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第四章核心素养测评卷
指数函数与对数函数
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·四川德阳高一期末)函数f(x)＝2x＋3x－6的零点所在的区间为(　B　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
【解析】∵y＝2x和y＝3x－6均为R上的增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在R上单调递增，而f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点所在的区间为(1，2).
2.(2025·安徽黄山高一期末)若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x等于(　C　)
A.a＋2b－3c B.a＋b2－c2
C. D.
【解析】∵lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg ，∴x＝.
3.(2025·贵州六盘水高一期末)星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg ，则(　A　)
A.2等星的亮度是7等星亮度的100倍
B.7等星的亮度是2等星亮度的100倍
C.2等星的亮度是7等星亮度的10倍
D.7等星的亮度是2等星亮度的10倍
【解析】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则7－2＝－2.5lg lg ＝
－2 ，即2等星的亮度是7等星亮度的100倍.
4.(2025·杭州高一阶段练习)若函数f在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】∵y＝－x2＋ax＋3＝－＋3＋是开口向下，对称轴为直线x＝的抛物线，且y＝2x是增函数，由复合函数的单调性判断可知，≤2，解得a≤4.
5.(2025·台州高一期中)已知f(x)＝log2(＋x)，f(a)＝，f(－a)等于(　D　)
A.1 B.
C.－ D.1－
【解析】f＋f＝log2＋log2＝log22＝1，
∵f，∴f＝1－.
6.(2025·宁波高一期中)已知f，若a＝f，b＝f，c＝f，则(　D　)
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
【解析】∵f∴b＝f＝lg 3，又1＜e＜3＜π，且f＝lg x，在[1，＋∞)时单调递增，∴f＞f＞f，即f＞f＞f，∴c＜b＜a.
7.(2025·杭州高一期中)已知函数f若函数y＝2f2＋3af＋1－2a有6个不同的零点，则实数a的取值可以是(　C　)
A.－3 B.3
C.－e2 D.e2
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，
结合图象可知，令t＝f(x)，则可得方程2t2＋3at＋1－2a＝0有两个不相等的实数根t1，t2，不妨设t1＞t2，∴Δ＝9a2＋16a－8＞0，解得a＞，或a＜
－，若函数y＝2f2＋3af＋1－2a有6个不同的零点，根据图象可知当t1＝0，t2＝1时符合题意，此时a无解；当0＜t1＜1，t2＞1时，满足函数有
6个不同的零点，令g(t)＝2t2＋3at＋1－2a，根据二次函数根的分布可知此时需满足解得a＜－3，∴实数a的取值可以是－e2.
8.(2025·湖北高一期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数f(x)＝[x]称为高斯函数，其中x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－1.1]＝－2，[2.5]＝2，则方程[2x＋1]＋[x]＝4x的所有大于零的解之和为(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】 x∈R， k∈Z，使k≤2x＋1＜k＋1，则[2x＋1]＝k，于是≤x＜，2k－2≤4x＜2k，若k为奇数，则∈Z，[x]＝，[2x＋1]＋[x]＝k＋＝4x，则2k－2≤＜2k，解得－1＜k≤3，k＝1，或k＝3，当k＝1时，0≤x＜，
[x]＝0，[2x＋1]＝1，1＋0＝4x，解得x＝∈，当k＝3时，1≤x＜，
[x]＝1，[2x＋1]＝3，3＋1＝4x，解得x＝1∈；若k为偶数，则∈Z，则[x]＝－1，[2x＋1]＋[x]＝k＋－1＝4x，则2k－2≤－1＜2k，解得－2＜k≤2，k＝0，或k＝2，当k＝0时，－≤x＜0，[x]＝－1，[2x＋1]＝0，－1＋0＝4x，解得x＝－∈，当k＝2时，≤x＜1，[x]＝0，[2x＋1]＝2，0＋2＝4x，解得x＝∈，∴所有大于零的解之和为＋1＋.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列计算中，正确的是(　AB　)
A.＋2 0230＝7 B.2lg 5＋lg 4－＝0
C.log2(log0.50.5)＝1 D.()2＋＝0
【解析】＋2 0230＝2＋4＋1＝7，A正确；2lg 5＋lg 4－＝lg 25＋lg 4－2＝lg 100－2＝2－2＝0，B正确；log2(log0.50.5)＝log21＝0，C错误；由题意，得a－1≥0，∴a≥1，∴1－a≤0，∴()2＋＝a－1＋a－1＝2a－2，D错误.
10.(2025·广东汕尾高一期末)已知函数f＝lg －lg ，则函数f(　AD　)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.在定义域上递增 D.在定义域上递减
【解析】∵函数f＝lg －lg 有意义，∴解得－1＜
x＜1，即函数f(x)的定义域为(－1，1)，由f＝lg －lg ＝－f(x)，得函数f(x)是奇函数，A正确，B错误；函数f(x)＝lg ＝lg ，函数
u＝－1在(－1，1)上单调递减，函数y＝lg u在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在定义域上单调递减，C错误，D正确.
11.(2025·宁波高一期中)已知函数f(x)＝x3－，若 x∈R，f(x2－x)＋f(m－x)＋2＞0恒成立，则(　ABC　)
A.函数f(x)＋1是奇函数 B.函数f(x)－1是增函数
C. x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题 D.m可以为0
【解析】函数f(x)＝x3－的定义域为R，对于A，f(x)＋1＝x3＋，
f(－x)＋1＝－x3＋＝－x3＋＝－[f(x)＋1]，函数f(x)＋1是奇函数，A正确；对于B，函数y＝2x＋1在R上单调递增，则函数y＝在R上单调递减，而y＝x3在R上单调递增，∴函数f(x)在R上单调递增，函数f(x)－1是增函数，B正确；对于C， x∈R，f(x2－x)＋f(m－x)＋2＞0 f(x2－x)＋1＞－[f(m－x)＋1] f(x2－x)＋1＞f(x－m)＋1，∴x2－x＞x－m x2－2x＋m＞0， x∈R，x2－
2x＋m＞0是真命题，C正确；对于D，由C知，Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，
D错误.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C A A D D C D AB AD ABC
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.不等式≤2的解集为　{x|x≥0}　.
【解析】∵2＝，∴原不等式可以化为≤.又y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，解得x≥0，∴原不等式的解集为{x|x≥0}.
13.(2025·江苏高一阶段练习)已知函数f＝ln －kx为偶函数，则实数k的值为　1　.
【解析】函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx为偶函数，则f(x)－f(－x)＝ln (e2x＋1)－kx－ln (e－2x＋1)－kx＝0，即2kx＝ln ＝ln ＝ln e2x＝2x，而x不恒为0，∴k＝1.
14.(2025·杭州高一检测)已知f＝log3，对正整数k，如果f(k)满足：f＋f＋f＋…＋f为整数，则称k为“好数”，由区间[2，81]内所有“好数”组成的集合记为A，则集合A＝　{7，25，79}　.
【解析】∵f(x)＝log3＝log3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(k＋1)＝
log3＋log3＋log3＋…＋log3＝log3(2××××…×)＝log3(k＋2)，
∵log3为整数，∴区间内的“好数”为7，25，79.∴集合A＝.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间.
解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝－f(－x)＝＝－2x，
∴f(x)＝
(2)函数图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递增区间.
16.(15分)(2025·山东临沂高一检测)已知函数f(x)＝4x－a·2x－3，a∈R，且为常数.
(1)当a＝2时，求f(x)＞0的解集；
(2)当x∈，恒有f(x)＞－4，求实数a的取值范围.
解：(1)a＝2时，f(x)＝4x－－3，令2x＝t＞0，则y＝t2－2t－3，t2－2t－3＞0，解得t＞3，故2x＞3，解得x＞log23，故不等式f(x)＞0的解集为.
(2)4x－a·2x－3＞－4 4x－a·2x＋1＞0，x∈，则t＝2x∈，即t2－at＋1＞0在t∈[1，4]上恒成立，故t＋＞a在t∈[1，4]上恒成立，其中y＝
t＋在t∈[1，4]上单调递增，故当t＝1时，y＝t＋取得最小值，最小值是2，故a＜2，即a∈(－∞，2).
17.(15分)(2025·杭州高一期中)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，根据下图提供的信息，解答下列问题.
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：小时)之间的函数关系式；
(2)为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.
解：(1)∵图中直线过点(0.1，1)，∴图象中线段的方程为y＝10t(0≤t≤0.1)，又点(0.1，1)在曲线y＝上，∴1＝，∴a＝0.1，∴从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：小时)之间的函数关系式为y＝
(2)∵药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，∴只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，即≤0.25，∴≤，∴5≥2，解得t≥0.5，∴从药物释放开始，至少需要经过0.5小时，学生才能回到教室.
18.(17分)(2025·广东深圳高一期中)已知函数f(a∈N*，b∈N*)的图象经过点A，B.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3)求关于x的不等式f(x2－m)＋f((m－1)x)＞3的解集.
(1)解：由题意可知解得a＝2，b＝2，或a＝，b＝1，∵a∈N*，
b∈N*，∴a＝2，b＝2，∴f(x)＝.
(2)证明：∵f＋f＝3，x∈R，
∴曲线y＝f(x)关于点对称，故曲线y＝f(x)是中心对称图形.
(3)解：由(1)可知，f＝1＋，易知函数y＝2x＋1在R上单调递增，且y＞1，∴f(x)在R上单调递减.
由(2)可知，f(－(m－1)x)＝3－f((m－1)x)，
由f(x2－m)＋f((m－1)x)＞3，得f(x2－m)＞3－f((m－1)x)，即f(x2－m)＞f(－(m－1)x)，
根据f(x)在R上单调递减，得x2－m＜－(m－1)x，整理得x2＋x－m＜0，即＜0.
当m＞－1时，解得－m＜x＜1；
当m＝－1时，无解；
当m＜－1时，解得1＜x＜－m.
综上可知，当m＞－1时，原不等式的解集为{x|－m＜x＜1}；当m＝－1时，原不等式的解集为 ；当m＜－1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜－m}.
19.(17分)设区间A是函数y＝f(x)定义域内的一个子集，若存在x0∈A，使得f＝x0成立，则称x0是f(x)的一个不动点，也称f(x)在区间A上存在不动点，例如g(x)＝2x－1的不动点满足g＝2x0－1＝x0，即g(x)的不动点是x0＝1.设函数f＝log2，x∈[1，2].
(1)若a＝0，求函数f(x)的不动点；
(2)若函数f(x)在[1，2]上存在不动点，求实数a的取值范围.
解：(1)由不动点定义知当a＝0时，f＝log2＝x，∴4x－6＝2x，
即－2x－6＝0，解得2x＝3，或2x＝－2(舍去)，∴x＝log23，且log23∈，∴函数f(x)在x∈[1，2]上的不动点为log23.
(2)根据已知，得log2＝x在x∈[1，2]上有解，∴4x＋a·2x－1－6＝2x在x∈[1，2]上有解，令2x＝t，t∈[2，4]，∴t2＋t－6＝t，即t2＋
t－6＝0在t∈[2，4]上有解，∴1－＝t－在t∈[2，4]上有解，设
g＝t－，t∈[2，4]，则g在t∈[2，4]上单调递增，故g∈，∴－1≤1－≤，可得－3≤a≤4，又4x＋a·2x－1－6＞0在x∈[1，2]上恒成立，∴－＜2x－在x∈[1，2]上恒成立，则－＜－1，则a＞2.综上，实数a的取值范围是.(共39张PPT)
　高中数学 必修 第一册
第四章核心素养测评卷
指数函数与对数函数
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·四川德阳高一期末)函数f(x)＝2x＋3x－6的零点所在的区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
【解析】∵y＝2x和y＝3x－6均为R上的增函数，∴函数f(x)＝
2x＋3x－6在R上单调递增，而f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点所在的区间为(1，2).
B
2.(2025·安徽黄山高一期末)若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x等于(　　)
A.a＋2b－3c B.a＋b2－c2
C. D.
【解析】∵lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg ，∴x＝.
C
3.(2025·贵州六盘水高一期末)星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式
m2－m1＝－2.5lg ，则(　　)
A.2等星的亮度是7等星亮度的100倍
B.7等星的亮度是2等星亮度的100倍
C.2等星的亮度是7等星亮度的10倍
D.7等星的亮度是2等星亮度的10倍
A
【解析】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则7－2＝
－2.5lg lg ＝－2 ，即2等星的亮度是7等星亮度的100倍.
4.(2025·杭州高一阶段练习)若函数f在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】∵y＝－x2＋ax＋3＝－＋3＋是开口向下，对称轴为直线x＝的抛物线，且y＝2x是增函数，由复合函数的单调性判断可知，≤2，解得a≤4.
A
5.(2025·台州高一期中)已知f(x)＝log2(＋x)，f(a)＝
，f(－a)等于(　　)
A.1 B.
C.－ D.1－
【解析】f＋f＝log2＋log2＝log22＝1，∵f，∴f＝1－.
D
6.(2025·宁波高一期中)已知f，若a＝f，b＝
f，c＝f，则(　　)
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
【解析】∵f∴b＝f＝lg 3，又1＜e＜3＜π，且f＝lg x，在[1，＋∞)时单调递增，
∴f＞f＞f，即f＞f＞f，∴c＜b＜a.
D
7.(2025·杭州高一期中)已知函数
f若函数y＝2f2＋3af＋1
－2a有6个不同的零点，则实数a的取值可以是(　　)
A.－3 B.3
C.－e2 D.e2
C
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，
结合图象可知，令t＝f(x)，则可得方程
2t2＋3at＋1－2a＝0有两个不相等的实数
根t1，t2，不妨设t1＞t2，∴Δ＝9a2＋16a
－8＞0，解得a＞，或a＜－，
若函数y＝2f2＋3af＋1－2a有6个不同的零点，根据图象可知当t1＝0，t2＝1时符合题意，此时a无解；当0＜t1＜1，
t2＞1时，满足函数有6个不同的零点，令g(t)＝2t2＋3at＋1－2a，根据二次函数根的分布可知此时需满足解得a＜－3，∴实数a的取值可以是－e2.
8.(2025·湖北高一期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数f(x)＝[x]称为高斯函数，其中x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－1.1]＝－2，[2.5]＝2，则方程[2x＋1]＋[x]＝4x的所有大于零的解之和为(　　)
A. B.
C. D.
D
【解析】 x∈R， k∈Z，使k≤2x＋1＜k＋1，则[2x＋1]＝k，于是≤x＜，2k－2≤4x＜2k，若k为奇数，则∈Z，[x]＝，[2x＋1]＋[x]＝k＋＝4x，则2k－2≤＜2k，解得－1＜k≤3，k＝1，或k＝3，当k＝1时，0≤x＜，[x]＝0，[2x＋1]＝1，1＋0＝4x，解得x＝∈，当k＝3时，1≤
x＜，[x]＝1，[2x＋1]＝3，3＋1＝4x，解得x＝1∈；
若k为偶数，则∈Z，则[x]＝－1，[2x＋1]＋[x]＝k＋－
1＝4x，则2k－2≤－1＜2k，解得－2＜k≤2，k＝0，或k＝2，当k＝0时，－≤x＜0，[x]＝－1，[2x＋1]＝0，－1＋0＝4x，解得x＝－∈，当k＝2时，≤x＜1，[x]＝0，[2x＋1]＝2，0＋2＝4x，解得x＝∈，∴所有大于零的解之和为＋1＋.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列计算中，正确的是(　　)
A.＋2 0230＝7 B.2lg 5＋lg 4－＝0
C.log2(log0.50.5)＝1 D.()2＋＝0
AB
【解析】＋2 0230＝2＋4＋1＝7，A正确；2lg 5＋
lg 4－＝lg 25＋lg 4－2＝lg 100－2＝2－2＝0，B正确；log2(log0.50.5)＝log21＝0，C错误；由题意，得a－1≥0，∴a≥1，∴1－a≤0，∴()2＋＝a－1＋a－1＝2a－2，D错误.
10.(2025·广东汕尾高一期末)已知函数f＝lg －
lg ，则函数f(　　)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.在定义域上递增 D.在定义域上递减
AD
【解析】∵函数f＝lg －lg 有意义，∴解得－1＜x＜1，即函数f(x)的定义域为(－1，1)，由f＝lg －lg ＝－f(x)，得函数f(x)是奇函数，A正确，B错误；函数f(x)＝lg ＝lg ，函数u＝－1在(－1，1)上单调递减，函数y＝lg u在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在定义域上单调递减，C错误，D正确.
11.(2025·宁波高一期中)已知函数f(x)＝x3－，若 x∈R，
f(x2－x)＋f(m－x)＋2＞0恒成立，则(　 　)
A.函数f(x)＋1是奇函数
B.函数f(x)－1是增函数
C. x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题
D.m可以为0
ABC
【解析】函数f(x)＝x3－的定义域为R，对于A，f(x)＋1＝
x3＋，f(－x)＋1＝－x3＋＝－x3＋＝－[f(x)＋1]，函数f(x)＋1是奇函数，A正确；对于B，函数y＝2x＋1在R上单调递增，则函数y＝在R上单调递减，而y＝x3在R上单调递增，∴函数f(x)在R上单调递增，函数f(x)－1是增函数，B正确；对于C， x∈R，f(x2－x)＋f(m－x)＋2＞0 f(x2－x)＋1＞－[f(m－x)＋1] f(x2－x)＋1＞f(x－m)＋1，∴x2－x＞x－m
x2－2x＋m＞0， x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，C正确；对于D，由C知，Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.不等式≤2的解集为_____________.
【解析】∵2＝，∴原不等式可以化为≤.
又y＝在R上是减函数，∴3x－1≥－1，解得x≥0，∴原不等式的解集为{x|x≥0}.
{x|x≥0}
13.(2025·江苏高一阶段练习)已知函数f＝ln －kx为偶函数，则实数k的值为__________.
【解析】函数f(x)＝ln (e2x＋1)－kx为偶函数，则f(x)－f(－x)＝ln (e2x＋1)－kx－ln (e－2x＋1)－kx＝0，即2kx＝ln ＝
ln ＝ln e2x＝2x，而x不恒为0，∴k＝1.
1
14.(2025·杭州高一检测)已知f＝log3，对正整数k，如果f(k)满足：f＋f＋f＋…＋f为整数，则称k为“好数”，由区间[2，81]内所有“好数”组成的集合记为
A，则集合A＝______________.
【解析】∵f(x)＝log3＝log3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(k＋1)＝log3＋log3＋log3＋…＋log3＝log3(2××××…×)＝log3(k＋2)，∵log3为整数，∴区间内的“好数”为7，25，79.∴集合A＝.
{7，25，79}
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，
f(x)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间.
解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝－f(－x)＝＝－2x，
∴f(x)＝
(2)函数图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递增区间.
16.(15分)(2025·山东临沂高一检测)已知函数f(x)＝4x－a·2x－3，a∈R，且为常数.
(1)当a＝2时，求f(x)＞0的解集；
(2)当x∈，恒有f(x)＞－4，求实数a的取值范围.
解：(1)a＝2时，f(x)＝4x－－3，令2x＝t＞0，则y＝t2－2t－3，t2－2t－3＞0，解得t＞3，故2x＞3，解得x＞log23，故不等式f(x)＞0的解集为.
(2)4x－a·2x－3＞－4 4x－a·2x＋1＞0，x∈，则t＝2x∈，即t2－at＋1＞0在t∈[1，4]上恒成立，故t＋＞a在t∈[1，4]上恒成立，其中y＝t＋在t∈[1，4]上单调递增，故当t＝1时，y＝t＋取得最小值，最小值是2，故a＜2，即a∈(－∞，2).
17.(15分)(2025·杭州高一期中)为了预
防流感，某学校对教室用药熏消毒法
进行消毒.已知药物释放过程中，室内
每立方米空气中的含药量y(单位：毫
克)与时间t(单位：小时)成正比；药物
释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，根据下图提供的信息，解答下列问题.
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：小时)之间的函数关系式；
(2)为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.
解：(1)∵图中直线过点(0.1，1)，∴图象中线段的方程为y＝10t(0≤t≤0.1)，又点(0.1，1)在曲线y＝上，∴1＝，∴a＝0.1，∴从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：小时)之间的函数关系式为
y＝
(2)∵药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，∴只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室，即≤0.25，∴≤，∴5≥2，解得t≥0.5，∴从药物释放开始，至少需要经过0.5小时，学生才能回到教室.
18.(17分)(2025·广东深圳高一期中)已知函数f(a∈N*，b∈N*)的图象经过点A，B.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3)求关于x的不等式f(x2－m)＋f((m－1)x)＞3的解集.
(1)解：由题意可知解得a＝2，b＝2，或a＝，
b＝1，∵a∈N*，b∈N*，∴a＝2，b＝2，∴f(x)＝.
(2)证明：∵f＋f
＝3，x∈R，∴曲线y＝f(x)关于点对称，故曲线
y＝f(x)是中心对称图形.
(3)解：由(1)可知，f＝1＋，易知函数y＝2x＋1在R上单调递增，且y＞1，∴f(x)在R上单调递减.
由(2)可知，f(－(m－1)x)＝3－f((m－1)x)，
由f(x2－m)＋f((m－1)x)＞3，得f(x2－m)＞3－f((m－1)x)，即f(x2－m)＞f(－(m－1)x)，
根据f(x)在R上单调递减，得x2－m＜－(m－1)x，整理得x2＋x－m＜0，即＜0.
当m＞－1时，解得－m＜x＜1；
当m＝－1时，无解；
当m＜－1时，解得1＜x＜－m.
综上可知，当m＞－1时，原不等式的解集为{x|－m＜x＜1}；当m＝－1时，原不等式的解集为 ；当m＜－1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜－m}.
19.(17分)设区间A是函数y＝f(x)定义域内的一个子集，若存在x0∈A，使得f＝x0成立，则称x0是f(x)的一个不动点，也称f(x)在区间A上存在不动点，例如g(x)＝2x－1的不动点满足g＝2x0－1＝x0，即g(x)的不动点是x0＝1.设函数f＝log2，x∈[1，2].
(1)若a＝0，求函数f(x)的不动点；
(2)若函数f(x)在[1，2]上存在不动点，求实数a的取值范围.
解：(1)由不动点定义知当a＝0时，f＝log2＝x，
∴4x－6＝2x，即－2x－6＝0，解得2x＝3，或2x＝－2(舍去)，∴x＝log23，且log23∈，∴函数f(x)在x∈[1，2]上的不动点为log23.
(2)根据已知，得log2＝x在x∈[1，2]上有
解，∴4x＋a·2x－1－6＝2x在x∈[1，2]上有解，令2x＝t，t∈
[2，4]，∴t2＋t－6＝t，即t2＋t－6＝0在t∈[2，4]上有解，∴1－＝t－在t∈[2，4]上有解，设g＝t－，t∈[2，4]，则g在t∈[2，4]上单调递增，故g∈，
∴－1≤1－≤，可得－3≤a≤4，又4x＋a·2x－1－6＞0在x∈[1，2]上恒成立，∴－＜2x－在x∈[1，2]上恒成立，则－＜－1，则a＞2.综上，实数a的取值范围是.第四章核心素养测评卷
指数函数与对数函数
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·四川德阳高一期末)函数f(x)＝2x＋3x－6的零点所在的区间为(　 　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
2.(2025·安徽黄山高一期末)若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x等于(　 　)
A.a＋2b－3c B.a＋b2－c2
C. D.
3.(2025·贵州六盘水高一期末)星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg ，则(　 　)
A.2等星的亮度是7等星亮度的100倍
B.7等星的亮度是2等星亮度的100倍
C.2等星的亮度是7等星亮度的10倍
D.7等星的亮度是2等星亮度的10倍
4.(2025·杭州高一阶段练习)若函数f在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
5.(2025·台州高一期中)已知f(x)＝log2(＋x)，f(a)＝，f(－a)等于(　 　)
A.1 B.
C.－ D.1－
6.(2025·宁波高一期中)已知f，若a＝f，b＝f，c＝f，则(　 　)
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
7.(2025·杭州高一期中)已知函数f若函数y＝2f2＋3af＋1－2a有6个不同的零点，则实数a的取值可以是(　 　)
A.－3 B.3
C.－e2 D.e2
8.(2025·湖北高一期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数f(x)＝[x]称为高斯函数，其中x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－1.1]＝－2，[2.5]＝2，则方程[2x＋1]＋[x]＝4x的所有大于零的解之和为(　 　)
A. B.
C. D.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列计算中，正确的是(　 　)
A.＋2 0230＝7 B.2lg 5＋lg 4－＝0
C.log2(log0.50.5)＝1 D.()2＋＝0
10.(2025·广东汕尾高一期末)已知函数f＝lg －lg ，则函数f(　 　)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.在定义域上递增 D.在定义域上递减
11.(2025·宁波高一期中)已知函数f(x)＝x3－，若 x∈R，f(x2－x)＋f(m－x)＋2＞0恒成立，则(　 　)
A.函数f(x)＋1是奇函数 B.函数f(x)－1是增函数
C. x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题 D.m可以为0
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.不等式≤2的解集为　 　.
13.(2025·江苏高一阶段练习)已知函数f＝ln －kx为偶函数，则实数k的值为　 　.
14.(2025·杭州高一检测)已知f＝log3，对正整数k，如果f(k)满足：f＋f＋f＋…＋f为整数，则称k为“好数”，由区间[2，81]内所有“好数”组成的集合记为A，则集合A＝　 　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间.
16.(15分)(2025·山东临沂高一检测)已知函数f(x)＝4x－a·2x－3，a∈R，且为常数.
(1)当a＝2时，求f(x)＞0的解集；
(2)当x∈，恒有f(x)＞－4，求实数a的取值范围.
17.(15分)(2025·杭州高一期中)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，根据下图提供的信息，解答下列问题.
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)与时间t(单位：小时)之间的函数关系式；
(2)为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.
18.(17分)(2025·广东深圳高一期中)已知函数f(a∈N*，b∈N*)的图象经过点A，B.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3)求关于x的不等式f(x2－m)＋f((m－1)x)＞3的解集.
19.(17分)设区间A是函数y＝f(x)定义域内的一个子集，若存在x0∈A，使得f＝x0成立，则称x0是f(x)的一个不动点，也称f(x)在区间A上存在不动点，例如g(x)＝2x－1的不动点满足g＝2x0－1＝x0，即g(x)的不动点是x0＝1.设函数f＝log2，x∈[1，2].
(1)若a＝0，求函数f(x)的不动点；
(2)若函数f(x)在[1，2]上存在不动点，求实数a的取值范围.

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