论.
18．2026 年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．
（1）某电商平台数据显示，该毛绒小马 2 月份销量为 20 万件，4 月份销量已增至 24.2 万件．求该电商平台“哭哭马”2 月到 4 月销量的月平均增长率．
（2）义乌某商铺以每件 10 元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为 30 元/件时，日销量为 80 件．售价每降低 1 元，日销量可增加 10 件．
① 为尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到 1800 元，则每件应降价多少元？
② 若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付 2 元快递费，且线上日销量固定为 100 件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：
解得： (不符合题意，舍去).
答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%；
（2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为(30-y-10)元，日销售量为(80+10y)件，
根据题意得：(30-y-10)(80+10y)=1800，
整理得：
解得：
又∵要尽快减少库存，
答：每件应降价10元；
②设线下售价为m元，总利润为ω元，
根据题意得：w=(m-10)[80+10(30-m)]+100(m-2)
=(m-10)(380-10m)+100(m-2)
∴当m=29时， w最大，最大值为3410元.
答：当线下售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3410元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，利用该毛绒小马4月份的销量=该毛绒小马2月份的销量×(1+该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)①设每件应降价y元，则每件的销售利润为(30-y-10)元，日销售量为(80+10y)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论；
②设线下售价为m元，总利润为w元，根据总利润=线上、线下利润之和列出函数解析式，根据函数性质求最值.
19．定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的 2 倍，则称这个点为“友好点”，如：A（1，3），B（-2，-6），C（0，0）等都是“友好点”．已知二次函数 y = -x2 - x + c（c 为常数）．
（1）若该函数经过点（1，-6），求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当 t ≤ x ≤ t + 2 时，函数的最小值为 -6，求 t 的值；
（3）在 -3 < x < 1 的范围内，若二次函数 y = -x2 - x + c 的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出 c 的取值范围．
【答案】（1）解：已知二次函数 （ 为常数）经过点(1， -6)，将点(1， -6)代入得：
解得：c=-4，
∴抛物线解析式为
（2）解：由(1)可知为 其中a=-1<0，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线
第一种情况：
当 即 时，∴当x=t时， y取得最小值-6，
解得： t=-2或t=1，
∴t=-2；
第二种情况：
当 即 时，∴当x=t+2时， y取得最小值-6，
解得： t=-1或t=-4(不合题意，舍去)，
∴t=-1；
综上所述，t的值为-2或-1；
（3）解：由题意得，三倍点所在的直线为y=3x，在-3即在-3令 整理得： 则
解得：
把x=-3代入 得y=-6+c，代入y=3x得：y=-9，
解得：c<-3；
把x=1代入 得y=-2+c，代入y=3x得：y=3，
解得：c<5；
综上所述，c的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】(1)把(1， -6)代入 即可求得抛物线解析式；
(2)由(1)可知 ，分当 ，当 时，两种情况下的最小值，令最小值等于-6，分别求解即可.
(3)由题意得，三倍点所在的直线为 ，将在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在 的范围内，二次函数 和 至少有一个交点，即可求解.
20．如图，在矩形 ABCD 中，，点 E 是 BC 边上的动点，连接 AE，点 B 关于 AE 的对称点为点 F，连接 EF，作射线 CF 交直线 AD 于点 G．
（1）【动手操作】如图 1，若点 G 与点 A 重合时，请在图 1 中补全图形，并直接写出线段 EF 与线段 AB 的数量关系；
（2）【深入探究】如图 2，若 AE // CG，探究线段 EF 与线段 AB 的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展探究】若点 E 在射线 BC 上运动，当 E，F，D 三点共线时，求△ECF 的面积．
【答案】（1）解：补全图形，如图1即为所求；
（2）解： 理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CGD=∠GCB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB =∠AEB， ∠AEF =∠CFE，
∵点B关于AE的对称点为点F，
∴∠AEB =∠AEF， BE = EF，
∴∠GCB=∠CFE， 即
（3）解： 的面积为 或 .理由如下：
分两种情况讨论如下：
①当点E在线段BC上时，如图3，
∵点B关于AE的对称点为点F，
在 中，由勾股定理得：CE=
分别过点F作 交AD于点M，交BC于点N，
∴四边形ABNM是矩形，
即
解得：
②当点E在射线BC上，点C右侧时，如图4，
点B关于AE的对称点为点F，
，
在 中，由勾股定理得：CE=
过点F作 交BE于点Q，FQ与AD交于点P，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴四边形APQB是矩形，
在 中，由勾股定理得：FD=
即
解得：
综上所述， 的面积为 或
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：(1) ，点B关于AE的对称点为点F，
∵射线CF交直线AD于点G，点G与点A重合，
∴∠EFC=180°-∠AFE = 90°，
在Rt△ABC中， 由勾股定理得： AC=
∴CF=AC-AF =8-4=4，
设BE=EF=x， 则( x，
在Rt△EFC中，
解得 即
故答案为：
【分析】(1)先根据题意作出对应的图形，利用轴对称的性质和勾股定理列出方程即可求解x的值，从而得到结论；
(2)利用矩形的性质得到∠CGD=∠GCB，利用轴对称的性质得到AEB =∠AEF， 根据平行线的性质得到∠GCB =∠AEB， ∠AEF =∠CFE， 即可得到EF和AB的关系式；
(3)分情况讨论：①当点E在线段BC上时，②当点E在射线BC上，点C右侧时；利用勾股定理求出CE长，然后根据矩形的性质和三角形的面积公式求出PF的长，即可求出PQ长，再根据三角形面积公式解答即可.
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