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江苏省梅村高级中学2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列满足，，则的公比为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．108
5．正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（ ）
A．3 B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期 B．的图象关于点中心对称
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
10．已知某软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（ ）
月份x 1 2 3 4 5
利润y 5 8 10 12 15
A．
B．可以估计10月份的利润为26.8（万元）
C．1到5月份的利润数据的第60百分位数为10（万元）
D．5月份利润的残差为（万元）
11．某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ）
A．该几何体可能是三棱锥
B．该几何体可能是四棱柱
C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱
D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱
三、填空题
12．已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______．
13．已知函数，则的最小值是_____________．
14．已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为______（请用表示）．

四、解答题
15．数列中，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
16．在中，内角的对边分别为．已知．
(1)求的值；
(2)证明：．
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：．
18．在正三棱台中，，，分别是，的中点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求.
19．已知椭圆的焦距为2，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求点到直线距离的取值范围．
参考答案
1．B
解析：由，可得，
所以．
故选：B．
2．A
解析：因为，所以，所以，
因为，所以，即或，所以.
故选：A.
3．A
解析：等比数列满足，则，解得或，而，
当时，，与矛盾；当时，，
所以数列的公比.
4．B
解析：选个空盒：种，
分配个小球到个非空盒
情况一（分法）：种
情况二（分法）：种
总分配方法; 种，
总放法数：种
故选：
5．C
解析：将正六棱台还原成正六棱锥，则正六棱锥的下底面是边长为4的正六边形，侧棱长为，
其高，以正六棱台上底面为底面的正六棱锥底面边长为2，
侧棱长为，其高，
因此该正六棱台的体积.
故选：C
6．B
解析：当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
7．B
解析：设，因为，
则，
又因为向量夹角的范围为，所以两两的夹角相等，且为，
所以.
故选：B.
8．A
解析：如下图所示：
因为，、分别为、的中点，则，
又因为，，故，
所以，
由题意可知，故为钝角，
所以，，
故，
在中，，，，
由余弦定理可得，
解得．
故选：A.
9．BD
解析：对于A：的最小正周期，故A错误；
对于B：令，，得，，
即的图象关于（）对称，当时，得对称中心为，故B正确；
对于C：令，，解得，，
取得，即在上单调递减，故C错误；
对于D：令，，解得，，
即的图象关于对称，
当时，得对称轴为，
即的图象关于直线对称，故D正确.
故选：BD.
10．AB
解析：选项A：根据表中数据可得，
则，故A正确；
选项B：估计10月份的利润（万元），故B正确；
选项C：由，
则1到5月份的利润数据的第60百分位数为（万元），故C错误；
选项D：5月份利润的估计值为，
则残差为（万元），故D错误.
故选：AB
11．AC
解析：对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，
像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确；
对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误；
对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面，
要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起，
必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可，
实际上，当时，，
在中，，
则，
则，即可得，即此时即可满足题意，C正确；
对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形，
设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a，
因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱，
则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误.
12．
解析：将分解质因数：，而也为因数，
则所有正因数为：，共个.
13．
解析：［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
故答案为：.
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
故答案为：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
故答案为：.
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
故答案为：.
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．
14．
解析：根据题意，圆，可得，
所以该圆的圆心为，所以，，
所以，
设点，，易知斜率不为0，设方程为，
联立抛物线方程消去可得，所以，
又，两式相乘可得，
所以，
因，当且仅当时等号成立．
即时，取得最小值.
故答案为：
15．（1）证明见解析；（2）.
解：（1）∵①，
∴②，
①②：③，
∴④，
④③：，
∴，
∴是以1首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得是以1首项，2为公差的等差数列，
同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，
又，故，
∴前101项的偶数项和为，
前101项的奇数项和为，
∴．
16．(1)
(2)证明：在中，由余弦定理，得
因为，所以.
解析：（1）由，得，整理，得.
在中，由余弦定理，得.
把代入上式，得，
因为，所以.
在中，由正弦定理，得
（2）略
17．(1)当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明见解析
解析：（1）因为，，
则当时，，所以，在上单调递增.
当时，由，解得，所以在上单调递增，
由，得，所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，欲证，
即证.
设，，则.
而和在上都是单调递减，
则在上单调递减.
又因为，，
则，使得，即，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
则极大值为
.
设，，
则，
而时，，则，在上单调递增，
所以，即，
所以，即.
18．(1)
证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结.
在正三棱台中，，是正三角形，
因为，分别是，的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，四边形是平行四边形.
因为几何体是正三棱台，
所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以.
又平面，平面，所以.
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以.
在正三棱台中，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，.
所以.
所以四边形是矩形.
(2)
(3)
解析：（1）略
（2）法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结.
由（1）可知，平面，即平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面.
所以为直线与平面所成角.
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，.
在等腰中，.
在中，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法二：
过作.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

在正三棱台中，，，不妨设，
则，，，.
设上底面的中心为，在直角梯形中，，
，，所以.
故，又，
所以,.
设为平面的法向量，
即，取，得，，
所以是平面的一个法向量.
又，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件.
显然，当，时，，.
由全概率公式，当，时，
可得，
即，整理得.
所以当，时，，
又，，，
所以当，时，为定值，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
可得.
19．(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
解析：（1）由题意易知：，，，故，，
因此椭圆；
（2）（ⅰ）若直线斜率不存在，则由对称性可知，此时直线斜率均不存在，
故设，设，，
由，可得，
所以，，
记，则直线，
由，可得，
所以，
故，
代入直线，可得，
同理：，
因此
，
故有；
（ⅱ）设，则，．
由于，，三点共线，
故，
进而，
化简可得：，因此，即，
则，
当A，C重合时，，或（舍去），
不妨取，此时，即，
此时到AB的距离为；
同理，当B，D重合时，到AB的距离也为；
故点到直线距离的取值范围为.

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