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河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下期04月测试（二）数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用元素与集合的关系和一元二次不等式求解方法，从而得出集合B，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以的虚部为2.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用共轭复数的定义和复数的虚部的定义，从而得出复数的虚部.
3．已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质
【解析】【解答】解：当数列是等差数列时，
根据等差数列的性质，当时，有，
所以是的充分条件；
当数列是等差数列且为常数列时，
因为是恒成立的，所以未必成立，
则是的不必要条件，
综上可知：是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质、常数列的定义，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（　　）种
A．72 B．36 C．12 D．6
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定，
所以不同的排序方法有种方法.
故答案为：C.
【分析】利用排列数公式和顺序一定的问题求解方法，则根据古典概率公式得出烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有的种数.
5．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（　　）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；线性回归方程
【解析】【解答】解：依题意，，
由与的线性回归方程，得，
则，所以，
因此，所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件求出样本中心点坐标，利用代入法求出的值，从而得出回归直线方程，再利用指数式与对数式的互化公式和分数指数幂的运算法则，从而得出k的值.
6．已知函数的图象的一部分如下图所示，其中，，为了得到函数的图像，只要将函数的图象上所有的点（　　）
A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由的图象，
可得：，，
∴，∴；
因为，
∴，结合，令，可得，
∴，
又因为，
∴只要将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，
再把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
则可得到的图象．
故答案为：C.
【分析】由函数的部分图象结合余弦型函数的最小正周期公式，从而得出ω的值，再利用代入法和五点对应法，从而得出的值，根据二倍角的余弦公式和三角型函数的图象变换，从而找出正确的选项．
7．已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：如图所示，
由，得，则是直角三角形，斜边，
取中点，根据直角三角形斜边中线性质，可得，
则点在以原点为圆心、半径的圆上，
根据向量极化恒等式，对任意，为中点，
有
，
代入，得：，
因为，点在为圆心、半径1的圆上，
所以的取值范围是：，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】取中点，由得出两向量垂直，再利用直角三角形斜边中线性质和圆的定义，从而可得点的轨迹为圆，再结合极化恒等式可得，利用点和圆的位置关系，从而得出的取值范围.
8．设分别是双曲线的左 右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为为的平分线，且，，，
则，所以，
由双曲线定义，可得，则，
解得，.
方法一：设，由正弦定理，得，
则，
在中，因为，所以，
可得，
把代入，得，且，
则，可得，则，
由，得，则，
把代入，得，
化简得，，
在中，由余弦定理，得，
整理可得，解得或（舍去）.
方法二：因为，
所以或，
则或，
又因为是的内角，所以，
可得，则，
作的平分线，交于点，
则，是等腰三角形，
可得，，，且，
可得，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质结合双曲线定义可得，，再利用两种方法求解.
方法一：设，利用正弦定理结合三角恒等变换，从而可得的值，再结合余弦定理和双曲线的离心率公式，从而解方程得出双曲线的离心率的值.
方法二：利用已知条件分析可得，作的平分线，交于点，再利用两三角形相似对应边成比例，从而可得，，，结合双曲线的定义和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率的值.
9．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章.2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（　　）
A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6
B．已知优秀率为20%，则
C．越大，的值越小
D．越小，评分在的概率越大
【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，
，
，
由对称性可知：，故A正确；
B、由题意可知：，
因为，所以，故B不正确；
C、因为是该正态分布图象的对称轴，所以，不会随的变化而变化，故C错误；
D、由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据正态分布的对称性求概率即可判断AB；根据正态分布的曲线特征即可判断C；由对正态分布图象的影响即可判断D.
10．已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（　　）
A．
B．过原点且与相切的直线方程为
C．不等式的解集是
D．若恰有两个整数解，则k的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：对于选项A，由，，
可得，则，
所以，为常数，
由，可得，则，，故A正确：
对于选项B，设切点为，，再设切线斜率为，
则，
所以切线方程为，即，
因为切线过原点，所以，
解得，，所以，
则切线方程为，故B正确；
对于选项C，因为，
则当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，
又因为，当时，；当时，，
且时，；时，，
当时，；当时，，
的解集是，故C错误；
对于选项D，因为，
所以，要使恰有2个整数解，则整数解为2和3，
所以，则，
化简得；
则实数k的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对已知条件同时乘得出导函数，从而得出，再由结合代入法，从而得出的值，进而得出函数的解析式，则判断选项A；根据过一点和导数求切线方程的方法，则可判断选项B；对求导，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出不等式的解集，则可判断选项C；根据，要使恰有2个整数解，则，再利用对数函数的单调性，从而得出实数k的取值范围，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线和的斜率之积为定值
B．的最小值为-1
C．若的面积为5，则
D．若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；解三角形
【解析】【解答】解：由题意，可得，，，.
设，则，
因为，故A正确；
因为，，
所以，故B不正确；
若的面积为5，则，
根据图形的对称性，不妨令位于第一象限，可得，
则，，
所以，
由，得，故C正确；
由点，可得，，
因为平分，所以；
又因为，所以，，
在中，以为底，所以，点到的距离为，
则的面积为，
设内切圆的半径为，则，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和代入法以及两点求斜率公式，从而得出直线和的斜率之积为定值，则判断出选项A；利用数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，则判断出选项B；先得出点P的坐标，再利用向量的坐标表示和数量积的定义以及同角三角函数基本关系式，则判断出选项C；利用两点距离公式和角平分线的性质以及椭圆定义、点到直线的距离公式、三角形面积公式，从而得出三角形内切圆的半径，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．若圆与圆有且仅有三条公切线，　 　．
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：由题意，易知圆的圆心为，半径为，
由，
得到，
则，所以，
则圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有且仅有三条公切线，
所以，圆与圆外切，则，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先将圆的一般方程转化为圆的标准方程，则求出两圆的圆心坐标和半径长，再利用两圆的位置关系得出两圆的公切线条数和已知条件，从而得出实数m的值.
13．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1)（n+2)，则它的前n项和为 ．
【答案】
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1)（n+2)，①
∴a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n-1）n（n+1），②
①-②，得nan =3n（n+1），
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和作差法得出数列{an}的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列{an}的通项公式.
14．在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则　 　．
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于的随机变量，
在坐标与中有k个坐标值不同，
剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，
所以，
则X的分布列为：
X 1 2 … 6
P …
所以，，
则．
故答案为：.
【分析】由组合数公式和古典概率公式，从而得出离散型随机变量的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出的值．
15．已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求锐角周长的取值范围.
【答案】（1）解：由
在中，有，
则上式可化为，
因为，所以，
又因为，所以.
（2）解：由正弦定理，得：，
可得，
所以的周长为，
因为锐角，可知，
可得，
则周长可化为：
，
由，且，
所以，则，
所以，锐角周长的取值范围为.

【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理、诱导公式以及三角函数值在各象限的符号，从而得出角A的余弦值，从而得出角A的值.
（2）利用正弦定理边化角和三角形的周长公式以及三角形内角和定理，再借助三角恒等变形和锐角三角形中角的取值范围，从而将锐角周长转化为正切型函数，再利用的取值范围和两角差的正切公式以及正切函数求值域的方法，从而得出锐角周长的取值范围.
（1）由，
因为在中有，所以上式可化为，
又因为，所以，又因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
可得，
所以的周长为，
因为锐角，可知，
可得，则周长可化为：，
，
由，且，
所以，即，
故锐角周长的取值范围为.
16．已知椭圆：的右焦点为，且过点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点.
【答案】（1）解：由题意，得：，
解得：，
所以，椭圆方程为.
（2）证明：设过点的直线方程为，
与椭圆联立，消去得：，
整理得：，
设，，，
则，，
再由两点式，可得直线方程：，
令，可得：
，
代入韦达定理式，得：，
所以直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据右焦点坐标得到的值，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆的方程.
（2）利用点斜式设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，则根据两点式得出直线PM的方程，再由赋值法和韦达定理式，从而证出直线过定点.
（1）由题意得：，解得：，
所以椭圆方程为.
（2）设过点的直线方程为，
与椭圆联立方程组消去得：，
整理得：，
设，，，
则有，，
再由两点式可得直线方程：，
令可得：
代入韦达定理公式得：，
所以直线过定点.
17．如图，在四棱锥中，，，，，.
（1）证明：平面.
（2）已知，平面平面.
（I）求三棱锥外接球的表面积；
（II）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：过点作，交于点，连接，
因为，所以.
又因为，所以，
则四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：（I）因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
取的中点，的中点，连接，.
则，，所以平面，
又因为平面，所以，
在中，，，
则，所以，
则点为的外心，且，
因为的中点为的外心，
所以是三棱锥外接球的直径，
又因为，
所以，三棱锥外接球的表面积.
（II）（方法一）由（I）知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则.
因为，，，
所以平面，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
（方法二）因为，，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，则，
所以为平面与平面的夹角，
由，，
可得，，，
在中，，
则平面与平面的余弦值为.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先判断出四边形为平行四边形，再利用线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）（I） 结合已知条件得到是三棱锥外接球的直径，根据球的表面积公式求解即可.
（II）利用两种方法求解.
方法一：建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
方法二：先得出为平面与平面的夹角，再利用线线垂直和余弦定理，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：过点作，交于点，连接.
因为，所以.
又，所以，
则四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）（I）因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
取的中点，的中点，连接，.
则，，所以平面，又平面，所以.
在中，，，则，所以，
所以为的外心，且.
又的中点为的外心，所以是三棱锥外接球的直径.
又，
所以三棱锥外接球的表面积.
（II）（方法一）由（I）知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则.
又，，，所以平面，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则
则平面与平面夹角的余弦值为.
（方法二）因为，，所以.
又平面平面，平面平面，所以平面，
则，故即平面与平面的夹角.
由，，可得，，，
在中，，
即平面与平面的余弦值为.
18．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈 列队 翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.
（1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；
（2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率.
①求数列的通项公式；
②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式.
【答案】（1）解：由题意，可知：随机变量的可能值为0，1，2，3，
若，则3轮都失败，
所以；
若，则3轮中只有1轮成功，
所以；
若，则3轮中只有2轮成功，
所以；
若，则3轮都成功，
所以，
则.
（2）解： ①设第轮试验使用A型号机器人为事件，
则，，，
由全概率公式，可得，
所以，
则，且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，
所以.
②设第轮得分期望为，
则，
所以，前轮期望总得分为：.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知随机变量的可能取值并求其概率 再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法和等比数列的定义，从而判断出数列是以首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
②利用已知条件和数学期望公式，从而可得，再利用分组求和法和等比数列求和公式，从而得出关于的表达式.
（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3，
若，则3轮都失败，则；
若，则3轮中只有1轮成功，；
若，则3轮中只有2轮成功，；
若，则3轮都成功，；
所以.
（2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件，
则，，，
由全概率公式可得，
即，则，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，所以；
②设第轮得分期望为，则，
所以前轮期望总得分为.
19．已知函数．
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
（2）设函数在区间上有两个极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【答案】（1）解：由题意，得，对任意上恒成立，
∴对任意上恒成立，
令，
则.
①当时，，则在上为单调递增函数.
又∵，∴当时，，不合题意；
②当时，若，则，
所以在上为增函数，
又∵，∴当时，，不合题意；
③当时，若，则，
所以在上为减函数，
因为，∴当时，，符合题意，
综上所述，实数的取值范围是．
（2）（i）解：令，，
∴，令，
分析知，关于的方程在上有两个不相等的实数根，
令，则，
分析知，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，∴，
则所求实数的取值范围是.
（ⅱ）证明：∵，，
∴，
不妨设，则，
∴
，
令，则，
∴当时，，∴在上为增函数，
∴，则，
∴，∴，
∴，∴．
由（i），得，∴，
∴．
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意问题转化为对任意上恒成立，再分，，三种情况讨论，则根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再利用恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（i）利用函数在区间上有两个极值点，则等价于的方程在上有两个不相等的实数根，令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在的取值范围，进而得出实数a的取值范围.
（ⅱ）由题意结合构造法，令，再利用导数的正负判断函数的单调性， 从而可得，再由（i）得出，从而证出不等式成立.
1 / 1河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下期04月测试（二）数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（　　）
A．2 B． C． D．
3．已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（　　）种
A．72 B．36 C．12 D．6
5．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（　　）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A． B． C． D．
6．已知函数的图象的一部分如下图所示，其中，，为了得到函数的图像，只要将函数的图象上所有的点（　　）
A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
7．已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．设分别是双曲线的左 右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章.2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（　　）
A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6
B．已知优秀率为20%，则
C．越大，的值越小
D．越小，评分在的概率越大
10．已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（　　）
A．
B．过原点且与相切的直线方程为
C．不等式的解集是
D．若恰有两个整数解，则k的取值范围是
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．直线和的斜率之积为定值
B．的最小值为-1
C．若的面积为5，则
D．若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为
12．若圆与圆有且仅有三条公切线，　 　．
13．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1)（n+2)，则它的前n项和为 ．
14．在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则　 　．
15．已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，求锐角周长的取值范围.
16．已知椭圆：的右焦点为，且过点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点.
17．如图，在四棱锥中，，，，，.
（1）证明：平面.
（2）已知，平面平面.
（I）求三棱锥外接球的表面积；
（II）求平面与平面夹角的余弦值.
18．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈 列队 翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.
（1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；
（2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率.
①求数列的通项公式；
②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式.
19．已知函数．
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
（2）设函数在区间上有两个极值点．
（i）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用元素与集合的关系和一元二次不等式求解方法，从而得出集合B，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以的虚部为2.
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用共轭复数的定义和复数的虚部的定义，从而得出复数的虚部.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质
【解析】【解答】解：当数列是等差数列时，
根据等差数列的性质，当时，有，
所以是的充分条件；
当数列是等差数列且为常数列时，
因为是恒成立的，所以未必成立，
则是的不必要条件，
综上可知：是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质、常数列的定义，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定，
所以不同的排序方法有种方法.
故答案为：C.
【分析】利用排列数公式和顺序一定的问题求解方法，则根据古典概率公式得出烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有的种数.
5．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；线性回归方程
【解析】【解答】解：依题意，，
由与的线性回归方程，得，
则，所以，
因此，所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件求出样本中心点坐标，利用代入法求出的值，从而得出回归直线方程，再利用指数式与对数式的互化公式和分数指数幂的运算法则，从而得出k的值.
6．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由的图象，
可得：，，
∴，∴；
因为，
∴，结合，令，可得，
∴，
又因为，
∴只要将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，
再把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
则可得到的图象．
故答案为：C.
【分析】由函数的部分图象结合余弦型函数的最小正周期公式，从而得出ω的值，再利用代入法和五点对应法，从而得出的值，根据二倍角的余弦公式和三角型函数的图象变换，从而找出正确的选项．
7．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；轨迹方程
【解析】【解答】解：如图所示，
由，得，则是直角三角形，斜边，
取中点，根据直角三角形斜边中线性质，可得，
则点在以原点为圆心、半径的圆上，
根据向量极化恒等式，对任意，为中点，
有
，
代入，得：，
因为，点在为圆心、半径1的圆上，
所以的取值范围是：，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】取中点，由得出两向量垂直，再利用直角三角形斜边中线性质和圆的定义，从而可得点的轨迹为圆，再结合极化恒等式可得，利用点和圆的位置关系，从而得出的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为为的平分线，且，，，
则，所以，
由双曲线定义，可得，则，
解得，.
方法一：设，由正弦定理，得，
则，
在中，因为，所以，
可得，
把代入，得，且，
则，可得，则，
由，得，则，
把代入，得，
化简得，，
在中，由余弦定理，得，
整理可得，解得或（舍去）.
方法二：因为，
所以或，
则或，
又因为是的内角，所以，
可得，则，
作的平分线，交于点，
则，是等腰三角形，
可得，，，且，
可得，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质结合双曲线定义可得，，再利用两种方法求解.
方法一：设，利用正弦定理结合三角恒等变换，从而可得的值，再结合余弦定理和双曲线的离心率公式，从而解方程得出双曲线的离心率的值.
方法二：利用已知条件分析可得，作的平分线，交于点，再利用两三角形相似对应边成比例，从而可得，，，结合双曲线的定义和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率的值.
9．【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，
，
，
由对称性可知：，故A正确；
B、由题意可知：，
因为，所以，故B不正确；
C、因为是该正态分布图象的对称轴，所以，不会随的变化而变化，故C错误；
D、由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”，因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据正态分布的对称性求概率即可判断AB；根据正态分布的曲线特征即可判断C；由对正态分布图象的影响即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：对于选项A，由，，
可得，则，
所以，为常数，
由，可得，则，，故A正确：
对于选项B，设切点为，，再设切线斜率为，
则，
所以切线方程为，即，
因为切线过原点，所以，
解得，，所以，
则切线方程为，故B正确；
对于选项C，因为，
则当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，
又因为，当时，；当时，，
且时，；时，，
当时，；当时，，
的解集是，故C错误；
对于选项D，因为，
所以，要使恰有2个整数解，则整数解为2和3，
所以，则，
化简得；
则实数k的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对已知条件同时乘得出导函数，从而得出，再由结合代入法，从而得出的值，进而得出函数的解析式，则判断选项A；根据过一点和导数求切线方程的方法，则可判断选项B；对求导，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出不等式的解集，则可判断选项C；根据，要使恰有2个整数解，则，再利用对数函数的单调性，从而得出实数k的取值范围，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；解三角形
【解析】【解答】解：由题意，可得，，，.
设，则，
因为，故A正确；
因为，，
所以，故B不正确；
若的面积为5，则，
根据图形的对称性，不妨令位于第一象限，可得，
则，，
所以，
由，得，故C正确；
由点，可得，，
因为平分，所以；
又因为，所以，，
在中，以为底，所以，点到的距离为，
则的面积为，
设内切圆的半径为，则，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件和代入法以及两点求斜率公式，从而得出直线和的斜率之积为定值，则判断出选项A；利用数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，则判断出选项B；先得出点P的坐标，再利用向量的坐标表示和数量积的定义以及同角三角函数基本关系式，则判断出选项C；利用两点距离公式和角平分线的性质以及椭圆定义、点到直线的距离公式、三角形面积公式，从而得出三角形内切圆的半径，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：由题意，易知圆的圆心为，半径为，
由，
得到，
则，所以，
则圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有且仅有三条公切线，
所以，圆与圆外切，则，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先将圆的一般方程转化为圆的标准方程，则求出两圆的圆心坐标和半径长，再利用两圆的位置关系得出两圆的公切线条数和已知条件，从而得出实数m的值.
13．【答案】
【知识点】数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：∵a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1)（n+2)，①
∴a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n-1）n（n+1），②
①-②，得nan =3n（n+1），
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和作差法得出数列{an}的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，从而得出数列{an}的通项公式.
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于的随机变量，
在坐标与中有k个坐标值不同，
剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，
所以，
则X的分布列为：
X 1 2 … 6
P …
所以，，
则．
故答案为：.
【分析】由组合数公式和古典概率公式，从而得出离散型随机变量的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出的值．
15．【答案】（1）解：由
在中，有，
则上式可化为，
因为，所以，
又因为，所以.
（2）解：由正弦定理，得：，
可得，
所以的周长为，
因为锐角，可知，
可得，
则周长可化为：
，
由，且，
所以，则，
所以，锐角周长的取值范围为.

【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理、诱导公式以及三角函数值在各象限的符号，从而得出角A的余弦值，从而得出角A的值.
（2）利用正弦定理边化角和三角形的周长公式以及三角形内角和定理，再借助三角恒等变形和锐角三角形中角的取值范围，从而将锐角周长转化为正切型函数，再利用的取值范围和两角差的正切公式以及正切函数求值域的方法，从而得出锐角周长的取值范围.
（1）由，
因为在中有，所以上式可化为，
又因为，所以，又因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
可得，
所以的周长为，
因为锐角，可知，
可得，则周长可化为：，
，
由，且，
所以，即，
故锐角周长的取值范围为.
16．【答案】（1）解：由题意，得：，
解得：，
所以，椭圆方程为.
（2）证明：设过点的直线方程为，
与椭圆联立，消去得：，
整理得：，
设，，，
则，，
再由两点式，可得直线方程：，
令，可得：
，
代入韦达定理式，得：，
所以直线过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据右焦点坐标得到的值，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆的方程.
（2）利用点斜式设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，则根据两点式得出直线PM的方程，再由赋值法和韦达定理式，从而证出直线过定点.
（1）由题意得：，解得：，
所以椭圆方程为.
（2）设过点的直线方程为，
与椭圆联立方程组消去得：，
整理得：，
设，，，
则有，，
再由两点式可得直线方程：，
令可得：
代入韦达定理公式得：，
所以直线过定点.
17．【答案】（1）证明：过点作，交于点，连接，
因为，所以.
又因为，所以，
则四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：（I）因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
取的中点，的中点，连接，.
则，，所以平面，
又因为平面，所以，
在中，，，
则，所以，
则点为的外心，且，
因为的中点为的外心，
所以是三棱锥外接球的直径，
又因为，
所以，三棱锥外接球的表面积.
（II）（方法一）由（I）知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
则.
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则.
因为，，，
所以平面，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
（方法二）因为，，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，则，
所以为平面与平面的夹角，
由，，
可得，，，
在中，，
则平面与平面的余弦值为.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先判断出四边形为平行四边形，再利用线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）（I） 结合已知条件得到是三棱锥外接球的直径，根据球的表面积公式求解即可.
（II）利用两种方法求解.
方法一：建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
方法二：先得出为平面与平面的夹角，再利用线线垂直和余弦定理，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：过点作，交于点，连接.
因为，所以.
又，所以，
则四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）（I）因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
取的中点，的中点，连接，.
则，，所以平面，又平面，所以.
在中，，，则，所以，
所以为的外心，且.
又的中点为的外心，所以是三棱锥外接球的直径.
又，
所以三棱锥外接球的表面积.
（II）（方法一）由（I）知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则.
又，，，所以平面，
则平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则
则平面与平面夹角的余弦值为.
（方法二）因为，，所以.
又平面平面，平面平面，所以平面，
则，故即平面与平面的夹角.
由，，可得，，，
在中，，
即平面与平面的余弦值为.
18．【答案】（1）解：由题意，可知：随机变量的可能值为0，1，2，3，
若，则3轮都失败，
所以；
若，则3轮中只有1轮成功，
所以；
若，则3轮中只有2轮成功，
所以；
若，则3轮都成功，
所以，
则.
（2）解： ①设第轮试验使用A型号机器人为事件，
则，，，
由全概率公式，可得，
所以，
则，且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，
所以.
②设第轮得分期望为，
则，
所以，前轮期望总得分为：.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知随机变量的可能取值并求其概率 再利用随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法和等比数列的定义，从而判断出数列是以首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
②利用已知条件和数学期望公式，从而可得，再利用分组求和法和等比数列求和公式，从而得出关于的表达式.
（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3，
若，则3轮都失败，则；
若，则3轮中只有1轮成功，；
若，则3轮中只有2轮成功，；
若，则3轮都成功，；
所以.
（2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件，
则，，，
由全概率公式可得，
即，则，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，所以；
②设第轮得分期望为，则，
所以前轮期望总得分为.
19．【答案】（1）解：由题意，得，对任意上恒成立，
∴对任意上恒成立，
令，
则.
①当时，，则在上为单调递增函数.
又∵，∴当时，，不合题意；
②当时，若，则，
所以在上为增函数，
又∵，∴当时，，不合题意；
③当时，若，则，
所以在上为减函数，
因为，∴当时，，符合题意，
综上所述，实数的取值范围是．
（2）（i）解：令，，
∴，令，
分析知，关于的方程在上有两个不相等的实数根，
令，则，
分析知，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，∴，
则所求实数的取值范围是.
（ⅱ）证明：∵，，
∴，
不妨设，则，
∴
，
令，则，
∴当时，，∴在上为增函数，
∴，则，
∴，∴，
∴，∴．
由（i），得，∴，
∴．
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意问题转化为对任意上恒成立，再分，，三种情况讨论，则根据导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再利用恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（i）利用函数在区间上有两个极值点，则等价于的方程在上有两个不相等的实数根，令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数在的取值范围，进而得出实数a的取值范围.
（ⅱ）由题意结合构造法，令，再利用导数的正负判断函数的单调性， 从而可得，再由（i）得出，从而证出不等式成立.
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