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2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共36分，每小题3分）
1．设全集，，，，，集合，，，集合，，则　　 ．
2．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形的弧长为　　 ．
3．不等式的解集为　　 ．
4．已知，化简：　　 ．
5．函数的定义域为 　　．
6．在声学中，声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：．若对应的声强为，对应的声强为，则　　 ．
7．已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为　　 ．
8．已知正数，满足，则的最小值为 　　．
9．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是　　 ．
10．已知角终边上一点，则 　　 ．
11．已知设，，则函数的值域为 　　．
12．设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是 　　．
二、单选题（本大题共12分，每小题3分）
13．命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（　　）
A． B． C． D．不能确定
15．用反证法证明命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是（　　）
A．，都能被5整除 B．，有1个不能被5整除
C．不能被5整除 D．，都不能被5整除
16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题：①集合，是单元素集：②对于任意成立，则以下说法正确的是（　　）
A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题
三、解答题
17．设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，．
（1）若、均为正根，求实数的取值范围；
（2）若、满足：，求实数的值．
19．某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③；
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
20．已知函数是奇函数，且．
（1）求和的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式．
21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）求证：函数是“依赖函数”，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质；
（3）当，时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值．
参考答案
一、填空题（本大题共36分，每小题3分）
1．设全集，，，，，集合，，，集合，，则 ．
解：由，，，，可得，，，，
因此．
故答案为：．
2．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形的弧长为　2　 ．
解：设该扇形的弧长为，
，，
则，解得．
故答案为：2．
3．不等式的解集为　　 ．
解：不等式可化为，
解得，
故不等式的解集为．
故答案为：．
4．已知，化简： ．
解：，．
故答案为：．
5．函数的定义域为 　，，　．
解：由题意可得且，
故函数的定义域为，，．
故答案为：，，．
6．在声学中，声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：．若对应的声强为，对应的声强为，则 ．
解：由题可得：，
故，
当时，，，
当时，，，
．
故答案为：．
7．已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ．
解：时，不等式为，对一切实数都成立；
时，应满足，
解得，
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
8．已知正数，满足，则的最小值为 　　．
解：因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，取得最小值．
故答案为：．
9．若函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是， ．
解：函数为减函数，
若函数的图象不经过第一象限，
则满足，即；
故答案为：，
10．已知角终边上一点，则 　　 ．
解：由角终边上一点，
可得，，，
．
故答案为：．
11．已知设，，则函数的值域为 　，　．
解：令，解得，则的图象如下：
，根据图象得：函数的值域为，．
故答案为：，．
12．设，若有三个不同的零点，则实数的取值范围是 　，　．
解：由题设与有三个交点，
而在，、上递增，在上递减，
且在，上值域为，，在上值域为，，
由的解析式可得其函数图象大致如下：
由图知时，与有三个交点．
故答案为：，．
二、单选题（本大题共12分，每小题3分）
13．命题是第二象限角，命题是钝角，则是的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解：为第二象限角，但不是钝角，但钝角一定为第二象限角，
所以是的必要非充分条件．
故选：．
14．设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（　　）
A． B． C． D．不能确定
解：因为函数为增函数且在区间内连续，又，（2），
所以方程的近似解在区间，．
故选：．
15．用反证法证明命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是（　　）
A．，都能被5整除 B．，有1个不能被5整除
C．不能被5整除 D．，都不能被5整除
解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“，，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除”的否定是“，都不能被5整除”．
故选：．
16．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，．现有关于“取整函数”的两个命题：①集合，是单元素集：②对于任意成立，则以下说法正确的是（　　）
A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题
解：对于①，因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，
所以当时，，
所以方程可化为，所以；
因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，
所以当时，，方程化为，所以；
因为因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，
所以当时，，方程化为，该方程无解，
所以，①是假命题；
对于②，因为表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，
令，则，，
所以当时，，，
则，；
当时，，，
则，，
因此对任意，，②是真命题．
故选：．
三、解答题
17．设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解：（1）当时，集合，
而，所以．
（2）根据集合，解不等式可得，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集．
结合，可得（等号不同时取得），
解得，即满足条件的实数的取值范围是，．
18．已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，．
（1）若、均为正根，求实数的取值范围；
（2）若、满足：，求实数的值．
解：（1）关于的一元二次方程的两个实根分别为，，
若、均为正根，则有．
求得，即实数的取值范围为，．
（2）若、满足：，即．
求得（舍去，不满足△或．
故实数的值为．
19．某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③；
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
解：（1）因为模型①中函数为直线，所以①不满足题意；
对于模型②中为指数型爆炸增长的函数，所以②不满足题意；
对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③；
（2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，，
则，解得，，
所以函数模型为，，
令，可得，
所以，所以，
所以至少应完成销售利润234万元．
20．已知函数是奇函数，且．
（1）求和的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式．
解：（1）因为函数是奇函数，
所以，解得，
经检验，适合题意，又（1），所以；
（2）由（1）可知，，
在上单调递增．
证明：任取，，且，则
，
因为，且在上单调递增，所以，即，
又，故，即，
因此在上单调递增．
（3）解不等式，
因为是奇函数，所以，
又在上单调递增，故：，
即，所以，
进而有，解得，
因此不等式的解集为．
21．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）求证：函数是“依赖函数”，并直接写出“依赖函数”的两个基本性质；
（3）当，时，函数是“依赖函数”，求正实数的最大值及相应的的值．
解：（1）函数不是为“依赖函数”，
当时，，不存在使成立，
故函数不是“依赖函数”；
（2）证明：，对于任意，取，
则，
故函数为“依赖函数”性质：①函数是单调函数；②函数的值域不包含0；
（3），
根据双勾函数知：函数在单调递减，在上单调递增，
，，根据（2）知：依赖函数是单调函数，故，，
故的最大值为，当时：，故，
解得或（舍去）．

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