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2025-2026学年上海市第三女子中学高一（上）期末数学试卷
一．填空题
1．（4分）已知集合，，且，则　　 ．
2．（4分）设全集，集合，则　　．
3．（4分）函数的定义域是 　　 ．
4．（4分）将化简为有理数指数幂的形式 　　．
5．（4分）已知数列是等差数列，且，公差，则　　 ．
6．（4分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　 ．
7．（5分）已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是　　 ．
8．（5分）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是　　 ．
9．（5分）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是　　 ．
10．（5分）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买　　 吨．
11．（5分）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形、2、3、面积的和是　　 ．
12．（5分）已知，若在，上恒成立，则实数的取值范围是　　 ．
二．选择题
13．（5分）已知、是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．（5分）下列说法中，正确的是（　　）
A．“或”的否定形式是“或”
B．“”的否定形式是“或”
C．“△是锐角三角形”的否定形式是“△中存在一个内角大于”
D．“任意，”的否定形式是“存在，使得”
15．（6分）若实数，实数，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
16．（6分）已知非空数集满足：若任意、，则，，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
三．解答题
17．（12分）已知集合，集合，求集合．
18．（14分）已知，其中为实数．
（1）若（2），求的值；
（2）若时，有，求的取值范围．
19．（14分）已知数列是等比数列，其中．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若数列满足，求证：数列是等差数列．
20．（17分）已知奇函数的表达式为，其中常数且．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若，求实数的取值范围．
21．（17分）已知函数为偶函数，为奇函数，且．
（1）写出函数的单调区间（不要求证明）；
（2）求出函数，的表达式；
（3）若函数恰有4个零点，求实数的取值范围．
参考答案
一．填空题
1．（4分）已知集合，，且，则　1　 ．
解：因为集合，，且，
所以．
故答案为：1．
2．（4分）设全集，集合，则　　．
解：，集合，
则．
故答案为：．
3．（4分）函数的定义域是 ．
解：由题意知，函数的定义域为．
故答案为：．
4．（4分）将化简为有理数指数幂的形式 　　．
解：．
故答案为：．
5．（4分）已知数列是等差数列，且，公差，则　7　 ．
解：因为数列是等差数列，且，公差，
所以．
故答案为：7．
6．（4分）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ．
解：因为的解集为，即恒成立，
所以△，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
7．（5分）已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
解：，，若是的必要条件，
因为是的必要条件，所以，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
8．（5分）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ．
解：因为不等式的解集是，
所以有，
所以，或．
故答案为：．
9．（5分）已知，幂函数的图象关于轴对称，且与轴和轴无交点，则的值是　0或2　 ．
解：因为幂函数的图象关于轴对称，
设，
则，
所以有为偶数，
幂函数的图象与轴和轴无交点，
所以，
因为，
当时，为偶数，
当时，不是偶数，
当时，为偶数，
综上，的值是0或2．
故答案为：0或2．
10．（5分）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买　20　 吨．
解：由一年共购买200吨，每次购买吨，则一年共购买次，则一年运费共万元，
一年的总费用，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：20．
11．（5分）如图，已知三角形的面积为1，取线段的中点和线段的中点，得到三角形，再取线段的中点和线段的中点，得到三角形，这样的过程可以无限继续下去，则所有三角形、2、3、面积的和是 ．
解：由题可得三角形的面积为，
三角形的面积为，
三角形、2、3、面积构成的数列为：
，，，，
所以该数列是以为首项，为公比的无穷等比数列，
所以所有三角形、2、3、面积的和是．
故答案为：．
12．（5分）已知，若在，上恒成立，则实数的取值范围是 ．
解：因为，，
所以由，
设，
因为函数在，时单调递增，且，
所以函数在，时单调递减，
函数在，时单调递增，且，
所以函数在，时单调递减，
因此函数时单调递减，
所以，
所以在，上恒成立，只需，
因此实数的取值范围是．
故答案为：．
二．选择题
13．（5分）已知、是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解：是奇数，都是奇数，所以能推出，充分性成立，
但推不出，必要性不成立，
所以是的充分非必要条件．
故选：．
14．（5分）下列说法中，正确的是（　　）
A．“或”的否定形式是“或”
B．“”的否定形式是“或”
C．“△是锐角三角形”的否定形式是“△中存在一个内角大于”
D．“任意，”的否定形式是“存在，使得”
解：：因为“或”的否定形式是“且”，不正确；
：因为“”的否定形式是“或”，不正确；
：因为“△是锐角三角形”的否定形式是“△中存在一个内角不小于”，所不正确；
：因为“任意，”的否定形式是“存在，使得”，正确．
故选：．
15．（6分）若实数，实数，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数是以为变量，为常量的幂函数，
由于，易得在上单调递增，
因，，可以得到，故正确；
对于，函数，是以为变量，为常量的指数函数，
由于，则单调递增，
因，可以得到，故不正确；
对于，，，
由于，则，
，则，则有，即，故不正确；
对于，由，
因为实数，而实数，
所以，，则，即，故不正确．
故选：．
16．（6分）已知非空数集满足：若任意、，则，，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：对于①，是有限集，，，
为无限集，与是有限集矛盾，
，故①正确；
对于②，，例如取，2，3，4，5，，不成立，故②错误；
对于③，若，，例如取，，，，，，0，1，2，3，4，5，，
不成立，故③错误；
对于④，设，
当，，，，，时，
，
当时，，
当时，，
，
当时，，
当时，，
符合题中定义，故④正确．
故选：．
三．解答题
17．（12分）已知集合，集合，求集合．
解：由，或，解得或，
即或．
由，
即，
所以或．
18．（14分）已知，其中为实数．
（1）若（2），求的值；
（2）若时，有，求的取值范围．
解：，其中为实数．
（1）由题意得（2），得到，
则，解得．
（2）由题可得：函数是正实数集上的减函数，
则，解得或，
故的取值范围为．
19．（14分）已知数列是等比数列，其中．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若数列满足，求证：数列是等差数列．
解：（1）设数列的公比为，
因为，
所以，解得，
所以，
；
（2）证明：由（1）可知，
所以，
所以，
所以数列是等差数列．
20．（17分）已知奇函数的表达式为，其中常数且．
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若，求实数的取值范围．
解：（1）因为是奇函数，
所以
，
所以；
（2）函数是上的增函数，证明如下：
因为，
设，是任意两个实数，且，所以，，
，
，即，
所以函数是上的增函数；
（3）由上可知，函数为奇函数，
则，
又为上的增函数，
则有，解得，
所以实数的取值范围为．
21．（17分）已知函数为偶函数，为奇函数，且．
（1）写出函数的单调区间（不要求证明）；
（2）求出函数，的表达式；
（3）若函数恰有4个零点，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
显然此时函数单调递增，
当时，，
显然此时函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）因为函数为偶函数，为奇函数，
所以由，
可得，
即，
联立，
解得，；
（3），
由，
得，
解得，
所以令，
得，
令，
问题函数恰有4个零点，转化为直线与函数的图象有4个不同的交点，
因为，
所以函数是偶函数，因此该函数的图象关于轴对称，
所以当时，直线与函数的图象有2个不同的交点，
当时，，
由对勾函数的性质可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
当时，
，
此时函数单调递增，
因此函数的图象，如下图所示：
所以由数形结合思想可知：，
因此实数的取值范围．

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