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重庆市第十一中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试题
一、单选题
1．“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ）
A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件
2．下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（　 　）
A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm
C．12cm，5cm，6cm D．1cm，3cm，4cm
3．下列图形中，由能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列运算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
7．下列说法：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②同位角相等；
③平行于同一条直线的两条直线一定平行；
④连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（　　）
A．③④ B．①② C．①③④ D．①②③
8．为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．已知，则下列计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法：
（1）若，则整式的值是3；
（2）若，则；
（3）若，则满足条件的整式共有5个．
其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．现在人们越来越关注健康，每千克某食品中添加剂的安全含量应不超过克，用科学记数法表示这个数为___________．
12．一个角是它余角的2倍，则这个角的度数是______________．
13．袋子里有3个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样．小明从袋子里面摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则袋子里的白球有___________个．
试验总次数 50 100 150 200 250 300
摸到红球的频率 0.25 0.22 0.22 0.21 0.19 0.20
14．若多项式是完全平方式，则的值为___________．
15．如图，在中，平分于点，已知阴影部分的面积为，则点到所在直线的最短距离为___________．
16．一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为，则称这个数为“数”．如：6278，满足，则6278是“140数”，则5298是“___________数”；若一个四位数（其中，且均为整数）为“150数”，记，且是完全平方数，则满足条件的的最小值是___________．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．利用整式乘法公式计算：
(1)；
(2)．
19．如图，点在上，且于点．
(1)尺规作图，过点，作交延长线于点（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作图形基础上，若，求证：．请填空．证明：
（___________）
又
（___________）．
又（已知）
___________（___________）
（___________）
20．我校开展垃圾分类网上知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分A、B、C、D四个等级），其中获得A等级和C等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下．根据以上信息，解答下列问题：
(1)共抽取了___________名学生；
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数；
(3)A等级中有4名女生，B等级中有11名女生，学校计划从等级为A或B的学生中抽取1名参加区级垃圾分类网上知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？
21．如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．先化简，再求值：，其中满足．
23．如图，已知，且，点在的延长线上，且平分．
(1)求证：；
(2)写出之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，求的度数．
24．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为的长方形．
(1)取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：___________；
(2)如果用若干张三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图；
(3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖部分面积记为，若，求出大正方形的面积．
(4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙不重叠地放在长方形框架内，图中两个阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为．设，当的长度变化时，要使的值始终保持不变，则之间应满足怎样的数量关系？请说明理由．
25．解答下列问题：
(1)如图1，在中，点在线段上，且与的面积相等．已知，并且的长度是一个正整数．过点作，与的延长线交于点．请求出线段的长度．
(2)如图2，在四边形中，与均为等腰直角三角形，其中，且．判断与的面积是否相等，并写出推理过程．
(3)在（2）的条件下，已知，并且的面积为．如图3，现计划架设一条笔直的输水管道，点在边上，且的延长线经过线段的中点．若管道的造价为每米300元，求架设该管道的总造价．
参考答案
1．B
解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件．
2．B
解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴A.1cm，2cm，4cm，∵1+2＜4，∴无法围成三角形，选项错误，不符合题意；
B.8cm，6cm，4cm，∵4+6＞8，∴能围成三角形，选项正确，符合题意；
C.12cm，5cm，6cm，∵5+6＜12，∴无法围成三角形，选项错误，不符合题意；
D.1cm，3cm，4cm，∵1+3=4，∴无法围成三角形，选项错误，不符合题意．
故选：B．
3．C
解：A、∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）；
B、D、由无法证得，故错误；
C、∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
又（对顶角相等），
本选项正确.
4．B
解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．B
解：A.，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：B．
6．B
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故选B．
7．C
解：① 根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①正确；
② 同位角相等的前提是两直线平行，题目未给出该条件，故②错误；
③ 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线一定平行，故③正确；
④ 根据垂线段的性质，连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，故④正确；
因此正确的是①③④．
8．C
解：如图所示，连接，
当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则，
又∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
9．B
解：A、，代入，，
，A错误；
B、，代入已知得，等式成立，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误．
10．B
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，原说法错误；
（2）∵，
∴当时，
∵，
∴当时，
∴，原说法正确；
（3）∵，且为自然数，为正整数，
∴当时，或或，
当时，或
当时，，
∴符合条件的整式A共有 个，原说法错误；
∴正确的只有（2）．
11．
解：．
12．/60度
【详解】设这个角的度数为x，则余角是，根据题意，得
，
解得，
所以这个角的度数是．
故答案为：．
13．12
解：观察表格发现，随着试验总次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在0.20附近，
∴从中摸出1个球是红球的概率的估计是0.20，
设袋子里的白球有个，
由题意得，，
解得，
经检验：得是方程的解，
∴袋子里的白球有个．
14．
解：完全平方式的结构为，
多项式中，首项，末项，
因此中间项满足，
整理得，
解得．
15．
解：延长交于点，过点作于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴， ，
∴阴影部分的面积，
解得，
又，
∴，
点A到所在直线的最短距离．
16． 150
解：∵，
∴5298是“150数”；
∵为“150数”，
∴，
∴，
∴，
∵和150都能被10整除，
∴能被10整除，即是的整数倍，
∵，，，，且，，，均为整数，且各个数位上数字互不相同，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∵，且，均为整数，且各个数位上数字互不相同，
∴，
∵是完全平方数，
∴一定是11与一个完全平方数的乘积，即一定是11的整数倍，
∴，
∴，
∴或或或或，
当时，，，此时；
当时，，（，舍）；
当时，，（，舍）；
当时，，，此时；
当时，，，；
∵，
∴满足条件的M的最小值是．
17．(1)1
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．(1)见解析
(2)两直线平行，同位角相等；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：
（两直线平行，同位角相等）
又
．
又（已知）
（同角的余角相等）
（内错角相等，两直线平行）
20．(1)40
(2)见解析；
(3)
（1）解：名，
∴共抽取了40名学生；
（2）解：D等级的人数为人，
补全统计图如下：
扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数为；
（3）解：，
∴抽到女生的概率是．
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵上的高线与上的高线相交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
22．，
解：
，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
如图，过点作，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：∵，，
∴，
如图，过点作，
由（2）知，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)图见解析
(3)88
(4)，理由见解析
（1）解：由图可知，，，
阴影部分面积可表示为：或；
∴可得到等式为：
（2）解：如图：
（3）解：由图可知，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴大正方形的面积88．
（4）解：．
理由如下：
设，由图可知，，，
∴
，
∵当的长度变化时，的值始终保持不变，即的值与无关，
∴，
∴．
25．(1)6
(2)与的面积相等，推理过程见解析
(3)18000元
（1）解：∵与的面积相等，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∴，
∵的长度是一个正整数，
∴，
∴；
（2）解：与的面积相等，推理过程如下：
如图所示，取的中点O，过点B作，交的延长线于点F，
同理可证明，
∴，
∵，
∴
∵与均为等腰直角三角形，其中，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：过点作，交的延长线于，
∴，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
．
由（2）得：与的面积相等，
，
又∵，
，
∴架设该管道的总造价为元．

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