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阶段核心素养测评卷(二)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·黑龙江大庆高一期末)若扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的半径为(　 　)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝
sin 的图象，则φ的值为(　 　)
A. B.
C. D.
3.某单位职工的工资经过六年变成了原来的8倍，则每年比上一年平均增长的百分率是(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈1.44，≈1.35)(　 　)
A.35% B.41%
C.44% D.73%
4.若函数f(x)＝2sin ωx在x＝时取得最小值，则ω的最小值是(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
5.设函数f(x)的定义域是A，则满足对任意x∈A，恒有f(x)＋f(2－x)＝2的函数是(　 　)
A.f(x)＝log2x B.f(x)＝
C.f(x)＝2x D.f(x)＝x2
6.如图所示，某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)之间的关系可用函数f＝Asin ＋5近似刻画，据此可估计当天12 h的水深为(　 　)
A. m B.4 m
C. m D. m
7.将函数y＝2cos 2的图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则a的最小值是(　 　)
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)＝·＋x3，x∈的值域为，则
f(m＋n)等于(　 　)
A. B.2a
C.2 D.0
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则a的取值可以是(　 　)
A.－2 B.2
C.3 D.4
10.已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值可以是(　 　)
A.－1 B.0
C.2 D.3
11.关于函数f(x)＝下列说法中正确的是(　 　)
A.f(x)是周期为2的周期函数
B.f(2)＝2
C.不等式f(x)＞1的解集是∪
D.若存在实数a，b，c(a＜b＜c)满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c＋的取值范围是[10，19)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.计算：＝ 　，＝　 　.
13.方程3的解集为 　.
14.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的取值可能是　 　(填序号).
①；②；③；④.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)化简：÷(a＞0，b＞0)；
(2)计算：log535＋2lo－log5－log514；
(3)计算：＋1.5－2＋.
16.(15分)已知函数f(x)＝1－2cos 2(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为2π.
(1)求ω的值；
(2)若α∈，且f(α)＝－，求cos α的值.
17.(15分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos 2x＋m(m∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴；
(2)当x∈时，f(x)的最大值是9，求实数m的值.
18.(17分)(2025·广东广州高一期末)已知函数f(x)＝loga(a2x＋1)－bx(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象经过点(0，1)，.
(1)证明：函数f(x)的图象是轴对称图形；
(2)求关于x的不等式2f(x)＋x－2x－7≤0的解集；
(3)若函数y＝f(x)－m有且只有一个零点，求实数m的值.
19.(17分)(2025·黑龙江牡丹江高一检测)在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足x∈N*，y∈N*(其中N*表示正整数)的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”.
(1)写出当m＝时，函数f(x)＝sin mx，x∈(0，10)图象上的正格点坐标；
(2)若函数f(x)＝sin mx，x∈R，m∈(1，2)与函数g(x)＝lg x的图象有正格点交点，求m的值；
(3)对于(2)中的m值和函数f(x)＝sin mx，若当x∈时，不等式logax＞f恒成立，求实数a的取值范围.(共32张PPT)
　高中数学 必修 第一册
阶段核心素养测评卷(二)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·黑龙江大庆高一期末)若扇形的圆心角为，弧长为
2π，则该扇形的半径为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】∵扇形的圆心角为，弧长为2π，∴该扇形的半径为
r＝＝3.
A
2.将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin ，故φ＝.
A
3.某单位职工的工资经过六年变成了原来的8倍，则每年比上一年平均增长的百分率是(参考数据：≈1.41，≈1.73，
≈1.44，≈1.35)(　　)
A.35% B.41%
C.44% D.73%
【解析】设该职工原工资为p，平均增长率为x，则p(1＋x)6＝8p，解得x＝－1＝－1≈41%.
B
4.若函数f(x)＝2sin ωx在x＝时取得最小值，则ω的最小值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】由题意，得f＝2sin ω＝－2，∴ω＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝2＋，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值2.
B
5.设函数f(x)的定义域是A，则满足对任意x∈A，恒有f(x)＋
f(2－x)＝2的函数是(　　)
A.f(x)＝log2x B.f(x)＝
C.f(x)＝2x D.f(x)＝x2
【解析】∵满足对任意x∈A，恒有f(x)＋f(2－x)＝2，∴函数f(x)关于点(1，1)中心对称.f(x)＝＋1的对称中心为点(1，1)，B符合题意.
B
6.如图所示，某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)之间的关系可用函数f＝Asin ＋
5近似刻画，据此可估计当天12 h的水
深为(　　)
A. m
B.4 m
C. m
D. m
A
【解析】由题图可得＝18－6＝12，则ω＝，当sin(ωx＋φ)＝－1时，y取得最小值，为－A＋5＝2，得A＝3，∵函数y＝3sin＋5的图象过点，∴3sin＋5＝，即sin φ＝－，又|φ|＜，∴φ＝－，∴y＝3sin＋5.当x＝12时，y＝3sin＋5＝－＋5＝.
7.将函数y＝2cos 2的图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则a的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】∵y＝2cos2＝cos＋1＝cos＋1＝sin 2x＋1，∴将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度后，得到函数y＝sin[2(x－a)]＋1＝sin(2x－2a)＋1的图象.又所得图象关于y轴对称，∴2a＝kπ＋，k∈Z，即a＝，k∈Z，∴a的最小值为.
C
8.已知函数f(x)＝·＋x3，x∈的值域为，则f(m＋n)等于(　　)
A. B.2a
C.2 D.0
【解析】由题意，得f(x)＝|x|·＋x3，则f(－x)＝
|－x|·－x3＝－|x|·－x3＝－f(x)，且x∈(a＞0)，即定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数.又f(x)的值域是，∴m＋n＝0，则f(m＋n)＝f(0)＝0.
D
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则a的取值可以是(　 　)
A.－2 B.2
C.3 D.4
【解析】∵sin α＞0，cos α≤0，∴3a－9≤0，且a＋2＞0，解得－2＜a≤3.
BC
10.已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值可以是(　 　)
A.－1 B.0
C.2 D.3
CD
【解析】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，等价于函数
y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点.画出函数图象如图所示，结合函数图象可知，当a＝1时有两个交点，当a＞1时有且只有一个交点.
11.关于函数f(x)＝下列说法中正确的是
(　 　)
A.f(x)是周期为2的周期函数
B.f(2)＝2
C.不等式f(x)＞1的解集是∪
D.若存在实数a，b，c(a＜b＜c)满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋
c＋的取值范围是[10，19)
BCD
【解析】当x＞2时，y＝－log2x＋2单调递减，故f(x)不可能为周期函数，A错误；f(2)＝2cos 2π＝2，B正确；当0≤x≤2时，由f(x)＝2cos πx＞1得cos πx＞，又πx∈[0，2π]，∴πx∈∪，解得x∈∪.当x＞2时，由－log2x＋2＞1，得0＜x＜2，与x＞2矛盾，舍去，C正确；
a＋b＋c＋≥a＋b＋2＝a＋b＋8.当0≤x≤2时，f(x)＝
2cos πx关于直线x＝1对称，∴由“存在实数a，b，c(a＜b＜c)满足f(a)＝f(b)＝f(c)”得a＋b＝2，c∈(2，16)，∴a＋b＋c＋∈[10，19)，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.计算：＝________，＝_________.
【解析】＝6.
13.方程3的解集为________________________.
【解析】∵3，∴2cos2x＝，解得
cos x＝±，∴x＝2kπ±，或x＝2kπ＋π±，k∈Z，即x＝kπ±，k∈Z，∴原方程的解集为.
14.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的取值可能是________
(填序号).
①；②；③；④.
③④
【解析】由图象可知，a＞1，且a2＜loga2.∵＜1，∴①错误；∵＞2＝lo＞lo2，∴②错误；＜2＝lo＜lo2，∴③正确；∵＜2＝lo＜lo2，∴④正确.综上，实数a的取值可能是③④.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)化简：÷(a＞0，b＞0)；
(2)计算：log535＋2lo－log5－log514；
(3)计算：＋1.5－2＋.
解：(1)原式＝·b－2÷＝a－1b0＝.
(2)原式＝log5－2log2＝log5125－2×＝3－
1＝2.
(3)原式＝－1－－5＝－
6＝－6＝－.
16.(15分)已知函数f(x)＝1－2cos 2(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为2π.
(1)求ω的值；
(2)若α∈，且f(α)＝－，求cos α的值.
解：(1)∵f(x)＝1－2cos2＝－cos，
∴T＝＝2π，∴ω＝.
(2)由题意，得f(α)＝－cos＝－，则cos.∵α∈，∴α＋∈，∴sin，
∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin××.
17.(15分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos 2x＋m(m∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴；
(2)当x∈时，f(x)的最大值是9，求实数m的值.
解：(1)f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＋m＝sin 2x＋3×＋m＝sin 2x＋cos 2x＋m＋2＝2sin＋m＋2.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.由2x＋＋kπ，k∈Z，得x＝
，k∈Z，∴函数f(x)的对称轴为直线x＝，k∈Z.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，∴2sin＋m＋2∈，∴4＋m＝9，解得
m＝5.
18.(17分)(2025·广东广州高一期末)已知函数f(x)＝loga(a2x＋1)－bx(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象经过点(0，1)，.
(1)证明：函数f(x)的图象是轴对称图形；
(2)求关于x的不等式2f(x)＋x－2x－7≤0的解集；
(3)若函数y＝f(x)－m有且只有一个零点，求实数m的值.
证明：由题意可知，解得a＝2，
b＝1，∴f(x)＝log2(4x＋1)－x.易知f(x)的定义域为R，
∵f(－x)＝log2(4－x＋1)＋x＝log2＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，∴函数f(x)＝log2(4x＋1)－x是偶函数，故函数f(x)的图象是轴对称图形.
(2)解：不等式2f(x)＋x－2x－7≤0可化为－2x－7≤0，即4x－2x－6≤0，解得－2≤2x≤3，又2x＞0，∴0＜2x≤3，
解得x≤log23，故原不等式的解集为.
(3)解：由(1)可知，f(x)＝log2(4x＋1)－x，由题意可知，
log2(4x＋1)＝x＋m，得2x＋m＝4x＋1，即2m＝＝2x＋，
令t＝2x(t＞0)，又函数g(t)＝t＋在(0，1]上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，∴2m＝g(1)＝2，解得m＝1.
19.(17分)(2025·黑龙江牡丹江高一检测)在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足x∈N*，y∈N*(其中N*表示正整数)的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”.
(1)写出当m＝时，函数f(x)＝sin mx，x∈(0，10)图象上的正格点坐标；
(2)若函数f(x)＝sin mx，x∈R，m∈(1，2)与函数g(x)＝lg x的图象有正格点交点，求m的值；
(3)对于(2)中的m值和函数f(x)＝sin mx，若当x∈时，不等式logax＞f恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)∵m＝，∴f(x)＝sin x，x∈(0，10)，
∴函数的正格点为(1，1)，(5，1)，(9，1).
(2)根据题设，可得两个函数大致图象如图
所示，
函数f(x)＝sin mx，x∈R，与函数g(x)＝lg x的图象只有一个“正格点”交点(10，1)，∴2kπ＋＝10m，则m＝π，又m∈，可得m＝.
(3)由(2)知f(x)＝sin x，x∈，则∈，
∴f(x)＝sin x∈，故f∈；
当a＞1时，不等式logax＞sin x不能恒成立；
当0＜a＜1时，如图所示知logasin ，
由loga＝loga，解得＜a＜1.
综上，实数a的取值范围是.阶段核心素养测评卷(二)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·黑龙江大庆高一期末)若扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的半径为(　A　)
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】∵扇形的圆心角为，弧长为2π，∴该扇形的半径为r＝＝3.
2.将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝
sin 的图象，则φ的值为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin ，故φ＝.
3.某单位职工的工资经过六年变成了原来的8倍，则每年比上一年平均增长的百分率是(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈1.44，≈1.35)(　B　)
A.35% B.41%
C.44% D.73%
【解析】设该职工原工资为p，平均增长率为x，则p(1＋x)6＝8p，解得x＝
－1＝－1≈41%.
4.若函数f(x)＝2sin ωx在x＝时取得最小值，则ω的最小值是(　B　)
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】由题意，得f＝2sin ω＝－2，∴ω＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝
2＋，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值2.
5.设函数f(x)的定义域是A，则满足对任意x∈A，恒有f(x)＋f(2－x)＝2的函数是(　B　)
A.f(x)＝log2x B.f(x)＝
C.f(x)＝2x D.f(x)＝x2
【解析】∵满足对任意x∈A，恒有f(x)＋f(2－x)＝2，∴函数f(x)关于点(1，1)中心对称.f(x)＝＋1的对称中心为点(1，1)，B符合题意.
6.如图所示，某港口某天从6 h到18 h的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)之间的关系可用函数f＝Asin ＋5近似刻画，据此可估计当天12 h的水深为(　A　)
A. m B.4 m
C. m D. m
【解析】由题图可得＝18－6＝12，则ω＝，当sin(ωx＋φ)＝－1时，y取得最小值，为－A＋5＝2，得A＝3，∵函数y＝3sin＋5的图象过点，∴3sin＋5＝，即sin φ＝－，又|φ|＜，∴φ＝－，∴y＝3sin＋5.当x＝12时，y＝3sin＋5＝－＋5＝.
7.将函数y＝2cos 2的图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则a的最小值是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】∵y＝2cos2＝cos＋1＝cos＋1＝sin 2x＋1，
∴将其图象沿x轴向右平移a(a＞0)个单位长度后，得到函数y＝sin[2(x－a)]＋1＝sin(2x－2a)＋1的图象.又所得图象关于y轴对称，∴2a＝kπ＋，k∈Z，即
a＝，k∈Z，∴a的最小值为.
8.已知函数f(x)＝·＋x3，x∈的值域为，则
f(m＋n)等于(　D　)
A. B.2a
C.2 D.0
【解析】由题意，得f(x)＝|x|·＋x3，则f(－x)＝|－x|·－x3＝
－|x|·－x3＝－f(x)，且x∈(a＞0)，即定义域关于原点对称，
∴f(x)是奇函数.又f(x)的值域是，∴m＋n＝0，则f(m＋n)＝f(0)＝0.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则a的取值可以是(　BC　)
A.－2 B.2
C.3 D.4
【解析】∵sin α＞0，cos α≤0，∴3a－9≤0，且a＋2＞0，解得－2＜a≤3.
10.已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值可以是(　CD　)
A.－1 B.0
C.2 D.3
【解析】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，等价于函数y＝f(x)与y＝
－x＋a的图象有且只有一个交点.画出函数图象如图所示，结合函数图象可知，当a＝1时有两个交点，当a＞1时有且只有一个交点.
11.关于函数f(x)＝下列说法中正确的是(　BCD　)
A.f(x)是周期为2的周期函数
B.f(2)＝2
C.不等式f(x)＞1的解集是∪
D.若存在实数a，b，c(a＜b＜c)满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c＋的取值范围是[10，19)
【解析】当x＞2时，y＝－log2x＋2单调递减，故f(x)不可能为周期函数，A错误；f(2)＝2cos 2π＝2，B正确；当0≤x≤2时，由f(x)＝2cos πx＞1得cos πx＞，又πx∈[0，2π]，∴πx∈∪，解得x∈∪.当x＞2时，由－log2x＋2＞1，得0＜x＜2，与x＞2矛盾，舍去，C正确；a＋b＋c＋≥a＋b＋2＝a＋b＋8.当0≤x≤2时，f(x)＝2cos πx关于直线x＝1对称，∴由“存在实数a，b，c(a＜b＜c)满足f(a)＝f(b)＝f(c)”得a＋b＝2，c∈(2，16)，∴a＋b＋c＋∈[10，19)，D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A B B B A C D BC CD BCD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.计算：＝ 　，＝　6　.
【解析】＝6.
13.方程3的解集为 　.
【解析】∵3，∴2cos2x＝，解得cos x＝±，∴x＝2kπ±，或x＝2kπ＋π±，k∈Z，即x＝kπ±，k∈Z，∴原方程的解集为.
14.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的取值可能是　③④　(填序号).
①；②；③；④.
【解析】由图象可知，a＞1，且a2＜loga2.∵＜1，∴①错误；∵＞2＝lo＞lo2，∴②错误；＜2＝lo＜lo2，∴③正确；∵＜2＝lo＜lo2，∴④正确.综上，实数a的取值可能是③④.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)化简：÷(a＞0，b＞0)；
(2)计算：log535＋2lo－log5－log514；
(3)计算：＋1.5－2＋.
解：(1)原式＝·b－2÷＝a－1b0＝.
(2)原式＝log5－2log2＝log5125－2×＝3－1＝2.
(3)原式＝－1－－5＝－6＝－6＝－.
16.(15分)已知函数f(x)＝1－2cos 2(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为2π.
(1)求ω的值；
(2)若α∈，且f(α)＝－，求cos α的值.
解：(1)∵f(x)＝1－2cos2＝－cos，∴T＝＝2π，∴ω＝.
(2)由题意，得f(α)＝－cos＝－，则cos.∵α∈，∴α＋∈，∴sin，∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin××.
17.(15分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos 2x＋m(m∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴；
(2)当x∈时，f(x)的最大值是9，求实数m的值.
解：(1)f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＋m＝sin 2x＋3×＋m＝sin 2x＋cos 2x＋m＋2＝2sin＋m＋2.由－＋2kπ≤2x＋≤
＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.由2x＋＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，
∴函数f(x)的对称轴为直线x＝，k∈Z.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈，∴2sin＋m＋2∈，∴4＋m＝9，解得m＝5.
18.(17分)(2025·广东广州高一期末)已知函数f(x)＝loga(a2x＋1)－bx(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象经过点(0，1)，.
(1)证明：函数f(x)的图象是轴对称图形；
(2)求关于x的不等式2f(x)＋x－2x－7≤0的解集；
(3)若函数y＝f(x)－m有且只有一个零点，求实数m的值.
(1)证明：由题意可知，解得a＝2，b＝1，∴f(x)＝log2(4x＋1)－x.易知f(x)的定义域为R，∵f(－x)＝log2(4－x＋1)＋x＝log2＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，∴函数f(x)＝log2(4x＋1)－x是偶函数，故函数f(x)的图象是轴对称图形.
(2)解：不等式2f(x)＋x－2x－7≤0可化为－2x－7≤0，即4x－2x－6≤0，解得－2≤2x≤3，又2x＞0，∴0＜2x≤3，解得x≤log23，故原不等式的解集为.
(3)解：由(1)可知，f(x)＝log2(4x＋1)－x，由题意可知，log2(4x＋1)＝x＋m，
得2x＋m＝4x＋1，即2m＝＝2x＋，令t＝2x(t＞0)，又函数g(t)＝t＋在(0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴2m＝g(1)＝2，解得m＝1.
19.(17分)(2025·黑龙江牡丹江高一检测)在平面直角坐标系中，我们把函数y＝f(x)，x∈D上满足x∈N*，y∈N*(其中N*表示正整数)的点P(x，y)称为函数y＝f(x)的“正格点”.
(1)写出当m＝时，函数f(x)＝sin mx，x∈(0，10)图象上的正格点坐标；
(2)若函数f(x)＝sin mx，x∈R，m∈(1，2)与函数g(x)＝lg x的图象有正格点交点，求m的值；
(3)对于(2)中的m值和函数f(x)＝sin mx，若当x∈时，不等式logax＞f恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)∵m＝，∴f(x)＝sin x，x∈(0，10)，
∴函数的正格点为(1，1)，(5，1)，(9，1).
(2)根据题设，可得两个函数大致图象如下所示，
函数f(x)＝sin mx，x∈R，与函数g(x)＝lg x的图象只有一个“正格点”交点(10，1)，∴2kπ＋＝10m，则m＝π，又m∈，可得m＝.
(3)由(2)知f(x)＝sin x，x∈，则∈，
∴f(x)＝sin x∈，故f∈；
当a＞1时，不等式logax＞sin x不能恒成立；
当0＜a＜1时，如下图所示知logasin ，
由loga＝loga，解得＜a＜1.
综上，实数a的取值范围是.

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