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一、集合的概念
知识点一　元素与集合的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为　 　.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
2. 集合：把一些元素组成的总体叫做　 　(简称为　 　).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
3. 集合中元素的特征：　 　，　 　，　 　.
4. 集合相等：只要构成两个集合的元素是　 　，我们就称这两个集合是相等的.
例1　集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与Q相等，则a＝　 　.
[延伸探究]　将例1改为“若集合Q中含有两个元素1和a2，求实数a的取值范围”，请作答.
[反思感悟]　1.判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性.
2.若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
知识点二　元素和集合之间的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 元素和集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 　 　 a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 　 　 a不属于集合A
2. 常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 　 　 　 　 或N＋ 　 　 　 　 R
例2　(1)用符号“∈”或“ ”填空：
0　 　N*；
－3　 　N；
0.5　 　Z；
　 　Z；
　 　Q；
π　 　R.
(2)已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a＝　 　.
[反思感悟]　判断元素和集合关系的方法
(1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
知识点三　集合的表示方法
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 列举法：把集合的所有元素　 　出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做　 　.
2. 描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为　 　，这种表示集合的方法称为描述法.
例3　用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
[反思感悟]　用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来.
例4　用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3＜1的解集组成的集合A；
(2)C＝{2，4，6，8，10}；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
[反思感悟]　用描述法表示集合的三个步骤
(1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示；
(2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围；
(3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}，其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列各组对象中，能构成集合的是(　 　)
A. 接近于1的所有正整数
B. 小于0的实数
C. (2 024，1)与(1，2 024)
D. 未来世界的高科技产品
2. 集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法为(　 　)
A. {0，1，2，3} B. {1，2，3}
C. {0，1，2，3，4} D. {1，2，3，4}
3. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 0与{0}表示同一个集合
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C. 方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2}
D. 集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示
4. 用列举法表示集合D＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}为　 　. 一、集合的概念
知识点一　元素与集合的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为　元素　.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
2. 集合：把一些元素组成的总体叫做　集合　(简称为　集　).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
3. 集合中元素的特征：　确定性　，　互异性　，　无序性　.
4. 集合相等：只要构成两个集合的元素是　一样的　，我们就称这两个集合是相等的.
例1　集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与Q相等，则a＝　±2　.
【解析】由题意得a2＝4，a＝±2.
[延伸探究]　将例1改为“若集合Q中含有两个元素1和a2，求实数a的取值范围”，请作答.
解：由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1，那么a的取值范围是{a|≠±1}.
[反思感悟]　1.判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性.
2.若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
知识点二　元素和集合之间的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 元素和集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 　a∈A　 a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 　a A　 a不属于集合A
2. 常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 　N　 　N*　 或N＋ 　Z　 　Q　 R
例2　(1)用符号“∈”或“ ”填空：
0　 　N*；
－3　 　N；
0.5　 　Z；
　 　Z；
　∈　Q；
π　∈　R.
(2)已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a＝　－1或0　.
【解析】∵－3∈A，
∴或解得a＝0，或a＝－1.
[反思感悟]　判断元素和集合关系的方法
(1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
知识点三　集合的表示方法
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 列举法：把集合的所有元素　一一列举　出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做　列举法　.
2. 描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为　{x∈A|P(x)}　，这种表示集合的方法称为描述法.
例3　用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
解：(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1，0}.
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
[反思感悟]　用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来.
例4　用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3＜1的解集组成的集合A；
(2)C＝{2，4，6，8，10}；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
解：(1)不等式2x－3＜1的解集组成的集合为A，设代表元素为x，则A＝{x|2x－3＜1}，即A＝{x|x＜2}.
(2)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2，4，6，8，10，∴x＝2n，n≤5，
n∈N*，∴C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}.
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，
y＞0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}.
[反思感悟]　用描述法表示集合的三个步骤
(1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示；
(2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围；
(3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}，其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列各组对象中，能构成集合的是(　BC　)
A. 接近于1的所有正整数
B. 小于0的实数
C. (2 024，1)与(1，2 024)
D. 未来世界的高科技产品
2. 集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法为(　B　)
A. {0，1，2，3} B. {1，2，3}
C. {0，1，2，3，4} D. {1，2，3，4}
3. (多选)下列说法中，正确的有(　BC　)
A. 0与{0}表示同一个集合
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C. 方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2}
D. 集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示
4. 用列举法表示集合D＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}为　{(0，8)，(1，7)，(2，4)}　. (共23张PPT)
一、集合的概念
集合与常用逻辑用语
第一章
　高中数学 必修 第一册
知 识 点 一
知识点一　元素与集合的概念
知 识 梳 理
1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为__________.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
2. 集合：把一些元素组成的总体叫做__________(简称为__________).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
3. 集合中元素的特征：__________，_________，_________.
4. 集合相等：只要构成两个集合的元素是__________，我们就称这两个集合是相等的.
元素
集合
集
确定性
互异性
无序性
一样的
例1　集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，
若集合P与Q相等，则a＝__________.
【解析】由题意得a2＝4，a＝±2.
±2
[延伸探究]　将例1改为“若集合Q中含有两个元素1和a2，求实数a的取值范围”，请作答.
解：由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1，那么a的取值范围是{a|≠±1}.
[反思感悟]　1.判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性.
2.若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
知 识 点 二
知识点二　元素和集合之间的关系
知 识 梳 理
1. 元素和集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 __________ a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 __________ a不属于集合A
a∈A
a A
2. 常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ___________ _______ 或N＋ _____ _____ R
N
N*
Z
Q
例2　(1)用符号“∈”或“ ”填空：
0__________N*；
－3__________N；
0.5__________Z；
__________Z；
__________Q；
π__________R.




∈
∈
(2)已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a＝__________.
【解析】∵－3∈A，
∴或解得a＝0，或a＝－1.
－1或0
[反思感悟]　判断元素和集合关系的方法
(1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
知 识 点 三
知识点三　集合的表示方法
知 识 梳 理
1. 列举法：把集合的所有元素__________出来，并用花括号
“{　}”括起来表示集合的方法叫做__________.
2. 描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为_____________，这种表示集合的方法称为描述法.
一一列举
列举法
{x∈A|P(x)}
例3　用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
解：(1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1，0}.
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
[反思感悟]　用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来.
例4　用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3＜1的解集组成的集合A；
(2)C＝{2，4，6，8，10}；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
解：(1)不等式2x－3＜1的解集组成的集合为A，设代表元素为x，则A＝{x|2x－3＜1}，即A＝{x|x＜2}.
(2)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2，4，6，8，10，
∴x＝2n，n≤5，n∈N*，∴C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}.
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x＜0，y＞0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x＜0，y＞0}.
[反思感悟]　用描述法表示集合的三个步骤
(1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示；
(2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围；
(3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}，其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.
随 堂 巩 固
1. (多选)下列各组对象中，能构成集合的是(　 　)
A. 接近于1的所有正整数
B. 小于0的实数
C. (2 024，1)与(1，2 024)
D. 未来世界的高科技产品
BC
2. 集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法为(　　)
A. {0，1，2，3} B. {1，2，3}
C. {0，1，2，3，4} D. {1，2，3，4}
B
3. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 0与{0}表示同一个集合
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C. 方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，2}
D. 集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示
BC
4. 用列举法表示集合D＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}为__________________________.
{(0，8)，(1，7)，(2，4)}

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