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第十三章全等三角形 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共36分)
1.蔚县剪纸是河北省蔚县地方传统手工剪纸技艺，国家级非物质文化遗产代表性项目之一，下列每组剪纸是全等图形的是(　　)
2．下列命题中，原命题和逆命题均是真命题的是(　　)
A．同旁内角互补，两直线平行 B．若a＝b，则a2＝b2
C．末位数字是5的数，能被5整除 D．全等三角形的周长相等
3．如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一直线上，BC＝1.8，CD＝3.2，则AE＝(　　)
A．3.2 B．1.8 C．1.6 D．1.4
(第3题)　(第4题)　(第6题)
4．如图，△ABC≌△CDE，B，C，D三点在一条直线上，下面结论不一定正确的是(　　)
A．∠B＝∠D B．∠ACE＝∠D
C．BD＝AB＋DE D．AB∥CE
5．根据下列条件，利用尺规作△ABC，作出的△ABC不唯一的是(　　)
A．AB＝7，AC＝5，∠A＝60° B．AC＝5，∠A＝60°，∠C＝80°
C．AB＝7，AC＝5，∠B＝40° D．AB＝7，BC＝6，AC＝5
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，BE∥AC，DE交AB于点M.若M是AB边的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形BCDE的面积等于(　　)
A．12 B．14 C．24 D．48
7．如图是一个4×4的正方形网格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于(　　)
A．585° B．540° C．270° D．315°
(第7题)
　　　　　　(第8题)　　　　(第9题)
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，作CF与AB交于点D，BG与AC交于点E，连接AF，CG，△AFD≌△ACD，△BCE≌△GCE.甲：∠DBE＝∠ECD；乙：∠F＋∠G＝50°；丙：CF＝BG.甲、乙、丙的说法正确的是(　　)
A．甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
9．如图，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则m＋n与b＋c的大小关系是(　　)
A．m＋n＞b＋c B．m＋n＜b＋c C．m＋n＝b＋ D．无法确定
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，BE，AD相交于点O，连接OC，则图中共有全等三角形(　　)
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
(第10题)
　　　　　　(第11题)　　　　　　(第12题)
11.小李用7块长为5 cm、高为2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，如图，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AB＝BC，∠ABC＝90°)，点B在DE上，点A，C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为(　　)
A．21 cm B．23 cm C．24 cm D．28 cm
12．如图，已知线段AB＝18 m，MA⊥AB于点A，MA＝6 m，射线BD⊥AB于点B，点P从点B向A运动，每秒走1 m，点Q从点B出发沿射线BD运动，每秒走2 m，点P，Q同时从点B出发，出发x s后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为(　　)
A．4 B．6 C．4或9 D．6或9
二、填空题(每题3分，共12分)
13．要使一个六边形框架稳固且不活动，至少要钉________根木条．
14. 如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是________．(只需写出一个)
(第14题)
　　　　　　(第15题)　　　　　　(第16题)
15．如图，把两块大小相同的含45°的直角三角板ACF和直角三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝12°，∠CFD＝33°，连接DE，则∠DEC的度数为________．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，延长BC至F，使BF＝AB，连接PF交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF⊥AD；③△APH≌△FPD；④AH＋BD＝AB，其中正确的有________．(填序号)
三、解答题(共72分)
17．(8分)如图，已知直角α，线段m，利用尺规作直角三角形ABC，使∠C＝90°，AC＝m，BC＝2m.不写作法，但要保留作图痕迹．
18．(8分)如图，点A在射线OX上，OA＝a.如果线段OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1)按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为________；
(2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3，74°)表示，连接A′A，A′B.求证：A′A＝A′B.
19．(10分)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)若∠1＝30°，∠2＝40°，求∠3的度数．
20．(10分)如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°，连接EF.求证：BE＋DF＝EF.
21．(10分)小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB，如图②，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8 cm，OD＝17 cm.求DE的长．
22．(12分)在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，点E是AB边上一点，连接CE.
(1)如图①，作BF⊥CE于点F，交CD于点G.求证：AE＝CG.
(2)如图②，作AM⊥CE，交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M，找出图中与BE相等的线段，并证明．
23．(14分)CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝β.
(1)直线CD经过∠BCA内部，且E，F在射线CD上．
①若∠BCA＝90°，β＝90°，如图①，则BE______CF，EF______|BE－AF|(填“＞”“＜”或“＝”)；
②若0°＜∠BCA＜180°，且β＋∠BCA＝180°，如图②，①中的两个结论还成立吗？请说明理由．
(2)如图③，若直线CD经过∠BCA外部，且β＝∠BCA，请写出线段EF，BE，AF的数量关系，并证明．
答案
一、1.C　2.A　3.D　4.D　5.C　6.C　7.A　8.B　9.A　10.A
11．B 【解析】由题意可得∠ADB＝∠BEC＝90°，AD＝3×5＝15(cm)，CE＝4×2＝8(cm)．∵∠ABC＝90°，∠ABC＋∠ABD＋∠CBE＝180°，∴∠ABD＋∠CBE＝90°.∵∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠DAB＝90°.∴∠CBE＝∠DAB.在△ADB和△BEC中，∵∴△ADB≌△BEC(AAS)．∴DB＝CE＝8 cm，BE＝AD＝15 cm.∴DE＝DB＋BE＝8＋15＝23(cm)．∴两堵木墙之间的距离为23 cm.故选B.
12．B 【解析】∵AB＝18 m，点P每秒走1 m，∴18÷1＝18(s)．∴0＜x＜18，由题意得BP＝x m，BQ＝2x m，则AP＝(18－x)m.当△APC≌△BQP时，AP＝BQ，即18－x＝2x，解得x＝6，此时AC＝BP＝6 m，符合题意；当△APC≌△BPQ时，AP＝BP＝AB＝9 m，AC＝BQ，此时所用时间为9÷1＝9(s)，则AC＝BQ＝2×9＝18(m)＞6 m，不符合题意，舍去．综上，x的值为6.
二、13.3　14.AC＝DF(答案不唯一)
15．66° 【解析】如图，作FH⊥FE交AC于点H，∵∠AFC＝∠EFH＝90°，∴∠AFH＝∠CFE＝12°.∵∠A＝∠FCE＝45°，FA＝FC，∴△FAH≌△FCE.∴FH＝FE.∵∠DFE＝∠CFE＋∠DFC＝12°＋33°＝45°，∴∠DFH＝45°＝∠DFE.又∵DF＝DF，∴△DFE≌△DFH.
∴∠DEF＝∠DHF＝∠A＋∠AFH＝45°＋12°＝57°.∵∠FEB＝∠CFE＋∠FCE＝57°，∴∠DEC＝180°－57°－57°＝66°.
16．①②③④ 【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°.∵△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，∴∠PAB＝∠PAC＝∠CAB，∠PBA＝∠PBC＝∠CBA，∴∠BPD＝∠PAB＋∠PBA＝(∠CAB＋∠CBA)＝45°，∴∠APB＝180°－∠BPD＝135°，故①正确．∵AB＝FB，∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠FPB＝∠APB＝135°，AP＝FP，∴∠APF＝360°－∠FPB－∠APB＝90°，∴PF⊥AD，故②正确．∵∠APH＝∠ACB＝90°，∴∠PAH＋∠ADC＝90°，∠F＋∠ADC＝90°，∴∠PAH＝∠F.在△APH和△FPD中，∴△APH≌△FPD(ASA)，故③正确．如图，延长HP交AB于点Q，则∠APH＝∠APQ＝∠DPQ＝90°，∴∠BPQ＝∠DPQ－∠BPD＝45°，∴∠BPD＝∠BPQ.在△APH和△APQ中，∴△APH≌△APQ(ASA)，∴AH＝AQ.在△BPD和△BPQ中，
∴△BPD≌△BPQ(ASA)，∴BD＝BQ，∴AH＋BD＝AQ＋BQ＝AB，故④正确．
三、17.【解】作出的直角三角形ABC如图所示．
18．(1)(3，37°)
(2)【证明】如图．
∵B(3，74°)，∴∠AOB＝74°，OB＝3.∵∠AOA′＝37°，∴∠A′OB＝∠AOB－∠AOA′＝74°－37°＝37°＝∠AOA′.∵OA＝3，∴OA＝OB.
又∵OA′＝OA′，∴△AOA′≌△BOA′(SAS)，
∴A′A＝A′B.
19．(1)【证明】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠EAC.
在△ABD和△ACE中，∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)【解】∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2，∠BAD＝∠1.
又∵∠3＝∠ABD＋∠BAD，
∴∠3＝∠1＋∠2＝30°＋40°＝70°.
20．【证明】延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°.
∴∠ADG＝90°＝∠B.
在△ABE和△ADG中，∵
∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.
∴∠EAF＝∠GAF.
在△AEF和△AGF中，∵
∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝GF.
∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF.
21．【解】∵OB⊥OC，∴∠BOD＋∠COE＝90°.
∵CE⊥OA，BD⊥OA，∴∠CEO＝∠ODB＝90°.
∴∠BOD＋∠B＝90°.∴∠COE＝∠B.
由题知OB＝OC.
在△COE和△OBD中，∵
∴△COE≌△OBD(AAS)．∴OE＝BD＝8 cm.
又∵OD＝17 cm，∴DE＝OD－OE＝17－8＝9(cm)．
22．(1)【证明】∵D是AB的中点，∴AD＝BD.
又∵AC＝BC，CD＝CD，∴△ACD≌△BCD(SSS)．
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°.∴∠CAE＝∠BCG.
∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°.∴∠CBG＋∠BCF＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCF＝90°.∴∠ACE＝∠CBG.
又∵AC＝BC，∴△AEC≌△CGB(ASA)．∴AE＝CG.
(2)【解】BE＝CM.
证明：∵△ACD≌△BCD，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∴∠BEC＋∠MCH＝90°.
∵CH⊥HM，∴∠CHM＝90°.
∴∠CMA＋∠MCH＝90°.∴∠CMA＝∠BEC.
由(1)知∠ACM＝∠CBE＝45°.
又∵AC＝BC，∴△CAM≌△BCE(AAS)．∴BE＝CM.
23．【解】(1)①＝；＝ 【解析】分情况讨论：如题图①，当点E在点F的左侧时，∵β＝90°，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∠BCE＋∠ACF＝90°.∴∠CBE＋∠BCE＝90°.∴∠CBE＝∠ACF.在△BCE和△CAF中，∵∴△BCE≌△CAF(AAS)．∴BE＝CF，CE＝AF.∴EF＝CF－CE＝BE－AF；当点E在点F的右侧时，同理可证BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CE－CF＝AF－BE.∴EF＝|BE－AF|.
② ①中的两个结论仍然成立．理由：如题图②，当点E在点F左侧时，∵∠BEC＝∠CFA＝β，β＋∠ACB＝180°，∴易得∠CBE＝∠ACF.在△BCE和△CAF中，∵∴△BCE≌△CAF(AAS)．∴BE＝CF，CE＝AF.∴EF＝CF－CE＝BE－AF；当点E在点F的右侧时，同理可证BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CE－CF＝AF－BE.∴EF＝|BE－AF|.
(2)EF＝BE＋AF. 证明：∵∠BEC＝∠CFA＝β，β＝∠BCA，∠EBC＋∠BCE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠ACB＝180°，∴∠EBC＋∠BCE＝∠BCE＋∠ACF.∴∠EBC＝∠ACF.
在△BEC和△CFA中，∵
∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴AF＝CE，BE＝CF.
∵EF＝CE＋CF，∴EF＝BE＋AF.

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