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第十七章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设(　　)
A．a不平行于b　 B．a平行于b
C．a不垂直于c D．b不垂直于c
2．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是(　　)
A．AB：BC：CA＝3：4：5 B．∠A＝20°，∠B＝70°
C．AB＝BC＝CA D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠C＝48°，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数是(　　)
A．15° B．16° C．18° D．20°
(第3题)　(第4题)
4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的长为(　　)
A. B. C. D．1
5．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60°方向以9节(1节＝1 n mile/h)的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2 h后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是(　　)
A．9 n mile B．12 n mile C．15 n mile D．30 n mile
(第5题)　(第6题)(第7题)
6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是(　　)
A．AB＝DC B．AC＝DB
C．∠ABC＝∠DCB D．∠ABD＝∠DCA
7．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC＝∠ACD＝2∠B，下列判断正确的是(　　)
①若AB＝27，△ADC的周长为43，则CD＝11；②若∠A＝36°，则图中共有2个等腰三角形．
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
(第8题)　　(第9题)
9.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(　　)
A. B. C．4 D．5
10．我们称网格线的交点为格点．如图，在6×5的长方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则符合条件的格点C的个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
(第10题)　(第11题)
11．如图，圆柱底面半径为 cm，高为36 cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一高线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为(　　)
A．39 cm B．30 cm C．18 cm D．24 cm
12．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接AD，BE相交于点Q，与BC，CD分别交于点M，N.连接MN，QC.下列说法：①∠AQB＝60°；②△CMN是等边三角形；③QC平分∠AQE；④△AMC≌△BNC；⑤QC2＋QD2＝2QE2，其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
(第12题)　(第13题)　(第15题)
二、填空题(每题3分，共12分)
13．如图，若AB＝AC＝BC＝DB，则∠D的度数为________．
14．已知x，y为一个等腰三角形的两条边长，并满足y＝＋3＋3，则此等腰三角形的周长为________．
15．将两块斜边长等于2的三角板(Rt△ABC与Rt△ABD)的斜边完全叠合，按如图所示摆放，E为AB的中点，连接EC，ED，CD，那么△ECD的面积等于________．
16.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．
(1)任意写出满足条件的一组勾股数：__________．
(2)某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，则该直角三角形的面积为__________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)如图，已知线段AB.用两种不同的方法作△ABC，使得∠ACB＝90°，且AC＝BC.要求：(1)尺规作图；(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
18．(8分)如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
19．(8分)如图，在△ABC中，AC>AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
20．(8分)在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围250 m范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？
21．(12分)如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF.
(1)请你判断AD与EF的位置关系，并说明理由；
(2)若AB＋AC＝20，S△ABC＝60，求DE的长．
22．(14分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)设AP的长为x，则PC＝________，QC＝________.
(2)当∠BQD＝30°时，求AP的长．
(3)在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不发生变化，直接写出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
23．(14分)如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，连接AC.
(1)求证：△FBD≌△ACD；
(2)延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF；
(3)在(2)的条件下，若H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②. 试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．
答案
一、1.A　2.D　3.D　4.A　5.D　6.D　7.A　8.A　9.C
10．C 【解析】如图，分情况讨论：①当AB为底边时，符合条件的格点C有2个；②当AB为其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．故符合条件的格点C有5个．
11．A
12．C 【解析】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠BCE＝∠ACD.在△BCE和△ACD中，∵ ∴△BCE≌△ACD(SAS)．∴∠CAD＝∠CBE.∵∠AMC＝∠BMQ，∴∠AQB＝∠ACB＝60°，故①正确；②∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCN＝60°.∵∠CAM＝∠CBN，AC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝60°，∴△AMC≌△BNC(ASA)．∴CM＝CN.∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故②④正确；
③如图①，过点C作CH⊥AD于点H，CG⊥BE于点G，∴∠AHC＝∠BGC＝90°.∵AC＝BC，∠CAH＝∠CBG，∴△ACH≌△BCG(AAS)．∴CH＝CG.又∵CH⊥AD，CG⊥BE，∴QC平分∠AQE，故③正确；⑤如图②，过点C作CK∥BE，交AD于点K，由③知QC平分∠AQE，∵∠AQB＝60°，∴∠AQE＝120°，∴∠EQC＝60°.∵CK∥BE，∴∠EQC＝∠KCQ＝60°＝∠DCE.∴∠QCE＝∠KCD.∵△BCE≌△ACD，∴∠ADC＝∠BEC.∵CD＝CE，∴△DCK≌△ECQ(ASA)．∴CK＝CQ，QE＝KD.∵∠KCQ＝60°，∴△CKQ是等边三角形．∴KQ＝CQ.∴QE＝DK＝KQ＋QD＝CQ＋QD.∴QE2＝(CQ＋QD)2＝CQ2＋2CQ·QD＋QD2，故⑤不正确．综上，正确的有①②③④，共4个．
二、13.30°　14.7或8　15.
16．(1)8，15，17(答案不唯一)
(2)210 【解析】∵n＝5，∴a＝(m2－25)，b＝5m，c＝(m2＋25)．∵直角三角形的一边长为37，∴分三种情况讨论：①当a＝37，即(m2－25)＝37时，解得m＝±3(不合题意，舍去)；②当b＝37，即5m＝37时，m＝(不合题意，舍去)；③当c＝37，即(m2＋25)＝37时，解得m＝±7.∵m>n>0，m，n是互质的奇数，∴m＝7.当m＝7时，a＝(m2－25)＝×(72－25)＝12，b＝5m＝35.∴该直角三角形的三条边长分别为12，35，37.∴该直角三角形的面积为×12×35＝210.
三、17.【解】如图，△ABC即为所求．
方法一：如图①，作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D，在射线DM上取DC，使得DC＝AD，最后连接AC，BC即可得所求的△ABC.
　　
方法二：如图②，分别以点A，B为垂足作AD⊥AB，BE⊥AB，再作∠DAB和∠EBA的平分线交于点C，即可得所求的△ABC.
18．【解】∵CE，BF是两条高，∴∠AEC＝∠AFB＝90°.
又∵∠A＝70°，∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°.
又∵∠BCE＝30°，∴∠ACB＝30°＋20°＝50°.
∴∠FBC＝90°－50°＝40°.
19．【证明】假设点D与点E重合．
∵AD是△ABC的中线，AE⊥BC，
∴AD垂直平分BC.
∴AB＝AC，这与AC>AB相矛盾．
∴点D与点E不重合．
20．【解】如图，过点C作CD⊥AB于点D,
∵BC＝400 m，AC＝300 m，CA⊥CB，
∴在Rt△ABC中，AB＝＝500(m).
∵AB·CD＝BC·AC，∴CD＝240 m.
∵240<250，∴有危险，AB段公路需要暂时封锁．
21．【解】(1)AD垂直平分EF.理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中，∵
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．∴AE＝AF.
又∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF.
(2)∵DE＝DF，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝DE(AB＋AC)＝60.
∵AB＋AC＝20，∴DE＝6.
22．【解】(1)6－x；6＋x
(2)过点P作PF∥QC交AB于点F，则易得△AFP是等边三角形，∠DQB＝∠DPF，∴AP＝FP＝AF.∵P，Q同时出发且速度相同，∴BQ＝AP.∴BQ＝FP.
又∵∠BDQ＝∠FDP，∠DQB＝∠DPF，∴△DBQ≌△DFP(AAS)．∴BD＝FD.易知∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝∠BQD＝30°，∴DF＝FP＝AF.∴BD＝DF＝FA＝AB＝×6＝2.∴AP＝2.
(3)在运动过程中，线段ED的长不发生变化．ED的长为3.
23．(1)【证明】∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°.
在△FBD和△ACD中，∵
∴△FBD≌△ACD(SAS)．
(2)【证明】∵BE⊥AC，∴∠BEA＝∠BEC＝90°.
∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.∴CE＝AC.
由(1)知△FBD≌△ACD，∴BF＝CA，∴CE＝BF.
(3)【解】BG2＝GE2＋CE2.证明如下：连接CG，
∵H是BC边的中点，BD＝CD，
∴HD垂直平分BC.∴BG＝CG.
∵BE⊥AC，∴在Rt△CEG中，CG2＝GE2＋CE2.
∴BG2＝GE2＋CE2.

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