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2026届山东日照市高三模拟考试数学试题
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：集合是函数的定义域，根据对数函数的性质，真数必须大于0，
因此：，即，
由交集的定义可知.
故答案为：D
【分析】本题考查集合的交集运算，解题关键是先根据对数函数的定义域要求求出集合B，再结合已知集合A，利用交集的定义进行求解。
2．某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（　　）
A．表示x与y之间的函数关系
B．表示x与y之间的不确定关系
C．反映x与y之间的真实关系
D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
【答案】D
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】解：A：函数关系要求一个自变量对应唯一的因变量，而身高和体重之间并非严格的一一对应关系，因此回归方程不是函数关系，A错误；
B：不确定关系的表述不准确，回归方程是基于统计规律构建的、能反映变量间趋势的模型，并非单纯的“不确定关系”，B错误。
C：真实关系受个体差异、生活习惯等多种因素影响，回归方程无法完全反映真实关系，C错误。
D：回归方程是通过最小二乘法等方法，找到的最能贴合样本数据趋势的模型，是对真实关系的一种最佳拟合，D正确。
故答案为：D
【分析】本题考查线性回归方程的概念，解题关键是理解回归方程的本质，它是基于样本数据构建的模型，并非变量间确定的函数关系，也不是对真实关系的完全复刻，而是对真实关系的最佳近似拟合。
3．已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题可得，
所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称.
当时，，
则.
故答案为：C
【分析】本题考查函数的奇偶性、周期性与对称性的综合应用，解题关键是先利用已知条件推导出函数的周期，再通过周期将自变量转化到已知解析式的区间内进行求值。
4．已知向量，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：当时，，，
此时，，充分性成立；
当时，，即，解得或，推不出，必要性不成立.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断，解题关键是先利用向量平行的坐标表示求出参数的所有可能取值，再根据充分性和必要性的定义判断两者的推出关系。
5．若，，则实数、、的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意可得，，可得，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，
故.
故答案为：D.
【分析】本题考查指数、对数的互化，以及利用函数单调性比较数的大小，解题关键是先分别求出a，b，c的表达式，再结合对数函数、幂函数的单调性判断它们的取值范围，进而确定大小顺序。
6．将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α，
又为锐角，其中，所以，则，
即，故直线方程为．
故答案为：A
【分析】本题考查直线旋转后的方程求解，解题关键是先求出原直线的倾斜角与旋转角的正切值，再利用两角和的正切公式求出旋转后直线的斜率，最后结合点斜式写出直线方程。
7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，
设点，则，
联立，解得或，则，，
因为为双曲线的左顶点，则，
所以，，，
在中，，由余弦定理得，
即，
即，
则，所以，则，
即，所以，则．
故答案为：C.
【分析】易知以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可求得双曲线的离心率．
8．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；空间中两点间的距离公式；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则
，
所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为，
故截面周长为.
故答案为：C
【分析】本题考查空间中动点轨迹与正四面体截面问题，解题关键是通过建立空间直角坐标系，利用距离公式化简条件得到动点所在平面，再确定该平面截正四面体所得截面的形状，进而计算其周长。
9．设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】A：若复数，则其虚部为，设，其共轭复数，因此，故A正确；
B：举反例，取，则，但，故B错误；
C：由得，在复数范围内解得，故C正确；
D：由，化简得，其模，不等于，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：实数的共轭复数等于其本身，这是共轭复数的基本性质；
B：复数的平方为实数，不代表复数本身是实数（例如纯虚数的平方为负实数）；
C：方程在复数范围内的解为，这是虚数单位的定义；
D：通过复数除法运算求出，再根据复数模的定义计算其模，判断结果是否正确。
10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（　　）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．函数的最大值为1
D．方程在上有5个实数根
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：首先根据平移规则求的解析式：函数的图象向右平移个单位长度后，
已知是的一个单调递增区间，其长度为，恰好为的半个最小正周期，因此区间端点对应的最小值点，即，
解得，结合，得，故
A：的最小正周期，故A正确；
B：当时，，函数在上单调递增，故在上单调递增，B正确；
C：，
故的最大值为，C错误；
D：对方程，即 ，
得或，
当时，，
，且有两个解，
所以方程在上有5个实数根，D正确.
故答案为：ABD。
【分析】A：利用三角函数周期公式计算，验证周期是否正确；
B：先求内层函数的取值范围，再结合正弦函数的单调性判断原函数的增减区间；
C：先化简，再对进行三角恒等变换，转化为的形式求最大值；
D：通过换元法将方程转化为二次方程求解，再结合正弦函数在给定区间内的图象判断解的个数。
11．对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　）
A．存在公差不为0的等差数列具有性质
B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质
C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质
D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质
【答案】B,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：设，，
A：若是公差的等差数列，则 ，因此 ，
当时， ，不存在满足条件的，A错误；
B：等比数列的通项公式为， ，则： ，
， 右侧为常数，取即满足条件，B正确；
C：若 具有性质，则存在，对任意有，，
对由三角不等式放缩： ，
存在常数 满足条件，C正确；
D：若 都具有性质，则二者一定有界：， （为常数），
对 的差放缩 ，
求和得：，右侧为常数，满足性质，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题是数列新定义题，核心是理解“性质P”：数列相邻项差的绝对值之和存在上界，
解题思路是根据定义，对每个选项逐一分析其差的绝对值之和是否有界：
A：公差非零的等差数列，相邻差的绝对值和会随线性增长，无界；
B：的等比数列，相邻差的绝对值和可通过等比数列求和公式证明有界；
C：由前项和具有性质P，推导出原数列的差的绝对值和有界；
D：利用性质P数列必有界的特点，结合不等式放缩，证明的差的绝对值和有界。
12．已知分别为的三个内角的对边，若，，则角　 　．
【答案】
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：在中，因为，，
所以由正弦定理得，
又，所以或，
在中，由，所以，所以.
故答案为：
【分析】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，解题关键是先利用正弦定理求出sinB的值，再结合“大边对大角”的性质排除不符合条件的解，从而确定角B的大小。
13．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则　 　.
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：根据题意，设方程的两虚根为，，为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴，
又因为是等边三角形，高为2，
则，解得，
则，
所以，则.
故答案为：．
【分析】由题意可知方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，再根据已知条件和复数的几何意义以及等边三角形的性质、三角函数的定义，从而得出b的值，从而得出两复数根，进而得出的值，则得出a的值.
14．已知正实数a，b满足，则　 　．
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解： 设 ，求导得 ，
因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ，
原等式右边整理为 ，求导得 ，
因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ，
原等式即为，而 ，，等号成立当且仅当： ，
故 .
故答案为：
【分析】本题考查利用导数研究函数的最值，解题关键是构造两个函数，分别分析它们的单调性与最值，利用最值相等的条件求出a，b的值，进而计算ab。
15．如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为．
（1）若，求三棱柱的体积；
（2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）解：由折叠性质可知：，，
因此 就是二面角的平面角，即 ，
三棱柱为直三棱柱，
原正方形边长为2，为中点，故， .
当 时，，，
，侧棱长为高，
因此三棱柱的体积 .
（2）解：建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴，
各点坐标为 ，，，，
设 ， ，，
由得 ，解得，即，
因此，
，，设平面的法向量为，
由，取得，
， ，
设直线与平面所成角为，由线面角公式得 .
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 当二面角 时，先求底面三角形 的面积，再结合高 计算三棱柱体积；
(2) 当 时，建立空间直角坐标系，由 确定点 的坐标，再求平面 的法向量，最后利用线面角公式计算直线 与平面 所成角的正弦值。
（1）由折叠性质可知：，，
因此 就是二面角的平面角，即 ，
三棱柱为直三棱柱，
原正方形边长为2，为中点，故， .
当 时，，，
，侧棱长为高，
因此三棱柱的体积 .
（2）建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴，
各点坐标为 ，，，，
设 ， ，，
由得 ，解得，即，
因此，
，，设平面的法向量为，
由，取得，
， ，
设直线与平面所成角为，由线面角公式得 .
16．已知数列的前项和为，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
【答案】（1）解：由等差数列性质得：①，
当时， ，解得，
当时，有：②，
①-②得： ，
整理得： ，
因此是首项为，公比为2的等比数列，
故 .
（2）解：设，代入得： ，
因此，是首项为，公差为的等差数列，
令，即，得，为正整数，
故所有的 都在中（小于，不在中），
要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足，
去掉的项为 ，共个（，故不在的前35项中），
故，即的前30项和等于前35项和减去5个 的和，
前35项和：，
去掉的5个的和：，
因此.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 利用等差中项性质及 与 的递推关系，构造等比数列求解通项公式；
(2) 先求等差数列 的通项，再找出 中属于 的项，通过分组求和计算 前30项的和。
（1）由等差数列性质得：①，
当时， ，解得，
当时，有：②，
①-②得： ，
整理得： ，
因此是首项为，公比为2的等比数列，
故 .
（2）设，代入得： ，
因此，是首项为，公差为的等差数列，
令，即，得，为正整数，
故所有的 都在中（小于，不在中），
要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足，
去掉的项为 ，共个（，故不在的前35项中），
故，即的前30项和等于前35项和减去5个 的和，
前35项和：，
去掉的5个的和：，
因此.
17．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
（1）当时，
（i）求甲答对某道题的概率；
（ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
【答案】（1）（i）解：记事件A为“甲答对了某道题”，则.
（ii）解：由题意得，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
故
（2）解：由（1）知，设，
由题意得，，解得，
即，解得，故的最小值为
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)(i) 利用全概率公式，分“自己答对”和“没把握时亲友团答对”两种情况求甲答对某道题的概率；
(ii) 甲答对题目的个数服从二项分布，根据二项分布公式求分布列和数学期望；
(2) 先求出甲答对每道题的概率表达式，再根据“甲答对题目个数比乙多的概率不低于”列不等式，求解p的最小值。
（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，则.
（ii）由题意得，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
故
（2）由（1）知，设，
由题意得，，解得，
即，解得，故的最小值为
18．已知抛物线，点在抛物线上．
（1）证明：以点为切点的的切线的斜率为；
（2）过外一点（不在轴上）作的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线，切点为点，点分别是切线与AB，AC的交点，设BC的中点为（如图所示）．
（i）证明：A，D，E三点共线；
（ii）过外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．设面积为，第1次由点作切线三角形，第2次分别由点作切线三角形，并依此方法重复次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为．判断与的大小关系并证明．
【答案】（1）证明：，则以为切点的的切线斜率存在且不为，
设为.
由于该直线和有唯一公共点，
故联立后的方程组只有唯一解.
从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解.
此方程展开即为，从而，所以，
即以点为切点的的切线的斜率为.
（2）（i）证明：设，则，
由（1）可知在处的切线分别是和，
联立两直线方程解得，
所以，由于不在轴上，所以，
故，
所以的纵坐标为，从而，
而，在外，在上，
所以直线的方程是.
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，
故三点共线.
（ii）证明：，理由如下：
设，由（i）可知，
由点确定的切线三角形的面积为，
即后一个切线三角形的面积是前一个切线三角形面积的，
由此继续下去，可得
.
【知识点】导数的几何意义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设出以点 为切点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式为零证明切线斜率为 ；
(2)(i) 先求出切线 、 的方程，联立得点 坐标，再求出 、 坐标，通过证明直线 、 方程相同，说明三点共线；
(ii) 先得出各“切线三角形”的面积构成等比数列，再用等比数列求和公式证明 。
（1），则以为切点的的切线斜率存在且不为，
设为.
由于该直线和有唯一公共点，
故联立后的方程组只有唯一解.
从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解.
此方程展开即为，从而，所以，
即以点为切点的的切线的斜率为.
（2）（i）设，则，
由（1）可知在处的切线分别是和，
联立两直线方程解得，
所以，由于不在轴上，所以，
故，
所以的纵坐标为，从而，
而，在外，在上，
所以直线的方程是.
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，
故三点共线.
（ii）.
设，由（i）可知，
由点确定的切线三角形的面积为，
即后一个切线三角形的面积是前一个切线三角形面积的，
由此继续下去，可得
.
19．已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”．
（1）求函数在上的最大“凸点”；
（2）若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
（3）设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于．
【答案】（1）解：设 ，则 ，
当或时，，单调递增；
当时， ，单调递减，
又 ，所以在 上最大值为，
所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5.
（2）解：因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令，，
则 ，
当时，恒成立，故在上单调递减，
则 ，
故在上单调递减，此时，符合要求.
当时，令，则，
（i），即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；
（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，此时，符合要求；
（iii）当，即时，若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有 ，解得，因为，
且，即时，符合要求，
综上所述.
（3）证明：若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求；若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为
其中，，，
若，则若，由，则，即，
若，由题意，，，故，
即，又，故，符合要求；
若，则， ，
由，则，
若，即，则 ，
若，由题意，，且，
又，故 ，
即，，，，
即有 ，即，
由 ，故，又，故，
即在上的“凸点”个数不小于.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先求函数导数，判断单调性，找到区间最大值点，从而确定最大“凸点”；
(2) 函数在区间上不存在“凸点”，即 恒成立，通过求导分析单调性，分情况讨论参数 的取值范围；
(3) 用数学归纳或递推分析，结合“凸点”定义与条件 ，证明“凸点”个数不小于 。
（1）设 ，则 ，
当或时，，单调递增；
当时， ，单调递减，
又 ，所以在 上最大值为，
所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5.
（2）因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令，
则 ，
当时，恒成立，故在上单调递减，则 ，
故在上单调递减，此时，符合要求.
当时，令，则，
（i），即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；
（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，此时，符合要求；
（iii）当，即时，若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有 ，解得，因为，
且，即时，符合要求，
综上所述.
（3）若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求；
若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为
其中，，，
若，则若，由，则，即，
若，由题意，，，故，
即，又，故，符合要求；
若，则， ，
由，则，
若，即，则 ，
若，由题意，，且，
又，故 ，
即，，，，
即有 ，即，
由 ，故，又，故，
即在上的“凸点”个数不小于.
1 / 12026届山东日照市高三模拟考试数学试题
1．设集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（　　）
A．表示x与y之间的函数关系
B．表示x与y之间的不确定关系
C．反映x与y之间的真实关系
D．反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
3．已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（　　）
A． B．1 C． D．2
4．已知向量，，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若，，则实数、、的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
6．将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（　　）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
9．设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（　　）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．函数的最大值为1
D．方程在上有5个实数根
11．对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　）
A．存在公差不为0的等差数列具有性质
B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质
C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质
D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质
12．已知分别为的三个内角的对边，若，，则角　 　．
13．已知关于的方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若是等边三角形，则　 　.
14．已知正实数a，b满足，则　 　．
15．如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为．
（1）若，求三棱柱的体积；
（2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知数列的前项和为，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
17．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
（1）当时，
（i）求甲答对某道题的概率；
（ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）已知乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
18．已知抛物线，点在抛物线上．
（1）证明：以点为切点的的切线的斜率为；
（2）过外一点（不在轴上）作的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线，切点为点，点分别是切线与AB，AC的交点，设BC的中点为（如图所示）．
（i）证明：A，D，E三点共线；
（ii）过外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．设面积为，第1次由点作切线三角形，第2次分别由点作切线三角形，并依此方法重复次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为．判断与的大小关系并证明．
19．已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”．
（1）求函数在上的最大“凸点”；
（2）若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
（3）设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：集合是函数的定义域，根据对数函数的性质，真数必须大于0，
因此：，即，
由交集的定义可知.
故答案为：D
【分析】本题考查集合的交集运算，解题关键是先根据对数函数的定义域要求求出集合B，再结合已知集合A，利用交集的定义进行求解。
2．【答案】D
【知识点】线性相关；线性回归方程
【解析】【解答】解：A：函数关系要求一个自变量对应唯一的因变量，而身高和体重之间并非严格的一一对应关系，因此回归方程不是函数关系，A错误；
B：不确定关系的表述不准确，回归方程是基于统计规律构建的、能反映变量间趋势的模型，并非单纯的“不确定关系”，B错误。
C：真实关系受个体差异、生活习惯等多种因素影响，回归方程无法完全反映真实关系，C错误。
D：回归方程是通过最小二乘法等方法，找到的最能贴合样本数据趋势的模型，是对真实关系的一种最佳拟合，D正确。
故答案为：D
【分析】本题考查线性回归方程的概念，解题关键是理解回归方程的本质，它是基于样本数据构建的模型，并非变量间确定的函数关系，也不是对真实关系的完全复刻，而是对真实关系的最佳近似拟合。
3．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题可得，
所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称.
当时，，
则.
故答案为：C
【分析】本题考查函数的奇偶性、周期性与对称性的综合应用，解题关键是先利用已知条件推导出函数的周期，再通过周期将自变量转化到已知解析式的区间内进行求值。
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：当时，，，
此时，，充分性成立；
当时，，即，解得或，推不出，必要性不成立.
综上，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断，解题关键是先利用向量平行的坐标表示求出参数的所有可能取值，再根据充分性和必要性的定义判断两者的推出关系。
5．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意可得，，可得，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，
故.
故答案为：D.
【分析】本题考查指数、对数的互化，以及利用函数单调性比较数的大小，解题关键是先分别求出a，b，c的表达式，再结合对数函数、幂函数的单调性判断它们的取值范围，进而确定大小顺序。
6．【答案】A
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α，
又为锐角，其中，所以，则，
即，故直线方程为．
故答案为：A
【分析】本题考查直线旋转后的方程求解，解题关键是先求出原直线的倾斜角与旋转角的正切值，再利用两角和的正切公式求出旋转后直线的斜率，最后结合点斜式写出直线方程。
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，
设点，则，
联立，解得或，则，，
因为为双曲线的左顶点，则，
所以，，，
在中，，由余弦定理得，
即，
即，
则，所以，则，
即，所以，则．
故答案为：C.
【分析】易知以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可求得双曲线的离心率．
8．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；空间中两点间的距离公式；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则
，
所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为，
故截面周长为.
故答案为：C
【分析】本题考查空间中动点轨迹与正四面体截面问题，解题关键是通过建立空间直角坐标系，利用距离公式化简条件得到动点所在平面，再确定该平面截正四面体所得截面的形状，进而计算其周长。
9．【答案】A,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】A：若复数，则其虚部为，设，其共轭复数，因此，故A正确；
B：举反例，取，则，但，故B错误；
C：由得，在复数范围内解得，故C正确；
D：由，化简得，其模，不等于，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：实数的共轭复数等于其本身，这是共轭复数的基本性质；
B：复数的平方为实数，不代表复数本身是实数（例如纯虚数的平方为负实数）；
C：方程在复数范围内的解为，这是虚数单位的定义；
D：通过复数除法运算求出，再根据复数模的定义计算其模，判断结果是否正确。
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：首先根据平移规则求的解析式：函数的图象向右平移个单位长度后，
已知是的一个单调递增区间，其长度为，恰好为的半个最小正周期，因此区间端点对应的最小值点，即，
解得，结合，得，故
A：的最小正周期，故A正确；
B：当时，，函数在上单调递增，故在上单调递增，B正确；
C：，
故的最大值为，C错误；
D：对方程，即 ，
得或，
当时，，
，且有两个解，
所以方程在上有5个实数根，D正确.
故答案为：ABD。
【分析】A：利用三角函数周期公式计算，验证周期是否正确；
B：先求内层函数的取值范围，再结合正弦函数的单调性判断原函数的增减区间；
C：先化简，再对进行三角恒等变换，转化为的形式求最大值；
D：通过换元法将方程转化为二次方程求解，再结合正弦函数在给定区间内的图象判断解的个数。
11．【答案】B,C,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：设，，
A：若是公差的等差数列，则 ，因此 ，
当时， ，不存在满足条件的，A错误；
B：等比数列的通项公式为， ，则： ，
， 右侧为常数，取即满足条件，B正确；
C：若 具有性质，则存在，对任意有，，
对由三角不等式放缩： ，
存在常数 满足条件，C正确；
D：若 都具有性质，则二者一定有界：， （为常数），
对 的差放缩 ，
求和得：，右侧为常数，满足性质，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题是数列新定义题，核心是理解“性质P”：数列相邻项差的绝对值之和存在上界，
解题思路是根据定义，对每个选项逐一分析其差的绝对值之和是否有界：
A：公差非零的等差数列，相邻差的绝对值和会随线性增长，无界；
B：的等比数列，相邻差的绝对值和可通过等比数列求和公式证明有界；
C：由前项和具有性质P，推导出原数列的差的绝对值和有界；
D：利用性质P数列必有界的特点，结合不等式放缩，证明的差的绝对值和有界。
12．【答案】
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：在中，因为，，
所以由正弦定理得，
又，所以或，
在中，由，所以，所以.
故答案为：
【分析】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，解题关键是先利用正弦定理求出sinB的值，再结合“大边对大角”的性质排除不符合条件的解，从而确定角B的大小。
13．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：根据题意，设方程的两虚根为，，为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为和，轴，
又因为是等边三角形，高为2，
则，解得，
则，
所以，则.
故答案为：．
【分析】由题意可知方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，再根据已知条件和复数的几何意义以及等边三角形的性质、三角函数的定义，从而得出b的值，从而得出两复数根，进而得出的值，则得出a的值.
14．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解： 设 ，求导得 ，
因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ，
原等式右边整理为 ，求导得 ，
因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ，
原等式即为，而 ，，等号成立当且仅当： ，
故 .
故答案为：
【分析】本题考查利用导数研究函数的最值，解题关键是构造两个函数，分别分析它们的单调性与最值，利用最值相等的条件求出a，b的值，进而计算ab。
15．【答案】（1）解：由折叠性质可知：，，
因此 就是二面角的平面角，即 ，
三棱柱为直三棱柱，
原正方形边长为2，为中点，故， .
当 时，，，
，侧棱长为高，
因此三棱柱的体积 .
（2）解：建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴，
各点坐标为 ，，，，
设 ， ，，
由得 ，解得，即，
因此，
，，设平面的法向量为，
由，取得，
， ，
设直线与平面所成角为，由线面角公式得 .
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 当二面角 时，先求底面三角形 的面积，再结合高 计算三棱柱体积；
(2) 当 时，建立空间直角坐标系，由 确定点 的坐标，再求平面 的法向量，最后利用线面角公式计算直线 与平面 所成角的正弦值。
（1）由折叠性质可知：，，
因此 就是二面角的平面角，即 ，
三棱柱为直三棱柱，
原正方形边长为2，为中点，故， .
当 时，，，
，侧棱长为高，
因此三棱柱的体积 .
（2）建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴，
各点坐标为 ，，，，
设 ， ，，
由得 ，解得，即，
因此，
，，设平面的法向量为，
由，取得，
， ，
设直线与平面所成角为，由线面角公式得 .
16．【答案】（1）解：由等差数列性质得：①，
当时， ，解得，
当时，有：②，
①-②得： ，
整理得： ，
因此是首项为，公比为2的等比数列，
故 .
（2）解：设，代入得： ，
因此，是首项为，公差为的等差数列，
令，即，得，为正整数，
故所有的 都在中（小于，不在中），
要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足，
去掉的项为 ，共个（，故不在的前35项中），
故，即的前30项和等于前35项和减去5个 的和，
前35项和：，
去掉的5个的和：，
因此.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1) 利用等差中项性质及 与 的递推关系，构造等比数列求解通项公式；
(2) 先求等差数列 的通项，再找出 中属于 的项，通过分组求和计算 前30项的和。
（1）由等差数列性质得：①，
当时， ，解得，
当时，有：②，
①-②得： ，
整理得： ，
因此是首项为，公比为2的等比数列，
故 .
（2）设，代入得： ，
因此，是首项为，公差为的等差数列，
令，即，得，为正整数，
故所有的 都在中（小于，不在中），
要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足，
去掉的项为 ，共个（，故不在的前35项中），
故，即的前30项和等于前35项和减去5个 的和，
前35项和：，
去掉的5个的和：，
因此.
17．【答案】（1）（i）解：记事件A为“甲答对了某道题”，则.
（ii）解：由题意得，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
故
（2）解：由（1）知，设，
由题意得，，解得，
即，解得，故的最小值为
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)(i) 利用全概率公式，分“自己答对”和“没把握时亲友团答对”两种情况求甲答对某道题的概率；
(ii) 甲答对题目的个数服从二项分布，根据二项分布公式求分布列和数学期望；
(2) 先求出甲答对每道题的概率表达式，再根据“甲答对题目个数比乙多的概率不低于”列不等式，求解p的最小值。
（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，则.
（ii）由题意得，，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
故
（2）由（1）知，设，
由题意得，，解得，
即，解得，故的最小值为
18．【答案】（1）证明：，则以为切点的的切线斜率存在且不为，
设为.
由于该直线和有唯一公共点，
故联立后的方程组只有唯一解.
从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解.
此方程展开即为，从而，所以，
即以点为切点的的切线的斜率为.
（2）（i）证明：设，则，
由（1）可知在处的切线分别是和，
联立两直线方程解得，
所以，由于不在轴上，所以，
故，
所以的纵坐标为，从而，
而，在外，在上，
所以直线的方程是.
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，
故三点共线.
（ii）证明：，理由如下：
设，由（i）可知，
由点确定的切线三角形的面积为，
即后一个切线三角形的面积是前一个切线三角形面积的，
由此继续下去，可得
.
【知识点】导数的几何意义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设出以点 为切点的切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式为零证明切线斜率为 ；
(2)(i) 先求出切线 、 的方程，联立得点 坐标，再求出 、 坐标，通过证明直线 、 方程相同，说明三点共线；
(ii) 先得出各“切线三角形”的面积构成等比数列，再用等比数列求和公式证明 。
（1），则以为切点的的切线斜率存在且不为，
设为.
由于该直线和有唯一公共点，
故联立后的方程组只有唯一解.
从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解.
此方程展开即为，从而，所以，
即以点为切点的的切线的斜率为.
（2）（i）设，则，
由（1）可知在处的切线分别是和，
联立两直线方程解得，
所以，由于不在轴上，所以，
故，
所以的纵坐标为，从而，
而，在外，在上，
所以直线的方程是.
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，
故三点共线.
（ii）.
设，由（i）可知，
由点确定的切线三角形的面积为，
即后一个切线三角形的面积是前一个切线三角形面积的，
由此继续下去，可得
.
19．【答案】（1）解：设 ，则 ，
当或时，，单调递增；
当时， ，单调递减，
又 ，所以在 上最大值为，
所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5.
（2）解：因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令，，
则 ，
当时，恒成立，故在上单调递减，
则 ，
故在上单调递减，此时，符合要求.
当时，令，则，
（i），即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；
（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，此时，符合要求；
（iii）当，即时，若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有 ，解得，因为，
且，即时，符合要求，
综上所述.
（3）证明：若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求；若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为
其中，，，
若，则若，由，则，即，
若，由题意，，，故，
即，又，故，符合要求；
若，则， ，
由，则，
若，即，则 ，
若，由题意，，且，
又，故 ，
即，，，，
即有 ，即，
由 ，故，又，故，
即在上的“凸点”个数不小于.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先求函数导数，判断单调性，找到区间最大值点，从而确定最大“凸点”；
(2) 函数在区间上不存在“凸点”，即 恒成立，通过求导分析单调性，分情况讨论参数 的取值范围；
(3) 用数学归纳或递推分析，结合“凸点”定义与条件 ，证明“凸点”个数不小于 。
（1）设 ，则 ，
当或时，，单调递增；
当时， ，单调递减，
又 ，所以在 上最大值为，
所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5.
（2）因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令，
则 ，
当时，恒成立，故在上单调递减，则 ，
故在上单调递减，此时，符合要求.
当时，令，则，
（i），即时，，即在上单调递增，
则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；
（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，
则，故在上单调递减，此时，符合要求；
（iii）当，即时，若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有 ，解得，因为，
且，即时，符合要求，
综上所述.
（3）若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求；
若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为
其中，，，
若，则若，由，则，即，
若，由题意，，，故，
即，又，故，符合要求；
若，则， ，
由，则，
若，即，则 ，
若，由题意，，且，
又，故 ，
即，，，，
即有 ，即，
由 ，故，又，故，
即在上的“凸点”个数不小于.
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