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2025-2026学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）．
1．若幂函数过点，则　　 ．
2．已知，则可用表示为　　 ．
3．若，则实数　　 ．
4．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径为10，则扇形的面积为　　 ．
5．不等式的解集为　　 ．
6．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则　　 ．
7．设，则其反函数必过定点的坐标为　　 ．
8．方程的解集为　　 ．
9．设，是关于的方程的解，则　　 ．
10．某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系是：，，其中，是正实数．如果该房间的最大温差为12摄氏度，则的最大值为　　 ．（结果保留两位小数）
11．已知函数．设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是　　 ．
12．设函数的定义域为，．若对任意，的值为数字在，（1），，中出现的次数，则　　 ．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．“”是“”成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．下列命题中的假命题是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，且，则
15．设函数，若，是同一象限的角，且不存在，，使得，则，所在的象限为第象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
16．已知，给出以下两个命题，则（　　）
①对任意，，都有；②存在，，使得．
A．①②均为真命题 B．①②均为假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．如图所示，，是单位圆上的动点，且点在第一象限．是圆与轴正半轴的交点，△为正三角形．记劣弧所对的圆心角．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，求．
18．设集合为函数的定义域，集合为函数的值域，集合为不等式的解集．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
19．已知函数．
（1）求证：时，是上的严格减函数；
（2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
20．（17分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，，，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值；
（3）已知，、，，，若，，求、之间的曼哈顿距离．
21．（17分）设函数的定义域为，．定义集合，．
（1）设，，求；
（2）若，，，，且对任意，都有，求的最小值；
（3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．
1．若幂函数过点，则 ．
解：幂函数过点，
，
，
解得．
故答案为：．
2．已知，则可用表示为 ．
解：因为，
所以．
故答案为：．
3．若，则实数 ．
解：因为，又，
所以．
故答案为：．
4．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径为10，则扇形的面积为 ．
解：由题可得：扇形的面积为．
故答案为：．
5．不等式的解集为 ．
解：由，得，所以，
所以，解得或．
故答案为：．
6．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则 ．
解：由题可得：（2），
故（2）．
故答案为：．
7．设，则其反函数必过定点的坐标为 ．
解：因为，故过定点，
根据反函数的性质可得，的反函数必过定点．
故答案为：．
8．方程的解集为， ．
解：令，则方程变为，
当时，，解得，舍去；
当时，，即该式恒成立，
所以，由指数函数的单调性可知；
当时，，解得，舍去，
综上，方程的解集为，．
故答案为：，．
9．设，是关于的方程的解，则 ．
解：由，是关于的方程的解，
可知，，解得，
且，
则，解得，符合题意，
则．
故答案为：．
10．某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系是：，，其中，是正实数．如果该房间的最大温差为12摄氏度，则的最大值为　8.49　 ．（结果保留两位小数）
解：根据题意可得
，其中，
因为，所以，
所以的最小值为，最大值为1．
所以的最小值为，最大值为，
所以该房间的最大温差为，
所以．
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，是正实数，
所以，
即最大值为．
故答案为：8.49．
11．已知函数．设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ．
解：令，
当时，，
当，即时，
因为，均为单调递减函数，
所以函数在区间上单调递减，
此时，满足题意；
当，即时，，
因为，（1），结合反比例函数性质可知，
此时函数图象经过第一、第四象限，满足题意；
当，即时，
，
由对勾函数性质可知，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
要使函数图象经过第一、第四象限，
则，
即，
解得，
所以此时；
综上，当时，；
当时，，
当时，因为函数在区间，上单调递减，
函数在区间单调递减，
因为，要使函数图象经过第三象限，
则当时，，即，解得，此时无解；
当时，函数在区间，上为常数函数，函数在区间单调递减，
此时且在区间上恒成立，不符合题意；
当时，函数在区间，上单调递增，
函数在区间单调递减，
使函数图象经过第二，第三象限，
则，解得，
此时；
当时，函数在区间，上单调递增，
图象经过第二，第三象限，符合题意；
当时，函数在区间，上单调递增，
函数在区间单调递增，
因为，，
所以函数图象经过第二，第三象限，符合题意；
综上，当时，，
所以函数的图象经过四个象限，
则实数的取值范围是．
故答案为：．
12．设函数的定义域为，．若对任意，的值为数字在，（1），，中出现的次数，则　2023　 ．
解：由题意，对任意，的值为数字在，（1），，中出现的次数，
所以，，且，
因为数字在，（1），，中出现次，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以．
设，且，定义：为集合中元素的个数．
可知 ，
因为，，所以对任意，有．
因为数字0在，（1），，中出现次，
所以数字至少出现一次，所以可得．
①若，代入可得，
因为各项均为非负整数，
所以只能存在唯一的，使得，其余都为0，
所以，所以（2），
所以，
由总和条件，解得（1），
此时，，即数字0共出现1次，
因为，（1），（2），且当，，1，时，，
所以数字0出现次，
所以，这与矛盾，所以；
②若，此时且，记集合，
由 式可得，，
若，因为，，，
所以，，
因为，所以有．
所以由式可得，
若，则，
解得，这与矛盾，所以．
由式可得，，则．
若，则，产生矛盾；
因此，即有且仅有一个元素，记该元素为，
由可知，
由得，所以（2），
因此，，且（2），
代入总和条件得（1）（2）（1），
则（1），可知（1），
则数字1应出现（1）次，
由（2），可知1出现次数（1）．
若（1），且，则存在且，1，2，，使得，
则数字应出现1次，但，1，2，，
所以存在且，1，2，，满足，
由于，有，
因为，，所以只能为2或，
这与，矛盾，因此（1），
代入式子（1）得，，解得，
所以（1），（2），，其余，1，2，．
验证：由，1，2，，，
可知数字0出现共次，即；
数字1出现2次，（1）；数字2出现1次，（2）；
数字2023出现1次，；
其他数字，1，2，均出现0次，故，所有条件满足．
综上所述，．
若，则，且，其余，，1，，
由于，若，则，矛盾；
若，则由，解得，
由非负整数，则整除，
则，从而，
由总和条件（1）（1），解得（1）．
验证：由当，1，，，
即数字0出现次，这与矛盾．
故答案为：2023．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．“”是“”成立的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解：因为，
所以“”是“”成立的充分非必要条件．
故选：．
14．下列命题中的假命题是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，且，则
解：若，，，所以，为真命题；
若，，则，所以，为真命题；
若，因为，得，为真命题；
若，满足，当时，，为假命题．
故选：．
15．设函数，若，是同一象限的角，且不存在，，使得，则，所在的象限为第象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
解：因为
，
因为，是同一象限的角，且不存在，，使得，
所以，在该象限内使得，同号或，
因为，根据函数的周期性可知，只需考虑位于中的象限角，
解，得；
，得；
若，则，可得，
故当时，可得；
当时，可得，故不正确；
当时，可得，可得，
当时，可得；
当时，可得，故不正确；
当时，可得，可得，此时；
当时，可得，可得，此时；故不正确；
当时，可得，可得，此时，故正确．
故选：．
16．已知，给出以下两个命题，则（　　）
①对任意，，都有；②存在，，使得．
A．①②均为真命题 B．①②均为假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
解：对于命题①：如图，在单位圆中，令，由正弦函数的定义得：，
根据弧长公式可得：弧长为，
当时，由图可得弧长大于线段长，即，
再由正弦函数曲线，如图可知：当时，正弦曲线在线段的上方，
因为直线的方程为，所以当时，有，
因为，所以，
当，时，，
由正弦函数单调性可知：，
又因为，所以，即满足，
当，时，，
同理由正弦函数单调性可知：，
又因为，所以，即满足，
当，时，，
所以有，即满足，
综上，命题①是真命题；
对于命题②：当时，因为，
所以，所以，
所以，
因为，
则构造函数，
因为，，
所以由零点存在性定理，得在区间上有零点，
即存在，使得成立，
所以存在，，使得，故命题②是真命题．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．如图所示，，是单位圆上的动点，且点在第一象限．是圆与轴正半轴的交点，△为正三角形．记劣弧所对的圆心角．
（1）若点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，求．
解：（1）由劣弧所对的圆心角．且，得；
所以，
．
所以．
（2）若，
则，所以，
因为点在第一象限，，所以，
所以．
18．设集合为函数的定义域，集合为函数的值域，集合为不等式的解集．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），
解得．
，
，，；
所以，，；
（2），，，，
若，则不等式的解集只能是，，，故定有得解得
若，则不等式的解集，，但，故．
的范围为．
19．已知函数．
（1）求证：时，是上的严格减函数；
（2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
解：（1）证明：当时，，
设，，且，则，，
所以，
即，
所以是上的严格减函数；
（2）由，
所以对任意的，都有，，
当时，，由于定义域，所以的值域为，，，
因为，，，，
所以对任意，存在，使得，故
当时，，由于在，上单调递增，
可得的值域也为，因为，，
所以对任意，存在，使得，故
当时，是奇函数，只需要研究，
则当时，有，当时取等号，
结合奇函数可得，的值域为，
由于对任意，存在，使得，
所以，
则，又因为，所以，
综上可得：实数的取值范围是，．
20．（17分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，，，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值；
（3）已知，、，，，若，，求、之间的曼哈顿距离．
解：（1），
，则余弦距离等于；
（2）①；
②，
则①②得，①②得，则．
（3），，
．
，．
，
．
，则，
．
，
，．
，
，
．
，
、之间的曼哈顿距离是．
21．（17分）设函数的定义域为，．定义集合，．
（1）设，，求；
（2）若，，，，且对任意，都有，求的最小值；
（3）设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”．
解：（1）由题意知，，则，
又，即，
得，解得，
故；
（2）由题意知，，，，，且对任意，都有，
对任意和任意，令，则，
即任意，，，都有，
故函数在上单调（非严格）递增，
①当时，则，，
函数，，，令，则，
则，由在，上单调递增；
则由函数与复合而成，
故由复合函数单调性可知，在，上单调递增，
又，对任意，，则，所以恒成立，
故，；
②当时，，，，
函数，，，
当，，令，则，
则，由在，上单调递减；
则由函数与复合而成，
故由复合函数单调性可知，在，上单调递减，
又，取，则存在正数，使得，
则成立，故，这与任意，都有矛盾，
故时不满足题意；
综合①②可知，的最小值为0．
（3）证明：必要性证明：
若，是偶函数，
则任意，．
则，
故必要性得证；
充分性证明：
若对任意实数，都有，下面用反证法证明是偶函数．
假设不是偶函数，则，使得，
取，
①若，则，
由且，
得，且，
所以，这与矛盾；
②若，则，
则由且，
得，且，
而与同时成立是矛盾的；
故由①②可知，假设错误，即是偶函数，
故充分性得证．
综上所述，“函数，是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有”．

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