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广东省惠州市光正实验学校2025届高三下学期五月适应性测试一数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次不等式的解法得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
得，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据共轭复数的定义和复数的混合运算法则，从而得出复数.
3．已知，为单位向量，且，则（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以，
因此，
则．
故答案为：C．
【分析】由得，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
4．已知随机变量，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，正态分布均值，
结合对称性，可知：，
可得，，
所以
当且仅当时，即当时取等号，
所以，的最小值为8.
故答案为：B.
【分析】由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．已知数列满足，，则此数列前项的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的周期性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以，，
则数列是以为周期的周期数列，
因为，，且，
则此数列前项的和．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和递推关系得出数列是以为周期的周期数列，从而计算出、的值，再结合数列的周期性得出数列的前项的和.
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以，
则，所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，从而化简可得的值，再利用二倍角的正弦公式得出的值，再由j计算即可.
7．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
可得，
又因为函数为奇函数，所以，
则，所以，
则，所以，函数是以4为周期的周期函数，
对于，令，则，
对于，令，则，故B正确；
由题意，可知，无法推出，故A错误，
因为，，又因为是否为0不确定，故C、D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合函数的奇偶性和周期性，从而得出函数的周期，再结合赋值法，从而逐项判断找出正确的选项.
8．已知正实数满足，则（　　）
A． B． C．-1 D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得．
因为均为正实数，所以（当且仅当时，即当时取等号），
所以，则，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，，
所以（当且仅当时取等号），
因此，则.
由和，
可得，则，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式和不等式得出，再利用不等式中等号成立的条件，从而构建方程组，进而解出的值，再根据对数的运算法则，从而得出的值.
9．已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（　　）
A．函数为偶函数
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为两函数的对称中心完全相同，则两函数的最小正周期相同，
又因为，所以，则，
所以是的一个对称中心，
则，，
所以，
因为，则当，时满足条件，
所以.
对于选项A：因为，函数定义域为，
所以函数为偶函数，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：当时，不是的对称轴，故C错误；
对于选项D：当时，，则，
所以点是的对称中心，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据两函数的对称中心完全相同结合两函数的最小正周期公式，从而得到的值，再利用函数的对称性和代入法得出的值，从而得到函数解析式，再利用偶函数的定义、三角型函数的对称性判断方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（　　）
A．动点F的轨迹的长度为
B．三棱锥体积的取值范围为
C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，取的中点，连接，
所以，易证，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为为棱的中点，所以，，
则四边形是平行四边形，所以，，
因为，，所以，，
则四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面，
又因为为正方形内一个动点（包括边界），且平面，
所以为的轨迹，
因为，所以动点的轨迹的长度为，故A错误；
对于B，因为，其中为到的距离，
所以，当最小时，最小，
显然在点处时，最小，此时；
当最大时，最大，
显然在点处时，最大，此时，故B正确；
对于C，如图，当三棱锥体积最大时，点在点处，
如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为，
易知，
所以①，②，
③，④，
联立①②③④，解得：，
所以，
则外接球的表面积为，故C正确；
对于D，因为是直角三角形，
所以，外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，
设外接球的球心为，
由，可得，
所以，
解得，
则，
所以，三棱锥外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】取的中点，连接，先判断出四边形是平行四边形和四边形是平行四边形，再结合平行四边形的结构特征和线线平行与线面平行的推关系，从而可得为点的轨迹，进而得出动点F的轨迹的长度，则可判断选项A；利用已知条件和，从而可得点在点M、处，则三棱锥体积最大或最小，则可判断选项B；当三棱锥体积最大时，在处，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，从而建立方程组求出三棱锥的外接球的半径，再根据球的表面积公式，则判断出选项C；利用外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，再求出三棱锥体积的最小值，从而得出三棱锥的外接球的半径，根据球的表面积公式，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．阴影区域的面积大于64
C．
D．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
【答案】C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，
因为顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，
则其方程为，即，故A错误；
对于B、C，由，解得或，则，
由图形的对称性，可得，
所以，
利用图形的对称性，可知另外交点分别为，
因为连接起来的正方形面积为，
所以，阴影部分面积小于64，故B错误、C正确；
对于D，设直线与抛物线相切，
联立，可得，
由，可得且方程，即，
解得，此时，切点坐标为，
设直线与抛物线相切，
联立，可得，
由，可得，此时方程，即，
解得，此时，切点坐标为，
因为两切点连线的斜率为，
所以，切点的连线与直线平行或重合，
则当时，取最大值，且其最大值为，故D对.
故答案为：CD.
【分析】利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，从而得出抛物线方程，则判断出选项A； 求出交点坐标，根据对称性可知阴影面积小于正方形面积求解则判断出选项BC；联立直线方程与抛物线方程得出切点坐标，再利用两点求斜率公式和两直线平行或重合斜率相等，从而得出切点的连线与直线平行或重合，再利用几何法求最值的方法，从而得出直线截第一象限花瓣的弦长最大值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．已知函数是奇函数，则实数　 　．
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，可知函数的定义域为，且函数是奇函数，
则，解得，
则，
又因为
，
所以，可知函数是奇函数，
所以符合题意.
故答案为：1.
【分析】根据奇函数的性质得出实数的值，从而得出函数的解析式，再利用奇函数的定义和已知条件，从而得出实数a的值.
13．若直线与抛物线相切于第一象限点，则　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：法一：设，因为在第一象限，
所以，且，得，
则，解得.
法二：联立直线与抛物线，则，
得，
则，解得，
因为切点位于第一象限，所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两种方法求解.法一：设切点坐标，根据导数的几何意义和代入法，从而得出切点坐标，进而得出k的值.法二：联立直线方程与抛物线方程结合判别式法和切点p的位置，从而得出满足要求的k的值.
14．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是　 　．
①；②；
③；④．
【答案】②③④
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6，
因为小球在下落过程中共碰撞五次，
所以，小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1，
用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数，
则，
又因为且，
由对称性可知：；
；
，
则.
故答案为：②③④.
【分析】利用已知条件得出随机变量X的可能取值，并求得事件A的概率，再利用随机变量Y服从二项分布和，则根据对称性得出随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式计算进而找出结论中正确的序号.
15．在中，角所对的边分别为，已知，且满足
（1）求角的大小
（2）的内心为，求周长的取值范围.
【答案】（1）解：由，
根据正弦定理，得，
由，则，
所以，
因为，所以，
又因为，所以.
（2）解：由（1）可得，则，
设的内心为，
则，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，
得：
所以，
则的周长为，
因为，所以，则，
所以，
则的周长取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件和正弦定理边角互化，再利用同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式，从而得出角B的余弦值，从而得出角B的值.
（2）利用三角形内角和定理得出的值，设的内心为结合，从而得出的值，设，在中，由正弦定理得，再根据三角形周长公式和辅助角公式，则将的周长转化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质求解.
（1）由，
根据正弦定理，得，
由，则，
即，
而，故，
又，
所以
（2）由（1）可得，
即，
设的内心为，即，
故.
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以的周长为
因为，
所以，
所以，
所以，
故的周长取值范围为.
16．如图，四棱柱的棱长均为2，且，，是中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如下图：
由题意，可知为的中点，且为边长是2的等边三角形，
因此，可得，
在中，由，，
可得：，
则，同理可得，
因为，所以为等腰直角三角形，
则，易知，
又因为，，
满足，所以，
因为，平面，
所以平面；
又因为平面，
所以，平面平面.
（2）解：由（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
显然，
可得，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，解得，
令，则，所以，
可得，
由图可知，二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先判断出为等腰直角三角形，从而得出，再利用勾股定理得出，再根据线面垂直、面面垂直的判定定理，即证出平面平面.
（2）由（1）可知两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的大小为锐角，从而得出二面角的余弦值．
（1）连接交于点，连接，如下图：
由题可知为的中点，且为边长是2的等边三角形，
因此，可得，
在中，由，可得：，
即；同理可得；
又，所以为等腰直角三角形，所以；
易知，又，，
接满足，所以；
又，平面，
所以平面；
又因为平面，
所以平面平面
（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
显然，
可得；
设平面的一个法向量为，
则，令，则，；
所以；
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则；
所以；
可得，
由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为.
17．设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为，
当时，，即；
当n≥2时，，
得，
化简得：，
当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）解：，得，
，
两式相减得，
，
，
即，．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据前n项和作差可得即可求出数列的通项；
（2）利用错位相减法，，两式相减即可解出．
18．已知函数
（1）若，讨论函数在的单调性；
（2）若，求证：．
（3）若在上有唯一的零点，求实数的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
，
由，得，
令，则，
所以或，
令，则，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：令，
则，
可得，
令，则，，
则在上单调递减，
当，则在上单调递增，
所以，当时，，
则，
所以.
（3）解：令，
则，
所以在上有唯一的零点，
则与有唯一的交点，
，
由（2）知，
，
在上单调递增，
则，
又因为，
，
则的最小值为1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数极限
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，从而得出函数g(x)的解析式，再利用导数判断函数的单调性，从而讨论出函数在的单调性.
（2）利用a的值得出函数的解析式，再构造，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得到，则证出不等式成立.
（3）利用已知条件，将问题转化为与有唯一的交点，再利用导数求出函数的最值，再根据函数求极限的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最小值.
（1）当时，，
，
由，，
令，则，所以，或，
令，则，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
（2）令，则，可得，
令，则，，在上单调递减，
，在上单调递增，
所以时，即，所以；
（3）令，即，
在上有唯一的零点，即与有唯一的交点，
，由（2）知，
，
在上单调递增，故，，
，的最小值为1．
19．已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值.
【答案】（1）解：因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，
则，
所以，椭圆的方程为，
由，消去得，
因为椭圆与直线相切，
令，
解得，所以，
则椭圆的标准方程为.
（2）解：设直线的方程为，
设点、，的中点为，
联立，
消去得，
则，
由韦达定理，得，，
所以，
代入，解得，
则线段的中点的坐标为，
所以，线段的垂直平分线的方程为，
令，解得，则，
因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形，
要使四边形为正方形，需满足，
所以
，
则，解得，
则的值为.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出，，进而将椭圆的方程化为，再将椭圆的方程与直线的方程联立结合直线与椭圆相切位置关系，由求出的值，进而得出的值，则得出椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，点、，的中点为，将直线方程与椭圆的方程联立列出韦达定理式，利用中点坐标公式求出点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积等于-1和点斜式方程得出直线的方程，则由赋值法求出点的坐标，再根据两向量垂直得出从而求出的值.
（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则，
所以椭圆的方程为，
由消去，得，
因为椭圆与直线相切，
所以令，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设点、，的中点为，
联立消去，得，
，
由韦达定理得，，
所以，代入，解得，
故线段的中点的坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
令，解得，即，
因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形，
要使四边形为正方形，需满足，
所以
，
即，解得，则的值为.
1 / 1广东省惠州市光正实验学校2025届高三下学期五月适应性测试一数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知，为单位向量，且，则（　　）
A． B．2 C． D．4
4．已知随机变量，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．
5．已知数列满足，，则此数列前项的和为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知正实数满足，则（　　）
A． B． C．-1 D．
9．已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（　　）
A．函数为偶函数
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
10．已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（　　）
A．动点F的轨迹的长度为
B．三棱锥体积的取值范围为
C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．阴影区域的面积大于64
C．
D．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
12．已知函数是奇函数，则实数　 　．
13．若直线与抛物线相切于第一象限点，则　 　．
14．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是　 　．
①；②；
③；④．
15．在中，角所对的边分别为，已知，且满足
（1）求角的大小
（2）的内心为，求周长的取值范围.
16．如图，四棱柱的棱长均为2，且，，是中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
17．设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．已知函数
（1）若，讨论函数在的单调性；
（2）若，求证：．
（3）若在上有唯一的零点，求实数的最小值．
19．已知椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点为，点关于直线的对称点为点，若四边形为正方形，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次不等式的解法得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合．
2．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
得，
则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据共轭复数的定义和复数的混合运算法则，从而得出复数.
3．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以，
因此，
则．
故答案为：C．
【分析】由得，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
4．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意，正态分布均值，
结合对称性，可知：，
可得，，
所以
当且仅当时，即当时取等号，
所以，的最小值为8.
故答案为：B.
【分析】由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
5．【答案】D
【知识点】函数的周期性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，得，
所以，，
则数列是以为周期的周期数列，
因为，，且，
则此数列前项的和．
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和递推关系得出数列是以为周期的周期数列，从而计算出、的值，再结合数列的周期性得出数列的前项的和.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，所以，
则，所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，从而化简可得的值，再利用二倍角的正弦公式得出的值，再由j计算即可.
7．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，所以，
可得，
又因为函数为奇函数，所以，
则，所以，
则，所以，函数是以4为周期的周期函数，
对于，令，则，
对于，令，则，故B正确；
由题意，可知，无法推出，故A错误，
因为，，又因为是否为0不确定，故C、D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合函数的奇偶性和周期性，从而得出函数的周期，再结合赋值法，从而逐项判断找出正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，得．
因为均为正实数，所以（当且仅当时，即当时取等号），
所以，则，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，，
所以（当且仅当时取等号），
因此，则.
由和，
可得，则，解得，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式和不等式得出，再利用不等式中等号成立的条件，从而构建方程组，进而解出的值，再根据对数的运算法则，从而得出的值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为两函数的对称中心完全相同，则两函数的最小正周期相同，
又因为，所以，则，
所以是的一个对称中心，
则，，
所以，
因为，则当，时满足条件，
所以.
对于选项A：因为，函数定义域为，
所以函数为偶函数，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：当时，不是的对称轴，故C错误；
对于选项D：当时，，则，
所以点是的对称中心，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据两函数的对称中心完全相同结合两函数的最小正周期公式，从而得到的值，再利用函数的对称性和代入法得出的值，从而得到函数解析式，再利用偶函数的定义、三角型函数的对称性判断方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，取的中点，连接，
所以，易证，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为为棱的中点，所以，，
则四边形是平行四边形，所以，，
因为，，所以，，
则四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面，
又因为为正方形内一个动点（包括边界），且平面，
所以为的轨迹，
因为，所以动点的轨迹的长度为，故A错误；
对于B，因为，其中为到的距离，
所以，当最小时，最小，
显然在点处时，最小，此时；
当最大时，最大，
显然在点处时，最大，此时，故B正确；
对于C，如图，当三棱锥体积最大时，点在点处，
如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为，
易知，
所以①，②，
③，④，
联立①②③④，解得：，
所以，
则外接球的表面积为，故C正确；
对于D，因为是直角三角形，
所以，外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，
设外接球的球心为，
由，可得，
所以，
解得，
则，
所以，三棱锥外接球的表面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】取的中点，连接，先判断出四边形是平行四边形和四边形是平行四边形，再结合平行四边形的结构特征和线线平行与线面平行的推关系，从而可得为点的轨迹，进而得出动点F的轨迹的长度，则可判断选项A；利用已知条件和，从而可得点在点M、处，则三棱锥体积最大或最小，则可判断选项B；当三棱锥体积最大时，在处，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标，从而建立方程组求出三棱锥的外接球的半径，再根据球的表面积公式，则判断出选项C；利用外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，再求出三棱锥体积的最小值，从而得出三棱锥的外接球的半径，根据球的表面积公式，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，
因为顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，
则其方程为，即，故A错误；
对于B、C，由，解得或，则，
由图形的对称性，可得，
所以，
利用图形的对称性，可知另外交点分别为，
因为连接起来的正方形面积为，
所以，阴影部分面积小于64，故B错误、C正确；
对于D，设直线与抛物线相切，
联立，可得，
由，可得且方程，即，
解得，此时，切点坐标为，
设直线与抛物线相切，
联立，可得，
由，可得，此时方程，即，
解得，此时，切点坐标为，
因为两切点连线的斜率为，
所以，切点的连线与直线平行或重合，
则当时，取最大值，且其最大值为，故D对.
故答案为：CD.
【分析】利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，从而得出抛物线方程，则判断出选项A； 求出交点坐标，根据对称性可知阴影面积小于正方形面积求解则判断出选项BC；联立直线方程与抛物线方程得出切点坐标，再利用两点求斜率公式和两直线平行或重合斜率相等，从而得出切点的连线与直线平行或重合，再利用几何法求最值的方法，从而得出直线截第一象限花瓣的弦长最大值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，可知函数的定义域为，且函数是奇函数，
则，解得，
则，
又因为
，
所以，可知函数是奇函数，
所以符合题意.
故答案为：1.
【分析】根据奇函数的性质得出实数的值，从而得出函数的解析式，再利用奇函数的定义和已知条件，从而得出实数a的值.
13．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：法一：设，因为在第一象限，
所以，且，得，
则，解得.
法二：联立直线与抛物线，则，
得，
则，解得，
因为切点位于第一象限，所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两种方法求解.法一：设切点坐标，根据导数的几何意义和代入法，从而得出切点坐标，进而得出k的值.法二：联立直线方程与抛物线方程结合判别式法和切点p的位置，从而得出满足要求的k的值.
14．【答案】②③④
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6，
因为小球在下落过程中共碰撞五次，
所以，小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1，
用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数，
则，
又因为且，
由对称性可知：；
；
，
则.
故答案为：②③④.
【分析】利用已知条件得出随机变量X的可能取值，并求得事件A的概率，再利用随机变量Y服从二项分布和，则根据对称性得出随机变量X的分布列，再由随机变量分布列求数学期望公式计算进而找出结论中正确的序号.
15．【答案】（1）解：由，
根据正弦定理，得，
由，则，
所以，
因为，所以，
又因为，所以.
（2）解：由（1）可得，则，
设的内心为，
则，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，
得：
所以，
则的周长为，
因为，所以，则，
所以，
则的周长取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由已知条件和正弦定理边角互化，再利用同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式，从而得出角B的余弦值，从而得出角B的值.
（2）利用三角形内角和定理得出的值，设的内心为结合，从而得出的值，设，在中，由正弦定理得，再根据三角形周长公式和辅助角公式，则将的周长转化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质求解.
（1）由，
根据正弦定理，得，
由，则，
即，
而，故，
又，
所以
（2）由（1）可得，
即，
设的内心为，即，
故.
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以的周长为
因为，
所以，
所以，
所以，
故的周长取值范围为.
16．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如下图：
由题意，可知为的中点，且为边长是2的等边三角形，
因此，可得，
在中，由，，
可得：，
则，同理可得，
因为，所以为等腰直角三角形，
则，易知，
又因为，，
满足，所以，
因为，平面，
所以平面；
又因为平面，
所以，平面平面.
（2）解：由（1）可知两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
显然，
可得，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，解得，
令，则，所以，
可得，
由图可知，二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先判断出为等腰直角三角形，从而得出，再利用勾股定理得出，再根据线面垂直、面面垂直的判定定理，即证出平面平面.
（2）由（1）可知两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的大小为锐角，从而得出二面角的余弦值．
（1）连接交于点，连接，如下图：
由题可知为的中点，且为边长是2的等边三角形，
因此，可得，
在中，由，可得：，
即；同理可得；
又，所以为等腰直角三角形，所以；
易知，又，，
接满足，所以；
又，平面，
所以平面；
又因为平面，
所以平面平面
（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
显然，
可得；
设平面的一个法向量为，
则，令，则，；
所以；
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则；
所以；
可得，
由图可知，二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：因为，
当时，，即；
当n≥2时，，
得，
化简得：，
当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）解：，得，
，
两式相减得，
，
，
即，．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据前n项和作差可得即可求出数列的通项；
（2）利用错位相减法，，两式相减即可解出．
18．【答案】（1）解：当时，，
，
由，得，
令，则，
所以或，
令，则，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：令，
则，
可得，
令，则，，
则在上单调递减，
当，则在上单调递增，
所以，当时，，
则，
所以.
（3）解：令，
则，
所以在上有唯一的零点，
则与有唯一的交点，
，
由（2）知，
，
在上单调递增，
则，
又因为，
，
则的最小值为1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数极限
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，从而得出函数g(x)的解析式，再利用导数判断函数的单调性，从而讨论出函数在的单调性.
（2）利用a的值得出函数的解析式，再构造，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得到，则证出不等式成立.
（3）利用已知条件，将问题转化为与有唯一的交点，再利用导数求出函数的最值，再根据函数求极限的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最小值.
（1）当时，，
，
由，，
令，则，所以，或，
令，则，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
（2）令，则，可得，
令，则，，在上单调递减，
，在上单调递增，
所以时，即，所以；
（3）令，即，
在上有唯一的零点，即与有唯一的交点，
，由（2）知，
，
在上单调递增，故，，
，的最小值为1．
19．【答案】（1）解：因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，
则，
所以，椭圆的方程为，
由，消去得，
因为椭圆与直线相切，
令，
解得，所以，
则椭圆的标准方程为.
（2）解：设直线的方程为，
设点、，的中点为，
联立，
消去得，
则，
由韦达定理，得，，
所以，
代入，解得，
则线段的中点的坐标为，
所以，线段的垂直平分线的方程为，
令，解得，则，
因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形，
要使四边形为正方形，需满足，
所以
，
则，解得，
则的值为.

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出，，进而将椭圆的方程化为，再将椭圆的方程与直线的方程联立结合直线与椭圆相切位置关系，由求出的值，进而得出的值，则得出椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，点、，的中点为，将直线方程与椭圆的方程联立列出韦达定理式，利用中点坐标公式求出点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积等于-1和点斜式方程得出直线的方程，则由赋值法求出点的坐标，再根据两向量垂直得出从而求出的值.
（1）因为椭圆的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以，则，
所以椭圆的方程为，
由消去，得，
因为椭圆与直线相切，
所以令，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设点、，的中点为，
联立消去，得，
，
由韦达定理得，，
所以，代入，解得，
故线段的中点的坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
令，解得，即，
因为线段和线段互相垂直平分，所以四边形为菱形，
要使四边形为正方形，需满足，
所以
，
即，解得，则的值为.
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