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北京市十一学校2026届初三年级6月数学学习诊断（三模)
试卷满分：100分
考试时间：120分钟
一、选择题
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：C
解析：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C、长方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意】
故选C
2.电影《给阿嬷的情书》于2026年4月30日上映，讲述潮汕阿嬷与华侨之间的书信故事.截至2026年5月下旬，累计
票房约13.5亿.将13.5亿用科学记数法表示为
(A)1.35×108
(B)1.35×1010
(C)13.5×108
(D)1.35×109
答案：D
解析：13.5亿=1350000000=1.35×109、.故选D
3.如图，点A,O,B在同一条直线上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线.若∠AOE=162°，则∠BOD
的大小为
0
B
(A)144°
(B)118
(C)108°
(D)110
答案：C
解析：：∠AOE=162°，.∠B0E=∠AOB-∠AOE=18°.
:OD平分LAOC,OE平分∠B0C,LD0E=号∠AOC+号∠B0C=90°
,∴.∠BOD=∠DOE+∠BOE=90°+18°=108°.故选C.
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4.已知a+b<0,则下列不等式可能成立的是
(A)-b<-a(B)a<-b(C)a<-b<-a(D)-b答案：B
解析：a+b<0,∴a<-b,b<-a.
A、其中含-a-b,排除；
B、取a=-3,b=1,则a+b=-2<0,此时a<-bC、其中含-a-b,排除；
D、其中含-b-b,排除.
故选B.
5.若关于x的-元二次方程x2一4红一c=0有两个不等的实数根，则实数c的值可以为
(A)-16
(B)-8
(C)-6
(D)-2
答案：D
解析：：关于x的一元二次方程x2-4x一c=0有两个不等的实数根，.△=(-4)-4×1×(-c)>0,解得c>-4.
观察四个选项，只有一2>一4，故选D.
6.小西和爸爸计划乘动车外出旅游、在网上购票时，爸爸选定的车厢只剩一排有余座（如图）.若此时C座已售出，其余
座位由系统随机分配，则小西和爸爸相邻而坐的概率是
动车二等座某排座位
窗
A
道
回@
户
(A)3
(B)
( )吉
(D)景
答案：A
解析：已知C座已售出，剩余的空座位有A、B、D、F共4个，从中随机分配2个座位.
所有的可能结果有：A和B、A和D、A和F、B和D、B和F、D和F,共6种情况，且每种情况出现的可能性相
等.其中，两人相邻而坐的结果有A和B、D和F,共2种情况.小西和爸爸相邻而坐的概率是着=专·故选A.
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧、分别交AC,AB于点M,N;
②分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点O;
③连接AO,交BC于点E,
若CE=3,BE=5,则AC的长为
B
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
答案：G
解析：由作图步骤可知，AE是∠BAC的平分线.作ED⊥AB于点D,则ED=CE=3,
在Rt△BDE中，BE=5,ED=3,BD=4,tamB=是，
在Rt△ACB中，：amB=品，AC=6.故选C.
第2页·北京市十一学校 2026 届初三年级 6月数学学习诊断
试卷满分：100分 时间：120分钟
一、选择题（共 16分，每小题 2分，第 1—8题均有 4个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
2. 电影《给阿嬷的情书》于 2026年 4月 30日上映，讲述潮汕阿嬷与华侨之间的书信故事，截至 2026
年 5月下旬，累计票房约 13.5亿，请将 13.5亿表示为科学计数法
A. B. C. D.
3. 如图，点 、 、 在同一条直线上， 是 的平分线， 是 的平分线，若
，则 的大小为
A. B.
C. D.
4. 已知 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
5. 若关于 的一元二次方程 有两个不等的实数根，则实数 的值可以为
A. B. C. D.
6. 小西和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，爸爸选定的车厢
只剩一排有余座（如图），若此时 座已售出，其余座位由系统随机分配，
则小西和爸爸相邻而坐的概率是
A. B. C. D.
7. 如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，
以小于 的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ，
为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相较于点 ；③连接 ，交
于点 . 若 ， ，则 的长为
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系 中， 是函数 图像上的动点，点 在 轴上， ，
数学试卷 第 1 页 共 8 页
以 ， 为边的平行四边形 的边 交该函数的图像于点 ，连接 ， .
给出下面四个结论：
①四边形 可能是菱形；
② 的面积始终等于 ；
③点 可能是 的中点；
④ 可能是直角三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是
A.①②③ B.①②④ C.①② D.①③
二、填空题（共 16分，每小题 2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 .
10. 因式分解： .
11. 方程 的解为 .
12. 某公司新研发了一个英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了部分样本进行调查，统
计数据如下：
调查人数
回复满意的人数
回复满意的频率
根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为 （结果精确到 ）.
13. 能说明命题“若 ，则 ”是假命题的一组实数 ， 的值为 ， .
14. 如图，将量角器和含 角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的 刻度线与量
角器的 刻度线在同一直线上，直径 是直角边 的两倍，过点 作量角器圆弧所在圆的切线，切点为
，则 的度数是 .
第 14题图 第 16题图
15. 如图，正方形 中， ，点 为 中点，点 在 延长线上，且 ，连接 并
数学试卷 第 2 页 共 8 页
延长，交 于点 ，则 .
16. 现在有三个仓库 、 、 ，分别存有7 吨、 吨、 吨某原材料，要将这种原材料运往三个加
工厂 、 、 ，每个加工厂都需要 吨原材料，从每个仓库运送1吨原材料到每个加工厂的成本如表所
示（单位：元/吨）：
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的原料，
（1）如果从 运 吨到 、运1吨到 ，从 运7 吨到 ，那么从 需要运 吨到 ；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元.
三、解答题（共 68分，17～19题每题 5分，20题 6分，21～22题每题 5分，23～24题每题 6分，25
题 5分，26题 6分，27～28题每题 7分）
17. 计算： .
18. 解不等式组：
19. 已知： ，求代数式 的值.
20. 如图，在四边形 中， 是 的中点， ， 交于点 ， ， .
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的长.
数学试卷 第 3 页 共 8 页
21. 在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交于点 .
（1）求 ， 的值；
（2）过点 作 轴的垂线，分别交函数 与 的图象于点 ， .
①当 时，求 的面积；
②当 的面积大于 时，直接写出 的取值范围.
22. 为推动能源转型，某市要求新建光伏站的两种核心组件（ 型、 型光伏板）的综合发电效率需满
足以下标准： 型光伏板效率不低于 ， 型光伏板效率不低于 ，两种光伏板效率之和不低于 . 某
电站原 、 型光伏板效率之和为 . 通过技术优化， 型效率提升 ， 型效率提升 ，优化后
效率之和达到 . 问：优化后该电站是否符合光伏板效率标准？请说明理由。
23. 某测评机构为了了解 与 两款热门降噪耳机的用户体验，随机抽取了 名耳机测评体验官，分别
对 与 两款耳机的“降噪效果”和“佩戴舒适度”两项指标的评分（满分均为 分）进行整理、描述并分
析如下：
a．降噪效果得分统计：
款耳机得分最低为 分，最高为 分，其频数分布图为：
款耳机的得分为：6 8 8 9 9 9 9 10 7 7
数学试卷 第 4 页 共 8 页
8 9 9 9 8 10 10 9 8 8
b．佩戴舒适度得分对比情况：
测评机构分析这 名耳机体验官的佩戴舒适度得分，将同一个人对两款耳机的佩戴舒适度得分对比，发
现 款耳机的佩戴舒适度得分高于 款耳机的有 人，两款耳机得分相同的有 人， 款耳机得分高于 款
的有 人.
c．两项指标得分统计表：
降噪效果得分 佩戴舒适度得分
耳机型号 平均数 中位数 众数 平均数
8.15 8 b 8.8
8.5 a 9 7.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全 款耳机得分的频数分布图；
（2）表格中 ， ；
（3）在本次测评中，如果某位耳机测评体验官对其中一款耳机的“佩戴舒适度”评分高于另一款，则
视为体验官对该款耳机“更青睐”. 请据此估计，在 1600名耳机用户中，更青睐 X款耳机的人数约有 人；
（4）在复核 Y款耳机的降噪效果得分时，发现一个数据被污损，无法辨认，已知剩余 19个分数的中位
数与原 20个分数的中位数相同，但平均数比原 20个分数的平均数大，请推测被污损的分数可能是 （写
出所有可能的值）.
24. 如图，以 的边 为直径作 交 于点 ，连接 ，过点 作 的垂线，交 ，
于点 ， ，交 于另一点 ，且 .
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的长.
数学试卷 第 5 页 共 8 页
25. 某农业种植基地探究不同种类化肥对小白菜幼苗生长期株重增长率的影响，选用生长期株重周增长
率 H（单位：%）作为观测指标， ，其中 （单位：g）为初始菜苗鲜重， （单位：
g）为培育 周后菜苗鲜重，培育时除化肥种类外，温度、光照、水分等实验条件全部一致，记培育 周时，
不施加化肥的菜苗株重增长率为 ，施用化肥 A的菜苗株重增长率为 ，施用化肥 B的菜苗株重增长率为
. 假设第 0周时所有初始菜苗鲜重均为 20g，该基地记录的前 14周的部分数据如下：
/周 0 1 2 5 6 8 10 12 14
/% 0 18 22 30 32 36 39 41 43
/% 0 29 34 44 46 49 51 53 54
/% 0 31 38 49 52 58 a 62 62
（1）实验测得施用花费 B的菜苗培育 10周时质量为 32g，则 a= ；
（2）在平面直角坐标系 中，描出了各数对 ， 所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲
线连接得到曲线 ， ，请补全数对 所对应的点，并画出对应曲线 ；
（3）根据以上信息，回答下列问题：
①若该基地同时从第 0周开始培育未施用化肥的菜苗与施用化肥 B的菜苗，在前 14周内菜苗株重
增长率的差持续超过 20%的周数为 （结果保留整数）；
②该种植基地有若干批初始菜苗要培育并进行售卖，当菜苗株重超过 30g时可以在当周进行售卖，
且一次性卖完一批. 每一批菜苗售出价格为 2000元.培育时每一批菜苗只能施加一种化肥、施加化肥 A
成本为 300元.，施加化肥 B成本为 800元，均一次付清，后续各周不再产生化肥费用. 售卖前每周会产
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生 100元的种植成本（含售卖当周），每一批菜当周售卖后可在下一周种植新一批的初始菜苗. 若该种
植基地想在 22周内获得最大利润，则最大利润为 元. （利润=售出价格-化肥成本-种植成本）
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和 .
（1）求抛物线 的顶点坐标（用含 的式子表示）；
（2）将抛物线 向上平移 个单位，再向右平移 个单位得到抛物线 ，无论 为何值，抛物线
恒过 ，过 作 轴的垂线交抛物线 于 ， 两点（ 在 的左侧），交抛物线 于 ， 两
点（ 在 的左侧），则 的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
27. 如图，在 中， ， ，在三角形内部存在点 ，满足 ，将线段
绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ， ， . 过点 作 ，交 延长线于
点 ， 与 的交点记作 .
（1）求证： ；
（2）若 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明你的结论.
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28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ，对于两点 和 ，其中点 在 上，给出如下定义：
若线段 的垂直平分线与 相交，且两交点之间的距离为 ，则称点 是点 的“ 关联点”.
（1）如图 1，点 .
B2
B1 B3
①在点 ， ， 中，点 是点 的“ 关联点”，其中 ；
②若点 是点 的“ 关联点”，则点 的横坐标的最大值为 .
（2）直线 与 轴， 轴分别交于点 ， . 对于线段 上任意一点，都存在 上的
点 ，使得点 是点 的“ 关联点”，直接写出 的取值范围.
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