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2025-2026学年上海市奉贤区高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分.）
1．已知集合，，则　　．
2．已知方程的两根为、，则　　 ．
3．函数的定义域是 　　 ．
4．已知实数，，则函数的图像恒经过定点的坐标为　　 ．
5．已知两实数、满足，则的最小值为　　 ．
6．已知，，则　　 ．
7．定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，则实数　　 ．
8．不等式的解为　　 ．
9．如图，扇环的两条弧和的长分别为，，的长度为，则扇环的面积为　　．
10．某小区要建造一个直径为的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点的地方达到最高高度，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如图．过水池的中心任取一个竖直截面，如图2所示．根据力学的原理，喷出的水珠轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离　　 ．
11．如图，，射线上有一个点，连，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则　　 ．
12．已知函数，其中其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为　　 ．
二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
13．已知，，则“”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．下面图象中，不能表示函数的是（　　）
A． B．
C． D．
15．设是不等于1的正数，，是任意给定的正数，是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
16．已知函数，其中，对于下列两个命题：
①若关于的方程有解，则；
②若，则恒成立．
则下列结论正确的是（　　）
A．①真命题②假命题 B．①真命题②真命题
C．①假命题②真命题 D．①假命题②假命题
三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已设全集为，集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
18．已知是角终边上一点，且．
（1）求实数的值；
（2）若，求．
19．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第8天的打卡人数为9万人．
（1）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元与第天近似地满足下表：
（天 10 14 18 22 26 30
（元 131 135 139 143 139 135
现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元与第天的关系，并求出该函数的解析式；
（2）确定的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入，为正整数）的最小值（单位：万元）．
（注：日营业收入日打卡人数人均消费．
20．（18分）已知定义在上的函数的表达式为．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若是上的奇函数，求的值；
（3）若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数．
21．（18分）设函数，其中．
（1）求函数的定义域与值域；
（2）若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判别函数是否具有对称性，请说明理由；
（3）若函数在上有零点，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分.）
1．已知集合，，则　　．
解：集合，，
，
故答案为：．
2．已知方程的两根为、，则　6　 ．
解：由题意可得，，，
则．
故答案为：6．
3．函数的定义域是，， ．
解：由题意得，解得或，
故答案为：，，．
4．已知实数，，则函数的图像恒经过定点的坐标为 ．
解：因为，
所以函数的图像恒经过定点的坐标为．
故答案为：．
5．已知两实数、满足，则的最小值为　2　 ．
解：因为实数、满足，则，当且仅当时取等号．
故答案为：2．
6．已知，，则 ．
解：因为，，则，
．
故答案为：．
7．定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，则实数　0　 ．
解：因为定义域为的函数，其中，对任意的实数始终满足，
则函数为偶函数，
故，即对任意实数恒成立，
故实数．
故答案为：0．
8．不等式的解为， ．
解：设，
因为是增函数，在定义域上也是增函数，
所以在上单调递增；
（1），
；
因为单调递增，
所以（1），
所以；
又因为的定义域为，
所以所求解集为，．
故答案为：，．
9．如图，扇环的两条弧和的长分别为，，的长度为，则扇环的面积为　192　 ．
解：因为弧和的长分别为，，，
所以扇环的面积．
故答案为：192．
10．某小区要建造一个直径为的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点的地方达到最高高度，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如图．过水池的中心任取一个竖直截面，如图2所示．根据力学的原理，喷出的水珠轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离 ．
解：由题意，可设第一象限内水柱轨迹的函数关系式为，
由，，可得，
于是所求函数解析式是，
当时，，所以．
故答案为：．
11．如图，，射线上有一个点，连，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则 ．
解：因为，，所以，
则，
又因为在△中，，
所以，
又因为，所以．
故答案为：．
12．已知函数，其中其中表示不超过的最大整数，设为正整数，若关于的方程所有根的乘积大于零，则的个数为　4　 ．
解：设，
分段分析函数的值域：
①当时，，值域为，；
②当时，，值域为；
③当时，，值域为，；
方程的解：
①第一段解：；
②第三段解：；
③第二段无解（因，
由题，
即，
解不等式，解得，2，3，4满足条件．
故答案为：4．
二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题4分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
13．已知，，则“”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解：，
故“”是“”的充要条件．
故选：．
14．下面图象中，不能表示函数的是（　　）
A． B．
C． D．
解：对于的图象，存在一个对应两个，不符合函数的定义．
故选：．
15．设是不等于1的正数，，是任意给定的正数，是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
解：因为是不等于1的正数，，是任意给定的正数，是任意给定的实数，
对于，，故正确；
对于，，故正确；
对于，，故正确；
对于，例如，
则，，
此时，故错误．
故选：．
16．已知函数，其中，对于下列两个命题：
①若关于的方程有解，则；
②若，则恒成立．
则下列结论正确的是（　　）
A．①真命题②假命题 B．①真命题②真命题
C．①假命题②真命题 D．①假命题②假命题
解：对于①，关于的方程有解，即，
可得，首先可得，，
由，
当时，成立；若，则，的范围无法确定，故①正确；
对于②，若，，
而，即，，
因为不能确定为还是，不一定满足，
可得不恒成立，故②错误．
故选：．
三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已设全集为，集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）．
（2）当时，满足，此时无解，所以；
当时，，，
因为，
所以，解得，
综上，，
故实数的取值范围为，．
18．已知是角终边上一点，且．
（1）求实数的值；
（2）若，求．
解：（1）因为点是角终边上一点，且，
所以，解得；
（2）由（1）得，，
．
19．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），为正常数，且第8天的打卡人数为9万人．
（1）经调查，打卡市民（含观光）的人均消费（元与第天近似地满足下表：
（天 10 14 18 22 26 30
（元 131 135 139 143 139 135
现给出以下三种函数模型：①，②，③．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费（元与第天的关系，并求出该函数的解析式；
（2）确定的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入，为正整数）的最小值（单位：万元）．
（注：日营业收入日打卡人数人均消费．
解：（1）由表中数据可得，函数图象关于对称，
故函数模型②满足要求，
代入点，，
则，解得，，
；
（2）由第8天的打卡人数为9万人，
则，解得．
，
当且为正整数时，，
在且为正整数时为严格减函数，
，
当且为正整数时，，
，且等号当且仅当时成立，
综上所述，该商场在第30天时日营业收入最小，为1116万元．
20．（18分）已知定义在上的函数的表达式为．
（1）若，解关于的不等式；
（2）若是上的奇函数，求的值；
（3）若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数．
解：（1）若，则，
因为恒成立，则，
即，
解得或，
故不等式的解集为或；
（2）若是上的奇函数，则，即，
此时，经检验为奇函数，符合题意，
故；
（3）证明：，，
任取，则，，，，
因为
，
则
，
所以，
所以在上是严格减函数．
21．（18分）设函数，其中．
（1）求函数的定义域与值域；
（2）若存在一个点，满足，则称函数关于点对称；若存在一条直线，满足，则称函数关于直线对称．判别函数是否具有对称性，请说明理由；
（3）若函数在上有零点，求实数的取值范围．
解：（1）因为，所以，那，即函数的值域为，
所以函数的定义域为，值域为．
（2）具有，理由如下，
已知，
则，
所以函数关于点对称．
（3）已知，则，
所以，
令，当时，，
则函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解．
由，可得，
令，则，且由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增．
当时，；当时，，所以，即实数的取值范围是．

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