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2025-2026学年上海市行知中学高二（上）期末数学试卷
一、填空题（共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分）.
1．半径为1的球的表面积是　　．
2．抛物线的焦点到准线的距离为　　．
3．椭圆的右焦点坐标为　　．
4．已知等差数列，，则　　 ．
5．函数的驻点　　 ．
6．圆柱两个底面中心分别为，0，和，0，，底面的圆周上有点，4，，该圆柱的体积为　　 ．
7．各边均相等的空间四边形的对角线和的所成角为　　 ．
8．空间向量在上的投影向量的模为　　 ．
9．已知实数，满足条件，则的最大值 　　．
10．已知各项为正数的等比数列的前项和为，数列的前两项依次为1和，则　　 ．
11．两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，，，，，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为　　 ．
12．平面直角坐标系内，直线，和上分别取点，和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为　　 ．
二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．已知函数，定义域为．任取，导函数始终存在．那么是在上是严格增函数的条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
14．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过、、作该正方体的截面，则该截面的形状为（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
15．已知点、为平面中两定点，如图，经过点、的双曲线和的焦点分别为正三角形和正方形的顶点，其中、为边上的中点．设和的离心率分别为和，则正确的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
16．数列的各项为，，，，，其中．如果对任意整数，3，4，都有，那么中的各项一定（　　）
A．均为0 B．没有负数项
C．没有正数项 D．以上选项都不正确
三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17．等比数列的首项为1，公比为2，等差数列的首项为1，公差为2，设，的前项和为．
（1）求；
（2）求并判断的单调性，并证明无解．
18．抛物线，直线交于不同两点、．
（1）如果直线经过焦点，求的值；
（2）如果，判断直线是否一定经过焦点？请说明理由．
19．在正四棱台中，底面四边形边长为2，底面四边形边长为4，棱台高为．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线和平面所成角；
（3）求棱台的表面积．
20．（17分）设椭圆，其中．四个顶点分别为、、、，左、右焦点分别为、．
（1）若离心率，求椭圆的标准方程；
（2）若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值；
（3）若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，请问是否为定值？请说明理由．
21．（17分）如图所示，置于水平桌面的正四棱柱为内壁厚度忽略不计的有底且无盖容器，其高为，底面四边形是边长等于的正方形，容器内有液体，液面高度恰为2．由制作工艺的限制，满足．
（1）当时，求容器的容积和液体体积；
（2）在满足题意的条件下，求的取值范围，并请问当为何值时，容器的容积可达最大？
（3）当时，将该容器绕着逆时针旋转，设平面和水平面所成的锐二面角的大小为，若液体在旋转过程中总不溢出，求的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分）
1．半径为1的球的表面积是　　．
解：由题意，半径为1的球的表面积是．
故答案为．
2．抛物线的焦点到准线的距离为　　．
解：抛物线的焦点到准线的距离为，由标准方程可得，
故答案为：．
3．椭圆的右焦点坐标为　　．
解：由椭圆的方程可得，，
所以，所以，
故答案为：．
4．已知等差数列，，则　3　 ．
解：根据题意，等差数列，，
则．
故答案为：3．
5．函数的驻点　0　 ．
解：由题意可得，
令，解得，即．
故答案为：0．
6．圆柱两个底面中心分别为，0，和，0，，底面的圆周上有点，4，，该圆柱的体积为 ．
解：由题意可得：底面圆心为，0，，圆周上点，4，到圆心的距离为半径，即．
圆柱的高为两个底面中心坐标之差，即．
可得底面积为．
圆柱体积为．
故答案为：．
7．各边均相等的空间四边形的对角线和的所成角为 ．
解：如图，取中点，连接，，
因为空间四边形的各边均相等，即，，
所以，，
又因为，
所以平面，
又平面，所以，
所以对角线和的所成角为．
故答案为：．
8．空间向量在上的投影向量的模为 ．
解：空间向量在上的投影向量的模为：
．
故答案为：．
9．已知实数，满足条件，则的最大值 　　．
解：由题意作出如下图形：
令，则可看作圆上的动点到原点的连线的斜率而相切时的斜率，
由于此时直线与圆相切，
在直角三角形中，，则，
由图形的对称性知，．
综合可得，则的取值范围是，．
故答案为：．
10．已知各项为正数的等比数列的前项和为，数列的前两项依次为1和，则 ．
解：因为，则，
令，
由题知，解得，又，得，
则．
故答案为：．
11．两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，，，，，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为 ．
解：以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，，，，所以，0，，，0，，，0，，
设，，，，，，
所以，，，，，，
所以，
．
，
所以，．
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
12．平面直角坐标系内，直线，和上分别取点，和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为或 ．
解：平面直角坐标系内，直线，和上分别取点，和，且这三个点和原点可以围成一个正方形，
设，，，
则，，
由题意知，
即，
解得或，
当，时，，，
当时，，此时四边形为正方形，符合题意，
此时直线的斜率为；
当，时，，，
当时，，此时四边形为正方形，符合题意，
此时直线的斜率为．
综上所述，直线的斜率为或．
故答案为：或．
二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．已知函数，定义域为．任取，导函数始终存在．那么是在上是严格增函数的条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
解：若，则，满足，但不是严格增函数．
所以，推不出是严格增函数．
若是严格增函数，则恒成立．
所以是严格增函数，能推出恒成立．
所以是是严格增函数的必要不充分条件．
故选：．
14．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过、、作该正方体的截面，则该截面的形状为（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
解：如图：在正方体，，，分别为棱，，的中点，
延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点，
连接，交于，连接，交于，连接，，
则五边形即为过、、与该正方体的截面．
故选：．
15．已知点、为平面中两定点，如图，经过点、的双曲线和的焦点分别为正三角形和正方形的顶点，其中、为边上的中点．设和的离心率分别为和，则正确的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
解：设正三角形的边长为，则双曲线的焦距为，设半实轴长为，
点是边上的中点，
，，
，；
设正方形对角线长为，则双曲线的焦距为，设半实轴长为，
该正方形的边长为，
点是边上的中点，
，
，，
运用计算器，可得，，
．
故选：．
16．数列的各项为，，，，，其中．如果对任意整数，3，4，都有，那么中的各项一定（　　）
A．均为0 B．没有负数项
C．没有正数项 D．以上选项都不正确
解：根据题意，数列中，对任意整数，3，4，都有，
由于，令，有，即①，
令，有 ②，
令，有，即③
由①③可得，，又由②得，
所以，
则，，
则，，
则中的各项一定没有正数项．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17．等比数列的首项为1，公比为2，等差数列的首项为1，公差为2，设，的前项和为．
（1）求；
（2）求并判断的单调性，并证明无解．
解：（1）因为等比数列的首项为1，公比为2，
所以，
因为等差数列的首项为1，公差为2，
所以，
所以；
（2）证明：由（1），
所以
所以，
因为对任意正整数，，，
所以，即，，
所以为严格递增数列，
因为，，
所以，由数列严格递增可知，不存在正整数使得，
所以无解．
18．抛物线，直线交于不同两点、．
（1）如果直线经过焦点，求的值；
（2）如果，判断直线是否一定经过焦点？请说明理由．
解：（1）由抛物线，可得焦点，
又直线经过焦点，所以，所以，所以直线，
由，消去整理得，
设，，，，则，
又，显然，所以，
所以；
（2）直线不一定经过焦点，理由如下：
由，所以，整理得，
设，，，，则，
，
所以，所以，解得或，
当时，，直线过定点且为抛物线的焦点；
当时，，直线过定点；
所以直线是不一定经过焦点．
19．在正四棱台中，底面四边形边长为2，底面四边形边长为4，棱台高为．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线和平面所成角；
（3）求棱台的表面积．
【解答】（1）证明：如图，连接，，取，中点为，，连接，
由正棱台的结构特征，得平面，又平面，
则平面平面；
（2）解：由（1）过作直线平行于交于，因平面，
则平面，从而为与平面的夹角．
由题可得，又由题可得，
则．
则，又，
则；
（3）解：如图作，
由题可得为棱台侧面梯形的高，棱台侧面为全等的等腰梯形，
由（2）分析可得，则，
又，
则，
所以侧面积，，，
则棱台的表面积为：．
20．（17分）设椭圆，其中．四个顶点分别为、、、，左、右焦点分别为、．
（1）若离心率，求椭圆的标准方程；
（2）若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值；
（3）若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，请问是否为定值？请说明理由．
解：（1）因为椭圆的离心率，
所以，
又，
所以，
即，
又，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）因为，
所以，
此时椭圆的半焦距，
所以左焦点，又下顶点，
则线段的中点，
因为直线和圆相切，切点为，
所以，
所以，
又，
所以，
解得，
则；
（3）当时，
因为，
所以，
则椭圆的标准方程为，右焦点．
设过斜率不为零的直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
又，
所以．
则是为定值，定值为．
21．（17分）如图所示，置于水平桌面的正四棱柱为内壁厚度忽略不计的有底且无盖容器，其高为，底面四边形是边长等于的正方形，容器内有液体，液面高度恰为2．由制作工艺的限制，满足．
（1）当时，求容器的容积和液体体积；
（2）在满足题意的条件下，求的取值范围，并请问当为何值时，容器的容积可达最大？
（3）当时，将该容器绕着逆时针旋转，设平面和水平面所成的锐二面角的大小为，若液体在旋转过程中总不溢出，求的取值范围．
解：（1）当时，，
容器的容积，液体体积．
（2），，
由于液面的高度为2，故容器的高度，
即，，又．
．
此时容器的容积．
，
令，即，
解得或．
又，，即在，上单调递增．
．
（3）当时，由得，液体体积．
当液面与水平面平行时，此时有最大值．过作交于点，
设，
则，
液体的体积，
解得，
，，
，
，
故的取值范围是．

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