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综合核心素养测评卷(二)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝log2(3－x)的定义域为(　 　)
A.(0，3) B.(－∞，2)
C.(－∞，3) D.(－∞，3]
2.cos 210°的值为(　 　)
A.－ B.－
C. D.
3.已知x，y为正实数，则的最小值是(　 　)
A.1 B.
C.2 D.2
4.人类已进入大数据时代，数据量已从EB(1 EB＝1 0242TB)级别跃升到ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别，据研究结果表明：某地区的数据量y(单位：EB)与时间x(单位：年)的关系符合函数y＝k·ax－2 021，其中a＞0，且a≠1.已知2022年该地区产生的数据为0.5 EB，2023年该地区产生的数据为1EB，则2024年该地区产生的数据量为(　 　)
A.1.5 EB B.1.75 EB
C.2 EB D.2.25 EB
5.“x＞4”是“log3x＞1”的(　 　)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.当x∈(0，2π)时，函数f(x)＝sin x与g(x)＝|cos x|的图象所有交点的横坐标之和为(　 　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
7.定义在[－2，2]上的函数f(x)＝－1，若f(1－x)＜f(x)，则x的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
8.若“ x∈，使得x＞”为假命题，则m的最大值是(　 　)
A.14 B.15
C.16 D.17
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知函数f(x)＝sin ，则(　 　)
A.点是f(x)图象的一个对称中心
B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递增
D.f＝f(x)
10.已知函数f(x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则(　 　)
A.a＋b＝0 B.f(x)＝－1
C.f(x)是偶函数 D.f(x)在(－∞，0]上单调递增
11.已知函数f(x)定义域为R，则(　 　)
A.若 x∈R，f(x－1)＜f(x)，则f(x)在R上单调递增
B.若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则f(x)是偶函数
C.若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则f(x)是周期函数
D.若 x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，|f(x1)－f(x2)|＜|cos x1－cos x2|，则函数y＝f(x)＋cos x在(0，π)上单调递减
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.函数f(x)＝ax＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点　 　.
13.写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式　 　.
①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f＝f＋f；③当x＞1时，f(x)＞0.
14.设函数f(x)＝sin x＋，若f(x1)f(x2)＝2[f(x1)－f(x2)－1]，则|x1－x2|的最小值是　 　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{1，2，3}.
(1)写出A∩B的所有子集；
(2)若关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为C，A∪C＝[－1，3)，A∩C＝(1，2]，求b＋c的值.
16.(15分)如图所示，平面直角坐标系xOy中，角α的终边OT与单位圆交于点T.
(1)求sin α，tan α的值；
(2)求的值.
17.(15分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为2，f(x)的一个零点是.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，m](m＞0)时，f(x)的最小值是－，求m的取值范围.
18.(17分)如图所示，正方形ABCD的边长为a(a＞1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM//AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF＝1，记∠FEC＝x.
(1)记四边形ECFN的面积为x的函数f(x)，周长为x的函数g(x)，
(i)证明：－1＝2f(x)；
(ii)求g(x)的最大值；
(2)求四边形AMNW面积的最小值.
19.(17分)已知函数f(x)＝aln x－，a＞0.
(1)请写出f(x)的单调区间，并用单调性的定义证明；
(2)若f(e)＝0，解关于x的不等式f(x)＞0；
(3)证明：f(x)恰有两个零点m，n(m＜n)，且m＋n＞2.综合核心素养测评卷(二)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝log2(3－x)的定义域为(　C　)
A.(0，3) B.(－∞，2)
C.(－∞，3) D.(－∞，3]
【解析】∵f(x)＝log2(3－x)，∴3－x＞0，解得x＜3，∴函数f(x)的定义域为
(－∞，3).
2.cos 210°的值为(　B　)
A.－ B.－
C. D.
【解析】cos 210°＝cos＝－cos 30°＝－.
3.已知x，y为正实数，则的最小值是(　D　)
A.1 B.
C.2 D.2
【解析】∵x，y为正实数，则≥2＝2，当且仅当，即x＝y时，等号成立，∴的最小值是2.
4.人类已进入大数据时代，数据量已从EB(1 EB＝1 0242TB)级别跃升到ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别，据研究结果表明：某地区的数据量y(单位：EB)与时间x(单位：年)的关系符合函数y＝k·ax－2 021，其中a＞0，且a≠1.已知2022年该地区产生的数据为0.5 EB，2023年该地区产生的数据为1EB，则2024年该地区产生的数据量为(　C　)
A.1.5 EB B.1.75 EB
C.2 EB D.2.25 EB
【解析】由题可得解得a＝2，k＝，∴y＝·2x－2 021，当x＝2 024时，y＝·22 024－2 021＝2.
5.“x＞4”是“log3x＞1”的(　B　)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】不等式log3x＞1等价于x＞3，x＞4时一定满足x＞3，充分性成立；
x＞3时不一定能满足x＞4，必要性不成立.故“x＞4”是“lox＞1”的充分不必要条件.
6.当x∈(0，2π)时，函数f(x)＝sin x与g(x)＝|cos x|的图象所有交点的横坐标之和为(　A　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
【解析】作出函数f(x)＝sin x和g(x)＝|cos x|在(0，2π)上的图象如下所示，
从图象上可得函数f(x)＝sin x的图象和g(x)＝|cos x|的图象在(0，2π)内有两个
交点：sin x＝cos x，x∈，即tan x＝1，x∈，得x＝，sin x＝
－cos x，x∈，tan x＝－1，x∈，得x＝，故所有交点的横坐标之和为＝π.
7.定义在[－2，2]上的函数f(x)＝－1，若f(1－x)＜f(x)，则x的取值范围是(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】定义在[－2，2]上的函数f(x)＝－1，函数f(x)为偶函数且在[0，2]上单调递增，若f(1－x)＜f(x)，则有≤2，即＜x2≤4，解得
＜x≤2，∴x的取值范围是.
8.若“ x∈，使得x＞”为假命题，则m的最大值是(　B　)
A.14 B.15
C.16 D.17
【解析】∵“ x∈，使得x＞”为假命题，∴“ x∈，x≤”为真命题.∵＝5×5lg 3×3lg 2，设5lg 3＝t＞0，∴log5t＝＝lg 3，∴＝lg 5，∴log3t＝lg 5，∴t＝3lg 5，∴5lg 3＝3lg 5，
∴＝5×3lg 5×3lg 2＝5×3lg 5＋lg 2＝15，即 x∈，x≤15，∴0＜m≤15，∴m的最大值是15.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知函数f(x)＝sin ，则(　AB　)
A.点是f(x)图象的一个对称中心
B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递增
D.f＝f(x)
【解析】函数f(x)＝sin，f＝sin＝sin 0＝0，点
是f(x)图象的一个对称中心，A正确；f＝sin＝
sin ＝1，是函数最值，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，B正确；x∈时，3x＋∈不是正弦函数的单调递增区间，C错误；f＝sin＝sin＝－sin＝－f(x)，D错误.
10.已知函数f(x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则(　AC　)
A.a＋b＝0 B.f(x)＝－1
C.f(x)是偶函数 D.f(x)在(－∞，0]上单调递增
【解析】函数f(x)＝a＋b的图象过原点，则a＋b＝0，即a＋b＝0，函数的图象无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，故y＝1是图象的一条渐近线，则b＝1，a＝－1，f(x)＝－＋1，A正确，B错误；函数f(x)＝＋1，定义域为R，f(－x)＝＋1＝－＋1＝f(x)，f(x)是偶函数，C正确；x∈(－∞，0]时，f(x)＝－＋1＝－3x＋1，∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，D错误.
11.已知函数f(x)定义域为R，则(　BCD　)
A.若 x∈R，f(x－1)＜f(x)，则f(x)在R上单调递增
B.若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则f(x)是偶函数
C.若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则f(x)是周期函数
D.若 x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，|f(x1)－f(x2)|＜|cos x1－cos x2|，则函数y＝f(x)＋cos x在(0，π)上单调递减
【解析】对于A，令f(x)＝sin(2πx)＋x，满足f(x－1)＜f(x)，但f＝1＋＞
f，f(x)在R上不是增函数，A错误；对于B，令x1＝x，x2＝－x，则
|f(x)－f(－x)|≤|cos x－cos (－x)|＝0，∴f(x)＝f(－x)，x∈R，∴f(x)是偶函数，
B正确；对于C，若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则|f(x)－f(x＋2π)|≤|cos x－cos (x＋2π)|＝0，即f(x)＝f(x＋2π)，则f(x)是周期函数，C正确；对于D，0＜x1＜x2＜π，∵y＝cos x在(0，π)上单调递减，∴cos x1＞cos x2，
∴|f(x1)－f(x2)|＜|cos x1－cos x2|＝cos x1－cos x2，则cos x2－cos x1＜f(x1)－f(x2)＜cos x1－cos x2，f(x2)＋cos x2＜f(x1)＋cos x1，即y＝f(x)＋cos x在(0，π)上单调递减，D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D C B A D B AB AC BCD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.函数f(x)＝ax＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点　(0，2)　.
【解析】由指数函数的性质可得y＝ax过点(0，1)，∴y＝ax＋1过点(0，2).
13.写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式　f(x)＝ln x(答案不唯一)　.
①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f＝f＋f；③当x＞1时，f(x)＞0.
【解析】取f(x)＝ln x，其定义域为(0，＋∞)，f＝ln＝ln x1＋ln x2＝f＋f，满足f＝f＋f，且当x＞1时，f(x)＞0，满足所有条件.
14.设函数f(x)＝sin x＋，若f(x1)f(x2)＝2[f(x1)－f(x2)－1]，则|x1－x2|的最小值是　π　.
【解析】∵f(x1)f(x2)＝2[f(x1)－f(x2)－1]，∴[f(x1)＋2][f(x2)－2]＝－6，又f(x)＝sin x＋，且sin x∈[－1，1]，∴f(x)∈[－1，＋1]，∴f(x2)－2∈[－3，－1]，f(x1)＋2∈[＋1，＋3]，显然f(x2)－2＜0，f(x1)＋2＞0，∴[f(x1)＋2][f(x2)－2]∈[(－3)·(＋3)，(－1)(＋1)]，即[f(x1)＋2][f(x2)－2]∈[－6，2]，当且仅当f(x2)－2＝－3，f(x1)＋2＝＋3时，[f(x1)＋2][f(x2)－2]＝－6成立，∴sin x2＝－1，sin x1＝1，∴x1＝2k1π＋，k1∈Z，x2＝2k2π－，k2∈Z，∴|x1－x2|＝|2(k1－k2)π＋π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1－k2＝－1，或k1＝k2时(k1∈Z，k2∈Z)，|x1－x2|有最小值，且|x1－x2|min＝π.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{1，2，3}.
(1)写出A∩B的所有子集；
(2)若关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为C，A∪C＝[－1，3)，A∩C＝(1，2]，求b＋c的值.
解：(1)∵x2－x－2≤0，∴(x＋1)(x－2)≤0，∴A＝[－1，2]，∴A∩B＝{1，2}，∴A∩B的所有子集为： ，{1}，{2}，{1，2}.
(2)∵A∪C＝[－1，3)，A∩C＝(1，2]，∴C＝(1，3).由题意得1和3是方程x2＋bx＋c＝0的两根，1＋3＝－b，1×3＝c，∴b＋c＝－1.
16.(15分)如图所示，平面直角坐标系xOy中，角α的终边OT与单位圆交于点T.
(1)求sin α，tan α的值；
(2)求的值.
解：(1)由三角函数的定义知cos α＝，∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝，∴tan α＝.
(2)∵sin (π－α)＝sin α＝，sin＝cos α＝，cos＝－sin α＝－，
∴＝－.
17.(15分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为2，f(x)的一个零点是.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，m](m＞0)时，f(x)的最小值是－，求m的取值范围.
解：(1)由题知T＝＝2，∴ω＝π.又f＝sin＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又－＜φ＜，则φ＝－，∴f(x)＝sin.
(2)∵f(x)＝sin，x∈[0，m]，令t＝πx－∈，∵y＝sin t在(m＞0)上的最小值为－，如图所示，
可知须使πm－≤，解得m≤，∴m的取值范围是.
18.(17分)如图所示，正方形ABCD的边长为a(a＞1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM//AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF＝1，记∠FEC＝x.
(1)记四边形ECFN的面积为x的函数f(x)，周长为x的函数g(x)，
(i)证明：－1＝2f(x)；
(ii)求g(x)的最大值；
(2)求四边形AMNW面积的最小值.
证明：由题知f(x)＝sin xcos x，g(x)＝2(sin x＋cos x).∴－1＝(sin x＋cos x)2－1＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x－1＝2sin xcos x＝2f(x).
(ii)解：由(i)知，(sin x＋cos x)2－1＝2sin x·cos x≤sin2 x＋cos2 x＝1，当sin x＝cos x时，x＝时取等号，∴(sin x＋cos x)2≤2，(sin x＋cos x)≤，故当x＝时，g(x)的最大值是2.
(2)解：∵S四边形AMNW＝BE·DF＝(a－cos x)(a－sin x)＝a2－a(sin x＋cos x)＋sin xcos x.
令t＝sin x＋cos x∈(1，]，∴sin x·cos x＝，
令S四边形AMNW＝h(t)＝a2－at＋－at＋a2－，对称轴为直线t＝a，开口向上，由二次函数的性质知，
若1＜a＜，则h(t)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，∴h(t)≥h(a)＝；
若a≥，则h(t)在(1，]上单调递减，∴h(t)≥h()＝a2－a＋.
综上，当1＜a＜时，四边形AMNW面积最小值是；
当a≥时，四边形AMNW面积最小值是a2－a＋.
19.(17分)已知函数f(x)＝aln x－，a＞0.
(1)请写出f(x)的单调区间，并用单调性的定义证明；
(2)若f(e)＝0，解关于x的不等式f(x)＞0；
(3)证明：f(x)恰有两个零点m，n(m＜n)，且m＋n＞2.
解：(1)由题知，x∈(0，1)∪(1，＋∞)，∵f(x)＝aln x－＝aln x－＝
aln x－－1，∴f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，理由如下：
① x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＝a(ln x1－ln x2)＋＝a(ln x1－ln x2)＋＝a(ln x1－ln x2)＋.
∵0＜x1＜x2＜1，∴ln x1－ln x2＜0，＜0，又a＞0，故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(0，1)上单调递增.
② x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，同理可得f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间为(0，1)，(1，＋∞)，无减区间.
(2)由(1)知f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，∵f＝aln ＝－aln e－＝－f(e)＝0.
如图所示，
要使f(x)＞0，只需使＜x＜1，或x＞e，故不等式的解集为∪.
(3)证明：由(1)知f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，又f＝－＜0，且∈(1，＋∞)，
取p满足，则f(p)＝aln p－1－＞aln－1－＝0，
∴f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点n，又f－2＞0，且∈(0，1)，取q满足
则f(q)＝－aln q－1＋＜aln－1＋＝0，
∴f(x)在(0，1)上有唯一零点m，则f(m)＝0，又f＝aln ＝－aln m－＝－＝－f(m)＝0，∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且，n∈(1，＋∞)，∴必有＝n，即mn＝1，故m＋n＞2＝2.(共37张PPT)
　高中数学 必修 第一册
综合核心素养测评卷(二)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)＝log2(3－x)的定义域为(　　)
A.(0，3) B.(－∞，2)
C.(－∞，3) D.(－∞，3]
【解析】∵f(x)＝log2(3－x)，∴3－x＞0，解得x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－∞，3).
C
2.cos 210°的值为(　　)
A.－ B.－
C. D.
【解析】cos 210°＝cos＝－cos 30°＝－.
B
3.已知x，y为正实数，则的最小值是(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
【解析】∵x，y为正实数，则≥2＝2，当且仅当，即x＝y时，等号成立，∴的最小值是2.
D
4.人类已进入大数据时代，数据量已从EB(1 EB＝1 0242TB)级别跃升到ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别，据研究结果表明：某地区的数据量y(单位：EB)与时间x(单位：年)的关系符合函数y＝k·ax－2 021，其中a＞0，且a≠1.已知2022年该地区产生的数据为0.5 EB，2023年该地区产生的数据为1EB，则2024年该地区
产生的数据量为(　　)
A.1.5 EB B.1.75 EB
C.2 EB D.2.25 EB
C
【解析】由题可得解得a＝2，k＝，∴y＝·2x－2 021，当x＝2 024时，y＝·22 024－2 021＝2.
5.“x＞4”是“log3x＞1”的(　　)
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】不等式log3x＞1等价于x＞3，x＞4时一定满足x＞3，充分性成立；x＞3时不一定能满足x＞4，必要性不成立.
故“x＞4”是“lox＞1”的充分不必要条件.
B
6.当x∈(0，2π)时，函数f(x)＝sin x与g(x)＝|cos x|的图象所有交
点的横坐标之和为(　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
【解析】作出函数f(x)＝sin x和g(x)＝|cos x|在(0，2π)上的图象如下所示，
A
从图象上可得函数f(x)＝sin x的图象和g(x)＝|cos x|的图象在(0，2π)内有两个交点：sin x＝cos x，x∈，即tan x＝1，x∈，得x＝，sin x＝－cos x，x∈，tan x＝－1，x∈，得x＝，故所有交点的横坐标之和为＝π.
7.定义在[－2，2]上的函数f(x)＝－1，若f(1－x)＜f(x)，则
x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】定义在[－2，2]上的函数f(x)＝－1，函数f(x)为偶函数且在[0，2]上单调递增，若f(1－x)＜f(x)，则有≤2，即＜x2≤4，解得＜x≤2，∴x的取值范围是
.
D
8.若“ x∈，使得x＞”为假命题，则m的最大值
是(　　)
A.14 B.15
C.16 D.17
B
【解析】∵“ x∈，使得x＞”为假命题，∴“ x∈，x≤”为真命题.
∵＝5×5lg 3×3lg 2，设5lg 3＝t＞0，∴log5t＝＝lg 3，∴＝lg 5，
∴log3t＝lg 5，∴t＝3lg 5，∴5lg 3＝3lg 5，
∴＝5×3lg 5×3lg 2＝5×3lg 5＋lg 2＝15，即 x∈，x≤15，∴0＜m≤15，∴m的最大值是15.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知函数f(x)＝sin ，则(　 　)
A.点是f(x)图象的一个对称中心
B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在上单调递增
D.f＝f(x)
AB
【解析】函数f(x)＝sin，f＝sin＝sin 0＝0，点是f(x)图象的一个对称中心，A正确；f＝sin＝sin ＝1，是函数最值，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，B正确；x∈时，3x＋∈
不是正弦函数的单调递增区间，C错误；f＝sin＝sin＝－sin＝－f(x)，D错误.
10.已知函数f(x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线
y＝1但又不与该直线相交，则(　 　)
A.a＋b＝0 B.f(x)＝－1
C.f(x)是偶函数 D.f(x)在(－∞，0]上单调递增
AC
【解析】函数f(x)＝a＋b的图象过原点，则a＋b＝0，即a＋b＝0，函数的图象无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，故y＝1是图象的一条渐近线，则b＝1，a＝－1，f(x)＝－＋1，A正确，B错误；函数f(x)＝＋1，定义域为R，f(－x)＝＋1＝－＋1＝f(x)，f(x)是偶函数，C正确；x∈(－∞，0]时，f(x)＝－＋1＝－3x＋1，∴f(x)在
(－∞，0]上单调递减，D错误.
11.已知函数f(x)定义域为R，则(　 　)
A.若 x∈R，f(x－1)＜f(x)，则f(x)在R上单调递增
B.若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则f(x)是偶函数
C.若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则f(x)是周期函数
D.若 x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，|f(x1)－f(x2)|＜|cos x1－cos x2|，则函数y＝f(x)＋cos x在(0，π)上单调递减
BCD
【解析】对于A，令f(x)＝sin(2πx)＋x，满足f(x－1)＜f(x)，但f＝1＋＞f，f(x)在R上不是增函数，A错误；对于B，令x1＝x，x2＝－x，则|f(x)－f(－x)|≤|cos x－cos (－x)|＝0，∴f(x)＝f(－x)，x∈R，∴f(x)是偶函数，B正确；对于C，若 x1，x2∈R，|f(x1)－f(x2)|≤|cos x1－cos x2|，则|f(x)－f(x＋2π)|≤|cos x－cos (x＋2π)|＝0，即f(x)＝f(x＋2π)，则f(x)是周期函数，C正确；对于D，0＜x1＜x2＜π，∵y＝cos x在(0，π)上单调递减，∴cos x1＞cos x2，∴|f(x1)－f(x2)|＜|cos x1－cos x2|＝
cos x1－cos x2，则cos x2－cos x1＜f(x1)－f(x2)＜cos x1－cos x2，f(x2)＋cos x2＜f(x1)＋cos x1，即y＝f(x)＋cos x在(0，π)上单调递减，D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.函数f(x)＝ax＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点__________.
【解析】由指数函数的性质可得y＝ax过点(0，1)，∴y＝ax＋1过点(0，2).
(0，2)
13.写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式___________ _______________.
①f(x)的定义域为(0，＋∞)；②f＝f＋f；③当
x＞1时，f(x)＞0.
【解析】取f(x)＝ln x，其定义域为(0，＋∞)，f＝ln＝ln x1＋ln x2＝f＋f，满足f＝f＋f，且当x＞1时，f(x)＞0，满足所有条件.
f(x)＝ln x
(答案不唯一)
14.设函数f(x)＝sin x＋，若f(x1)f(x2)＝2[f(x1)－f(x2)－1]，则|x1－x2|的最小值是__________.
【解析】∵f(x1)f(x2)＝2[f(x1)－f(x2)－1]，∴[f(x1)＋2][f(x2)－2]＝－6，又f(x)＝sin x＋，且sin x∈[－1，1]，∴f(x)∈[－1，＋1]，∴f(x2)－2∈[－3，－1]，f(x1)＋2∈[＋1，＋3]，显然f(x2)－2＜0，f(x1)＋2＞0，∴[f(x1)＋2][f(x2)－2]∈[(－3)·(＋3)，(－1)(＋1)]，即[f(x1)＋2][f(x2)－2]∈[－6，2]，当且仅当f(x2)－2＝－3，f(x1)＋2＝＋3时，[f(x1)＋2][f(x2)－2]＝－6成立，∴sin x2＝－1，sin x1＝1，∴x1＝2k1π＋，k1∈Z，x2＝2k2π－，k2∈Z，∴|x1－x2|＝|2(k1－k2)π＋π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1－k2＝－1，或k1＝k2时(k1∈Z，k2∈Z)，|x1－x2|有最小值，且|x1－x2|min＝π.
π
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{1，2，3}.
(1)写出A∩B的所有子集；
(2)若关于x的不等式x2＋bx＋c＜0的解集为C，A∪C＝[－1，3)，A∩C＝(1，2]，求b＋c的值.
解：(1)∵x2－x－2≤0，∴(x＋1)(x－2)≤0，∴A＝[－1，2]，∴A∩B＝{1，2}，∴A∩B的所有子集为： ，{1}，{2}，{1，2}.
(2)∵A∪C＝[－1，3)，A∩C＝(1，2]，∴C＝(1，3).
由题意得1和3是方程x2＋bx＋c＝0的两根，1＋3＝－b，
1×3＝c，∴b＋c＝－1.
16.(15分)如图所示，平面直角坐标系xOy中，角α的终边OT与单位圆交于点T.
(1)求sin α，tan α的值；
(2)求的值.
解：(1)由三角函数的定义知cos α＝，∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝，∴tan α＝.
(2)∵sin (π－α)＝sin α＝，sin＝cos α＝，
cos＝－sin α＝－，
∴＝－.
17.(15分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为2，f(x)的一个零点是.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，m](m＞0)时，f(x)的最小值是－，求m的取值范围.
解：(1)由题知T＝＝2，∴ω＝π.又f＝sin＝0，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又－＜φ＜，
则φ＝－，∴f(x)＝sin.
(2)∵f(x)＝sin，x∈[0，m]，令t＝πx－∈，∵y＝sin t在(m＞0)上的最小值为
－，如图所示，
可知须使πm－≤，解得m≤，∴m的取值范围是.
18.(17分)如图所示，正方形ABCD的边长为a(a＞1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM//AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF＝1，记∠FEC＝x.
(1)记四边形ECFN的面积为x的函数f(x)，周
长为x的函数g(x)，
(i)证明：－1＝2f(x)；
(ii)求g(x)的最大值；
(2)求四边形AMNW面积的最小值.
证明：由题知f(x)＝sin xcos x，g(x)＝2(sin x＋cos x).∴－1＝(sin x＋cos x)2－1＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x－1＝2sin xcos x＝2f(x).
(ii)解：由(i)知，(sin x＋cos x)2－1＝2sin x·cos x≤sin2 x＋cos2 x＝1，当sin x＝cos x时，x＝时取等号，∴(sin x＋cos x)2≤2，(sin x＋cos x)≤，故当x＝时，g(x)的最大值是2.
(2)解：∵S四边形AMNW＝BE·DF＝(a－cos x)(a－sin x)＝
a2－a(sin x＋cos x)＋sin xcos x.
令t＝sin x＋cos x∈(1，]，∴sin x·cos x＝，令S四边形AMNW＝h(t)＝a2－at＋－at＋a2－，对称轴为直线t＝a，开口向上，由二次函数的性质知，
若1＜a＜，则h(t)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，∴h(t)≥h(a)＝；
若a≥，则h(t)在(1，]上单调递减，∴h(t)≥h()＝a2－a＋.
综上，当1＜a＜时，四边形AMNW面积最小值是；
当a≥时，四边形AMNW面积最小值是a2－a＋.
19.(17分)已知函数f(x)＝aln x－，a＞0.
(1)请写出f(x)的单调区间，并用单调性的定义证明；
(2)若f(e)＝0，解关于x的不等式f(x)＞0；
(3)证明：f(x)恰有两个零点m，n(m＜n)，且m＋n＞2.
解：(1)由题知，x∈(0，1)∪(1，＋∞)，∵f(x)＝aln x－＝
aln x－＝aln x－－1，∴f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，理由如下：
① x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＝a(ln x1－ln x2)＋＝a(ln x1－ln x2)＋＝a(ln x1－ln x2)＋.
∵0＜x1＜x2＜1，∴ln x1－ln x2＜0，＜0，又a＞0，故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(0，1)上单调递增.
② x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，同理可得f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间为(0，1)，(1，＋∞)，无减区间.
(2)由(1)知f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，∵f＝
aln ＝－aln e－＝－f(e)＝0.
如图所示，
要使f(x)＞0，只需使＜x＜1，或x＞e，故不等式的解集为
∪.
(3)证明：由(1)知f(x)在(0，1)上和(1，＋∞)上单调递增，又
f＝－＜0，且∈(1，＋∞)，
取p满足，则f(p)＝aln p－1－＞aln－1－＝0，
∴f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点n，又f－2＞0，且
∈(0，1)，取q满足
则f(q)＝－aln q－1＋＜aln－1＋＝0，
∴f(x)在(0，1)上有唯一零点m，则f(m)＝0，又f＝
aln ＝－aln m－＝－＝－f(m)＝0，∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且，n∈(1，＋∞)，
∴必有＝n，即mn＝1，故m＋n＞2＝2.

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