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二、集合间的基本关系
知识点一　子集
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. Venn图：在数学中，我们经常用平面上　 　的内部代表集合，这种图称为Venn图.
2. 子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中　 　一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的　 　
记法与 读法 记作　 　(或B A)，读作“　 　”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即　 　； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A B，且B C，则　 　
3. 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作　 　.也就是说，若　 　，且　 　，则A＝B.
例1　判断下列各对集合间的关系：
(1)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
[反思感悟]　判断集合间关系的常用方法
知识点二　真子集
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且　 　，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作　 　(或B A)，读作“　 　”(或“B真包含A”)
图示
2. 空集
定义 一般地，我们把　 　的集合叫做空集
记法 　 　
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， ；(2)A≠ ，则 A
3. 性质
传递性：对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
例2　(2024·福建泉州高一检测)已知集合M＝{x∈N|x＜2}，N＝{x∈Z|－2＜x＜2}.
(1)写出集合M的子集、真子集；
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数；
(3)猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
[反思感悟]　求集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
知识点三　由集合间的关系求参数范围
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围.
[延伸探究]　若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2＜x＜5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
[反思感悟]　利用集合间的关系求参数的关注点
(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列选项中，错误的有(　 　)
A. {1}∈{0，1，2} B. {1，－3}＝{－3，1}
C. {0，1，2} {1，0，2} D. ∈{0}
2. 已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则(　 　)
A. M N B. M∈N
C. N M D. M＝N
3. 已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　 　)
A. 2 B. －1
C. 2或－1 D. 4
4. 集合A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是　 　. 二、集合间的基本关系
知识点一　子集
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. Venn图：在数学中，我们经常用平面上　封闭曲线　的内部代表集合，这种图称为Venn图.
2. 子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中　任意　一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的　子集　
记法与 读法 记作　A B　(或B A)，读作“　A包含于B　”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即　A A　； (2)传递性：对于集合A，B，C，若A B，且B C，则　A C　
3. 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作　A＝B　.也就是说，若　A B　，且　B A　，则A＝B.
例1　判断下列各对集合间的关系：
(1)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解：(1)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
(2)集合A是数集，集合B是点集，故A与B之间无包含关系.
(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.
[反思感悟]　判断集合间关系的常用方法
知识点二　真子集
　　　　　　　　　　　　　　　　
　 知识梳理
1. 真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且　x A　，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作　A B　(或B A)，读作“　A真包含于B　”(或“B真包含A”)
图示
2. 空集
定义 一般地，我们把　不含任何元素　的集合叫做空集
记法 　 　
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， ；(2)A≠ ，则 A
3. 性质
传递性：对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
例2　(2024·福建泉州高一检测)已知集合M＝{x∈N|x＜2}，N＝{x∈Z|－2＜x＜2}.
(1)写出集合M的子集、真子集；
解：由题意可知M＝{0，1}，∴其子集为： ，{0}，{1}，{0，1}，真子集为{0}，{1}， .
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数；
解：由题意可知N＝{－1，0，1}，
∴其子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{－1，0}，{－1，1}，{－1，0，1}，共23＝8个；真子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{－1，0}，{－1，1}，共23－1＝7个；非空真子集为：{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{－1，0}，{－1，1}，共23－2＝6个.
(3)猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
解：由(1)，(2)可猜想含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，真子集个数为2n－1个，非空真子集个数为2n－2个.
[反思感悟]　求集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
知识点三　由集合间的关系求参数范围
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围.
解：当B＝ 时，满足B A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2；当B≠ ，且B A时，如图所示.
则解得2≤m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
[延伸探究]　若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2＜x＜5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：当B＝ 时，满足B A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2；当B≠ ，且B A时，如图所示.
则解得即2≤m＜3，
∴实数m的取值范围是{m|m＜3}.
[反思感悟]　利用集合间的关系求参数的关注点
(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. (多选)下列选项中，错误的有(　AD　)
A. {1}∈{0，1，2} B. {1，－3}＝{－3，1}
C. {0，1，2} {1，0，2} D. ∈{0}
2. 已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则(　C　)
A. M N B. M∈N
C. N M D. M＝N
3. 已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　C　)
A. 2 B. －1
C. 2或－1 D. 4
4. 集合A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是　{a|a≥6}　. (共25张PPT)
二、集合间的基本关系
集合与常用逻辑用语
第一章
　高中数学 必修 第一册
知 识 点 一
知识点一　子集
知 识 梳 理
1. Venn图：在数学中，我们经常用平面上__________的内部代表集合，这种图称为Venn图.
封闭曲线
2. 子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__________一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的___________
记法与 读法 记作__________(或B A)，读作“_____________”(或“B包含A”)
任意
子集
A B
A包含于B
图示 或
结论 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即
__________；
(2)传递性：对于集合A，B，C，若A B，且B C，则___________
A A
A C
3. 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作_________.也就是说，若_________，且________，则A＝B.
A＝B
A B
B A
例1　判断下列各对集合间的关系：
(1)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(2)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解：(1)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
(2)集合A是数集，集合B是点集，故A与B之间无包含关系.
(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.
[反思感悟]　判断集合间关系的常用方法
知 识 点 二
知识点二　真子集
知 识 梳 理
1. 真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且__________，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作__________(或B A)，读作“_____________”
(或“B真包含A”)
图示
x A
A B
A真包含于B
2. 空集
定义 一般地，我们把__________________的集合叫做空集
记法 ___________
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，
；(2)A≠ ，则 A
不含任何元素

3. 性质
传递性：对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
例2　(2024·福建泉州高一检测)已知集合M＝{x∈N|x＜2}，
N＝{x∈Z|－2＜x＜2}.
(1)写出集合M的子集、真子集；
解：由题意可知M＝{0，1}，∴其子集为： ，{0}，{1}，{0，1}，真子集为{0}，{1}， .
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数；
解：由题意可知N＝{－1，0，1}，
∴其子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{－1，0}，{－1，1}，{－1，0，1}，共23＝8个；真子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{－1，0}，{－1，1}，共23－1＝7个；非空真子集为：{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{－1，0}，{－1，1}，共23－2＝6个.
(3)猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集的个数呢
解：由(1)，(2)可猜想含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，真子集个数为2n－1个，非空真子集个数为2n－2个.
[反思感悟]　求集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
知 识 点 三
知识点三　由集合间的关系求参数范围
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围.
解：当B＝ 时，满足B A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2；当B≠ ，且B A时，如图所示.
则解得2≤m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
[延伸探究]　若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2＜x＜5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：当B＝ 时，满足B A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2；当B≠ ，且B A时，如图所示.
则解得即2≤m＜3，
∴实数m的取值范围是{m|m＜3}.
[反思感悟]　利用集合间的关系求参数的关注点
(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值.
(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集.
随 堂 巩 固
1. (多选)下列选项中，错误的有(　 　)
A. {1}∈{0，1，2} B. {1，－3}＝{－3，1}
C. {0，1，2} {1，0，2} D. ∈{0}
AD
2. 已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则(　　)
A. M N B. M∈N
C. N M D. M＝N
C
3. 已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，
则实数m等于(　　)
A. 2 B. －1
C. 2或－1 D. 4
C
4. 集合A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是__________.
{a|a≥6}

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