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2025-2026学年度第二学期5月份月考
九年级数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 计算的结果是（ ）
A. 5 B. C. 1 D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．支架 和与地面平行，．当为多少度时，平行于支撑杆？（　　）
A. 15 B. 60 C. 70 D. 115
4. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A. B. C. D.
5. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化
7. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交 于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线 ，与 相交于点，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，， 与的距离为5，则的值为（ ）
A. B. 1 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 写出一个使分式的值大于1的x值：________．
10. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________．
11. 在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______．
12. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，代表氧原子，○代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在轴上，点在轴上．若，，，则点坐标为___________．
14. 如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交 于点，连接，下列结论①，②，③，④四边形为菱形，其中一定正确的是________．（请将正确结论的序号填在横线上）．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 中国古代的“四书”是指论语孟子大学中庸，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是论语和大学的概率是多少？
17. 某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30%
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
（2）受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
18. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．）
（1）在图①中，画出一条格点线段，使；
（2）在图②中，画出格点线段，使且；
（3）在图③中，作出线段 的三等分点
19. 6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）．
（1）图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果．
①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”）
②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势．
（2）小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图．
①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号）
②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视．
20. 如图，在四边形中，，，点E是 的中点，且平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）已知，，求线段的长．
21. 新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线 上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
22. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；
（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
23. 如图①，中，中，，边 与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿 方向匀速运动，速度为，与 交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
（2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线 对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24. 我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ）
②函数一定不是“对偶函数”；（ ）
③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ）
（2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
（3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，写出一个符合条件的值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
【9题答案】
【答案】4（答案不唯一）
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】三角形具有稳定性
【12题答案】
【答案】20
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】①②④
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．
（2）需要准备公斤大米．
【18题答案】
【答案】略
【19题答案】
【答案】（1）①抽样调查；
②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降；
（2）①B；
②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间．
【20题答案】
【答案】（1）
证明：∵点E是 的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）
【21题答案】
【答案】（1）
（2），的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个；
预测我国2025年发明专利申请授权数万个
【22题答案】
【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
（2）
（3）
【23题答案】
【答案】（1）当时，点A在线段的垂直平分线上
（2）
（3）存在使
【24题答案】
【答案】（1）①√；②√；③×
（2）
（3）1（答案不唯一，满足即可）

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