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综合核心素养测评卷(一)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x|x2－2x－8＞0}，则 RA等于(　 　)
A.[－4，2] B.[－2，4]
C.(－2，4) D.(－4，2)
2.命题“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是(　 　)
A. x∈R，x3－x2＋1≤0 B. x∈R，x3－x2＋1＜0
C. x∈R，x3－x2＋1≤0 D.不存在x∈R，x3－x2＋1＞0
3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　 　)
A. B.
C. D.
4.若正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，则的最小值是(　 　)
A. B.2
C. D.2
5.已知a＝log23，b＝，c＝20.4，则下列结论中，正确的是(　 　)
A.c＞b＞a B.b＞c＞a
C.b＞a＞c D.a＞b＞c
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他能驾驶汽车至少需要经过的时间为(　 　)
(参考数据：lg 0.2≈－0.7，lg 0.3≈－0.5，lg 0.7≈－0.15，lg 0.8≈－0.1)
A.5小时 B.6小时
C.3小时 D.4小时
7.若函数y＝a|x|＋m－1(0＜a＜1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是(　 　)
A.[1，＋∞) B.(0，1)
C.(－∞，1) D.[0，1)
8.已知cos α＝，cos (β－α)＝，且0＜β＜α＜π，则cos β等于(　 　)
A.－ B.－
C. D.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)＞f(b)成立的一个充分不必要条件是(　 　)
A.0＜ B.a2＞
C.ln a＞ln b D.2a＞2b
10.已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论中，正确的是(　 　)
A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1
11.函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)的部分图象，则下列结论中，正确的是(　 　)
A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.将函数f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g(x)，则g(x)为奇函数
D.函数f(x)在区间上单调递增
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(2 023)＝－2 022，则f(－2 023)＝　 　.
13.高斯是德国著名的数学家，数学奠基者之一，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：y＝[x](x∈R)，[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.6]＝－2，[1.6]＝1，[2]＝2，则关于x的不等式[x]2＋[x]－12＜0的解集为　 　.
14.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝60 A时，放电时间t＝30 h；当放电电流I＝80 A时，放电时间t＝16 h.若计算时取lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，则该蓄电池的Peukert常数n大约为　 　(结果精确到0.01).
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知命题p： x∈，x2－ax＋1＞0；命题q： x∈R，2x2＋x＋2＜0.
(1)若p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围.
16.(15分)在①tan ＝2；②sin －sin＝cos ；③2sin＝cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知　 　.(填序号)
(1)求的值；
(2)当α为第三象限角时，求sin－cos －cossin的值.
17.(15分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB.
(1)求的值；
(2)若点A的横坐标为，求sin的值.
18.(17分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos 2 x－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的对称中心的坐标；
(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
19.(17分)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(x)·f(－x)＝1，则称y＝f(x)为“自关联函数”.请根据上述定义回答下列问题：
(1)已知f(x)＝5x，g(x)＝ln x，判断y＝f(x)和y＝g(x)是不是“自关联函数”(不需要说明理由)；
(2)若y＝f(x)是R上的“自关联函数”，当x≤0时，f(x)＝，是否存在正整数x使f(x)＝2 025成立 请说明理由；
(3)若y＝f(x)是R上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在R上是增函数.设F(x)＝，若f(2)＝2 025，解不等式F－2 025＋＜0.(共39张PPT)
　高中数学 必修 第一册
综合核心素养测评卷(一)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x|x2－2x－8＞0}，则 RA等于(　　)
A.[－4，2] B.[－2，4]
C.(－2，4) D.(－4，2)
【解析】由不等式x2－2x－8＞0，可得(x－4)(x＋2)＞0，解得
x＜－2，或x＞4，即集合A＝{x|x＜－2，或x＞4}，∴ RA＝{x|－2≤x≤4}＝[－2，4].
B
2.命题“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是(　　)
A. x∈R，x3－x2＋1≤0 B. x∈R，x3－x2＋1＜0
C. x∈R，x3－x2＋1≤0 D.不存在x∈R，x3－x2＋1＞0
【解析】由命题的否定知，“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定为“ x∈R，x3－x2＋1≤0”.
A
3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞
0，且a≠1)的图象可能是(　　)
D
A. B. C. D.
【解析】当0＜a＜1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递减，则函数y＝过定点(0，1)且单调递增，函数y＝loga过定点且单调递减，D符合题意；当a＞1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递增，则函数y＝过定点(0，1)且单调递减，函数y＝loga过定点且单调递增，故A，B，C均不符合题意.
4.若正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，则的最小值是(　　)
A. B.2
C. D.2
【解析】由正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，得ab＝10，则由基本不等式有≥2＝2，当且仅当即a＝2，b＝5时，等号成立.
B
5.已知a＝log23，b＝，c＝20.4，则下列结论中，正确的是
(　　)
A.c＞b＞a B.b＞c＞a
C.b＞a＞c D.a＞b＞c
【解析】∵y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且＜4，∴log2＜log2＜log24，即log2＜log23＜log222，
∴＜log23＜2，即＜a＜2，b＝＝log310，∵y＝log3x在
(0，＋∞)上为增函数，且10＞9，∴log310＞log39＝2，即b＞2，∵y＝2x在R上为增函数，且0＜0.4＜，∴20＜20.4＜，即1＜c＜，∴b＞a＞c.
C
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾
车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他
能驾驶汽车至少需要经过的时间为(　　)
(参考数据：lg 0.2≈－0.7，lg 0.3≈－0.5，lg 0.7≈－0.15，lg 0.8≈－0.1)
A.5小时 B.6小时
C.3小时 D.4小时
A
【解析】∵1小时后血液中酒精含量为(1－30%) mg/mL，x小时后血液中酒精含量为(1－30%)x mg/mL，由题意知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，∴(1－30%)x＜0.2，0.7x＜0.2，两边取对数得lg 0.7x＜lg 0.2，x＞，∴至少经过5个小时才能驾驶汽车.
7.若函数y＝a|x|＋m－1(0＜a＜1)的图象和x轴有交点，则实数
m的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(0，1)
C.(－∞，1) D.[0，1)
【解析】函数y＝＋m－1(0＜a＜1)的图象和x轴有交点，等价于函数y＝的图象与y＝1－m的图象有交点，当0＜a＜1时，0＜≤1，即0＜1－m≤1，解得0≤m＜1，即实数m的取值范围是[0，1).
D
8.已知cos α＝，cos (β－α)＝，且0＜β＜α＜π，则cos β等于
(　　)
A.－ B.－
C. D.
C
【解析】∵cos α＝，cos (β－α)＝，且0＜β＜α＜π，∴－π＜β－α＜0，∴sin α＝，sin (β－α)＝－＝－，∴cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)·cos α－sin(β－α)sin α＝××(－)＝.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)＞
f(b)成立的一个充分不必要条件是(　 　)
A.0＜ B.a2＞
C.ln a＞ln b D.2a＞2b
AC
【解析】由题设知4m－1＝1，可得m＝，故f(x)＝，∴要使f(a)＞f(b)，则，即a＞b≥0.对于A，0＜ a＞b＞0，符合题意；对于C，ln a＞ln b a＞b＞0，符合题意；对于B，D，a，b均有可能为负数，不符合题意.
10.已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)
＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论中，正确的是(　 　)
A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1
BCD
【解析】画出函数f(x)的大致图象如
图所示，
得出x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，
则x3x4＝1，A错误，B正确；由图可
知1＜x4＜2，C正确；∵－2＜x1＜
－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，∴x1x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，D正确.
11.函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)的部分
图象，则下列结论中，正确的是(　 　)
A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.将函数f(x)图象上所有的点向右平移个
单位长度，得到函数g(x)，则g(x)为奇函数
D.函数f(x)在区间上单调递增
ACD
【解析】由图象得函数最小值为－2，故A＝2，
，故T＝π，ω＝＝2，故函数f(x)＝2sin (2x＋φ)，又函数过
点，故2sin＝－2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，即φ＝，故f(x)＝2sin，f(x)的对称
轴：2x＋＋kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，当k＝
0时，x＝，A正确；f(x)的对称中心：2x＋＝kπ，k∈Z解
得x＝－，k∈Z，对称中心为，k∈Z，B错误；函数f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 2x，为奇函数，C正确；f(x)的单调递增区间：
2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，又 ，k∈Z，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(2 023)＝－2 022，则f(－2 023)＝__________.
【解析】函数f(x)＝x3cos x＋1的定义域为R，令g(x)＝x3cos x，x∈R，则g(－x)＝(－x)3cos (－x)＝－x3cos x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，又f(2 023)＝g(2 023)＋1＝－2 022，∴g(2 023)＝－2 023，∴f(－2 023)＝g(－2 023)＋1＝－g(2 023)＋1＝2 024.
2 024
13.高斯是德国著名的数学家，数学奠基者之一，他和阿基米
德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：y＝[x](x∈R)，[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.6]＝－2，[1.6]＝1，[2]＝2，则关于x的不等式[x]2＋[x]－12＜0的解集为__________.
【解析】∵[x]2＋[x]－12＜0，∴－4＜[x]＜3，∴－3≤x＜3.
[－3，3)
14.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝
60 A时，放电时间t＝30 h；当放电电流I＝80 A时，放电时间
t＝16 h.若计算时取lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，则该蓄电池的Peukert常数n大约为__________(结果精确到0.01).
2.25
【解析】由题意知C＝60n×30＝80n×16，∴
，两边取以10为底的对数，得nlg ＝lg ，∴n＝≈≈2.25.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知命题p： x∈，x2－ax＋1＞0；命题q： x∈R，2x2＋x＋2＜0.
(1)若p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围.
解：(1)命题p： x∈，x2－ax＋1＞0为真，则a＜x＋
在x∈[1，3]时恒成立，等价于a＜，1≤x≤3，
令y＝x＋，由基本不等式可得，y＝x＋≥
2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，即＝2，∴a＜2，故实数a的取值范围是(－∞，2).
(2)当命题q为真命题时， x∈R，2x2＋x＋2＜0，故Δ＝(a－2)2－16＞0，解得a＞6，或a＜－2，
由于p与q有且只有一个为假命题，①p真q假：故a∈[－2，2)；
②p假q真：故a∈(6，＋∞)，故实数a的取值范围是a∈[－2，2)∪(6，＋∞).
16.(15分)在①tan ＝2；②sin －sin＝cos ；③2sin＝cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知______________.(填序号)
(1)求的值；
(2)当α为第三象限角时，求sin－cos －cossin的值.
解：(1)若选①tan (π＋α)＝2，则tan α＝2，
∴＝8；
若选②sin－sin＝cos，则sin α－cos α＝
cos α，即sin α＝2cos α，则tan α＝2，
∴＝8；
若选③2sin＝cos，则sin α＝2cos α，则tan α＝2，∴＝8.
(2)由(1)得tan α＝2，即sin α＝2cos α，
由sin 2α＋cos 2α＝1，则(2cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝±，∵α为第三象限角，∴cos α＝－，sin α＝－，
∴sin－cos－cossin＝－sin α＋
cos α＋sin αcos α＝.
17.(15分)如图所示，在平面直角坐标系中，
锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与
x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交
于A，B两点，且OA⊥OB.
(1)求的值；
(2)若点A的横坐标为，求sin的值.
解：(1)依题意，β＝＋α，
∴＝－1.
(2)∵点A的横坐标为，而点A在第一象限，则点A，∴sin α＝，cos α＝，
于是得sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－，sin β＝sin＝cos α＝，cos β＝cos＝－sin α＝
－，∴sin(2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝××＝－.
18.(17分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos 2 x－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的对称中心的坐标；
(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
则f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，
即f(x)的对称中心的坐标为，k∈Z.
(3)当－≤x≤时，－≤2x＋≤，
则当2x＋时，函数f(x)取得最大值，最大值是2sin ＝2，当2x＋＝－时，函数f(x)取得最小值，最小值是2sin＝2×＝－1.
19.(17分)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(x)·f(－x)＝1，则称y＝f(x)为“自关联函数”.请根据上述定义回答下列问题：
(1)已知f(x)＝5x，g(x)＝ln x，判断y＝f(x)和y＝g(x)是不是“自关联函数”(不需要说明理由)；
(2)若y＝f(x)是R上的“自关联函数”，当x≤0时，f(x)＝，是否存在正整数x使f(x)＝2 025成立 请说明理由；
(3)若y＝f(x)是R上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在R上是增函数.设F(x)＝，若f(2)＝2 025，解不等式F－2 025＋＜0.
解：(1)函数f(x)＝5x的定义域为R， x∈R有－x∈R，且f(x)·f(－x)＝5x·＝1，∴f(x)＝5x是“自关联函数”；函数g(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，而x∈(0，＋∞)，－x∈ (0，
＋∞)，∴g(x)＝ln x不是“自关联函数”.
(2)由y＝f(x)是R上的“自关联函数”，得当x＞0时，－x＜0，f(x)f(－x)＝1，则f(x)＝＝4x＋x2，即函数
当x≤0时，函数y＝，y＝x2在(－∞，0]上都单调递减，y＝＋x2在(－∞，0]上单调递减，因此f(x)在(－∞，0]上单调递增，0＜f(x)≤f(0)＝1，方程f(x)＝2 025无解；当x＞0时，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(5)＝45＋52＝1 049＜2 025，
f(6)＝46＋62＝4 132＞2 025，则 x0∈(5，6)，使得f(x0)＝2 025，而x0 N*，∴方程f(x)＝2 025无正整数解，即不存在正整数x使f(x)＝2 025成立.
(3)由y＝f(x)是R上的“自关联函数”，得 x∈R，＝f(－x)，由F(x)＝，得F(x)＝f(x)－f(－x)，
由f(x)在R上是增函数，得 x1，x2∈R，x1＜x2，则－x1＞－x2，f(x1)＜f(x2)，f(－x1)＞f(－x2)，于是f(x1)－f(－x1)＜f(x2)－f(x2)，即F(x1)＜F(x2)，因此函数F(x)在R上是增函数，由f(2)＝2 025，得F(2)＝2 025－，不等式F－2 025＋＜0 F＜2 025－ F＜F(2) lox＜2，即lox＜lo，解得x＞，∴原不等式的解集为.综合核心素养测评卷(一)
满分150分　限时120分钟
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x|x2－2x－8＞0}，则 RA等于(　B　)
A.[－4，2] B.[－2，4]
C.(－2，4) D.(－4，2)
【解析】由不等式x2－2x－8＞0，可得(x－4)(x＋2)＞0，解得x＜－2，或x＞4，即集合A＝{x|x＜－2，或x＞4}，∴ RA＝{x|－2≤x≤4}＝[－2，4].
2.命题“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定是(　A　)
A. x∈R，x3－x2＋1≤0 B. x∈R，x3－x2＋1＜0
C. x∈R，x3－x2＋1≤0 D.不存在x∈R，x3－x2＋1＞0
【解析】由命题的否定知，“ x∈R，x3－x2＋1＞0”的否定为“ x∈R，x3－x2＋1≤0”.
3.在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】当0＜a＜1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递减，则函数y＝过定点(0，1)且单调递增，函数y＝loga过定点且单调递减，D符合题意；当a＞1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递增，则函数y＝过定点(0，1)且单调递减，函数y＝loga过定点且单调递增，故A，B，C均不符合题意.
4.若正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，则的最小值是(　B　)
A. B.2
C. D.2
【解析】由正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，得ab＝10，则由基本不等式有≥2＝2，当且仅当即a＝2，b＝5时，等号成立.
5.已知a＝log23，b＝，c＝20.4，则下列结论中，正确的是(　C　)
A.c＞b＞a B.b＞c＞a
C.b＞a＞c D.a＞b＞c
【解析】∵y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，且＜4，∴log2＜log2＜log24，即log2＜log23＜log222，∴＜log23＜2，即＜a＜2，b＝＝log310，∵y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，且10＞9，∴log310＞log39＝2，即b＞2，∵y＝2x在R上为增函数，且0＜0.4＜，∴20＜20.4＜，即1＜c＜，∴b＞a＞c.
6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他能驾驶汽车至少需要经过的时间为(　A　)
(参考数据：lg 0.2≈－0.7，lg 0.3≈－0.5，lg 0.7≈－0.15，lg 0.8≈－0.1)
A.5小时 B.6小时
C.3小时 D.4小时
【解析】∵1小时后血液中酒精含量为(1－30%) mg/mL，x小时后血液中酒精
含量为(1－30%)x mg/mL，由题意知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，∴(1－30%)x＜0.2，0.7x＜0.2，两边取对数得lg 0.7x＜lg 0.2，
x＞，∴至少经过5个小时才能驾驶汽车.
7.若函数y＝a|x|＋m－1(0＜a＜1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是(　D　)
A.[1，＋∞) B.(0，1)
C.(－∞，1) D.[0，1)
【解析】函数y＝＋m－1(0＜a＜1)的图象和x轴有交点，等价于函数y＝的图象与y＝1－m的图象有交点，当0＜a＜1时，0＜≤1，即0＜1－m≤1，解得0≤m＜1，即实数m的取值范围是[0，1).
8.已知cos α＝，cos (β－α)＝，且0＜β＜α＜π，则cos β等于(　C　)
A.－ B.－
C. D.
【解析】∵cos α＝，cos (β－α)＝，且0＜β＜α＜π，∴－π＜β－α＜0，
∴sin α＝，sin (β－α)＝－＝－，∴cos β＝cos [(β－α)＋α]＝cos (β－α)·cos α－sin(β－α)sin α＝××(－)＝.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)＞f(b)成立的一个充分不必要条件是(　AC　)
A.0＜ B.a2＞
C.ln a＞ln b D.2a＞2b
【解析】由题设知4m－1＝1，可得m＝，故f(x)＝，∴要使f(a)＞f(b)，则，即a＞b≥0.对于A，0＜ a＞b＞0，符合题意；对于C，ln a＞ln b a＞b＞0，符合题意；对于B，D，a，b均有可能为负数，不符合题意.
10.已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论中，正确的是(　BCD　)
A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1
【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示，
得出x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，则x3x4＝1，A错误，B正确；由图可知
1＜x4＜2，C正确；∵－2＜x1＜－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，∴x1x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，D正确.
11.函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)的部分图象，则下列结论中，正确的是(　ACD　)
A.函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.将函数f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g(x)，则g(x)为奇函数
D.函数f(x)在区间上单调递增
【解析】由图象得函数最小值为－2，故A＝2，，故T＝π，ω＝＝2，故函数f(x)＝2sin (2x＋φ)，又函数过点，故2sin＝－2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，即φ＝，故f(x)＝2sin，f(x)的对称轴：2x＋＋kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，当k＝0时，x＝，A正确；f(x)的对称中心：2x＋＝kπ，k∈Z解得x＝－，k∈Z，对称中心为，k∈Z，B错误；函数f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 2x，为奇函数，C正确；f(x)的单调递增区间：2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，又 ，k∈Z，故D正确.
[选择题答题区]
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D B C A D C AC BCD ACD
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(2 023)＝－2 022，则f(－2 023)＝　2 024　.
【解析】函数f(x)＝x3cos x＋1的定义域为R，令g(x)＝x3cos x，x∈R，则
g(－x)＝(－x)3cos (－x)＝－x3cos x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，又f(2 023)＝
g(2 023)＋1＝－2 022，∴g(2 023)＝－2 023，∴f(－2 023)＝g(－2 023)＋1＝
－g(2 023)＋1＝2 024.
13.高斯是德国著名的数学家，数学奠基者之一，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：y＝[x](x∈R)，[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.6]＝－2，[1.6]＝1，[2]＝2，则关于x的不等式[x]2＋[x]－12＜0的解集为　[－3，3)　.
【解析】∵[x]2＋[x]－12＜0，∴－4＜[x]＜3，∴－3≤x＜3.
14.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝60 A时，放电时间t＝30 h；当放电电流I＝80 A时，放电时间t＝16 h.若计算时取lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，则该蓄电池的Peukert常数n大约为　2.25　(结果精确到0.01).
【解析】由题意知C＝60n×30＝80n×16，∴，两边取以10为底的对数，得nlg ＝lg ，∴n＝≈≈2.25.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知命题p： x∈，x2－ax＋1＞0；命题q： x∈R，2x2＋x＋2＜0.
(1)若p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围.
解：(1)命题p： x∈，x2－ax＋1＞0为真，则a＜x＋在x∈[1，3]时恒成立，等价于a＜，1≤x≤3，
令y＝x＋，由基本不等式可得，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，即＝2，∴a＜2，故实数a的取值范围是(－∞，2).
(2)当命题q为真命题时， x∈R，2x2＋x＋2＜0，故Δ＝(a－2)2－16＞0，解得a＞6，或a＜－2，由于p与q有且只有一个为假命题，
①p真q假：故a∈[－2，2)；
②p假q真：故a∈(6，＋∞)，故实数a的取值范围是a∈
[－2，2)∪(6，＋∞).
16.(15分)在①tan ＝2；②sin －sin＝cos ；③2sin＝cos这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知　　　　　　.(填序号)
(1)求的值；
(2)当α为第三象限角时，求sin－cos －cossin的值.
解：(1)若选①tan (π＋α)＝2，则tan α＝2，
∴＝8；
若选②sin－sin＝cos，则sin α－cos α＝cos α，即sin α＝2cos α，则tan α＝2，
∴＝8；
若选③2sin＝cos，则sin α＝2cos α，则tan α＝2，
∴＝8.
(2)由(1)得tan α＝2，即sin α＝2cos α，
由sin 2α＋cos 2α＝1，则(2cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝±，∵α为第三象限角，∴cos α＝－，sin α＝－，
∴sin－cos－cossin＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝.
17.(15分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OA⊥OB.
(1)求的值；
(2)若点A的横坐标为，求sin的值.
解：(1)依题意，β＝＋α，
∴＝－1.
(2)∵点A的横坐标为，而点A在第一象限，则点A，∴sin α＝，cos α＝，
于是得sin 2α＝2sin αcos α＝，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－，
sin β＝sin＝cos α＝，cos β＝cos＝－sin α＝－，
∴sin(2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝××＝－.
18.(17分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos 2 x－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的对称中心的坐标；
(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
则f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，
即f(x)的对称中心的坐标为，k∈Z.
(3)当－≤x≤时，－≤2x＋≤，
则当2x＋时，函数f(x)取得最大值，最大值是2sin ＝2，当2x＋＝－时，函数f(x)取得最小值，最小值是2sin＝2×＝－1.
19.(17分)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(x)·f(－x)＝1，则称y＝f(x)为“自关联函数”.请根据上述定义回答下列问题：
(1)已知f(x)＝5x，g(x)＝ln x，判断y＝f(x)和y＝g(x)是不是“自关联函数”(不需要说明理由)；
(2)若y＝f(x)是R上的“自关联函数”，当x≤0时，f(x)＝，是否存在正整数x使f(x)＝2 025成立 请说明理由；
(3)若y＝f(x)是R上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在R上是增函数.设F(x)＝，若f(2)＝2 025，解不等式F－2 025＋＜0.
解：(1)函数f(x)＝5x的定义域为R， x∈R有－x∈R，且f(x)·f(－x)＝5x·
＝1，∴f(x)＝5x是“自关联函数”；函数g(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，而x∈(0，＋∞)，－x∈ (0，＋∞)，∴g(x)＝ln x不是“自关联函数”.
(2)由y＝f(x)是R上的“自关联函数”，得当x＞0时，－x＜0，f(x)f(－x)＝1，
则f(x)＝＝4x＋x2，即函数
当x≤0时，函数y＝，y＝x2在(－∞，0]上都单调递减，y＝＋x2在
(－∞，0]上单调递减，因此f(x)在(－∞，0]上单调递增，0＜f(x)≤f(0)＝1，
方程f(x)＝2 025无解；当x＞0时，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(5)＝45＋52＝1 049＜2 025，f(6)＝46＋62＝4 132＞2 025，则 x0∈(5，6)，使得f(x0)＝
2 025，而x0 N*，∴方程f(x)＝2 025无正整数解，即不存在正整数x使f(x)＝
2 025成立.
(3)由y＝f(x)是R上的“自关联函数”，得 x∈R，＝f(－x)，由F(x)＝，得F(x)＝f(x)－f(－x)，
由f(x)在R上是增函数，得 x1，x2∈R，x1＜x2，则－x1＞－x2，f(x1)＜f(x2)，f(－x1)＞f(－x2)，于是f(x1)－f(－x1)＜f(x2)－f(x2)，即F(x1)＜F(x2)，因此函数F(x)在R上是增函数，由f(2)＝2 025，得F(2)＝2 025－，不等式F－
2 025＋＜0 F＜2 025－ F＜F(2) lox＜2，即
lox＜lo，解得x＞，∴原不等式的解集为.

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