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1.4 导学2　充要条件
知识点一　充要条件
　 知识梳理
1. 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有　 　，又有　 　，就记作　 　，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为　 　条件.
2. 条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q，且q / p 充分不必要条件
q p，且p / q 必要不充分条件
p q，且q p 充要条件
p / q，且q / p 既不充分也不必要条件
例1　判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p：x2＞0，q：x＞0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
[反思感悟]　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系判断，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也具有传递性.
知识点二　充要条件的证明
例2　已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.证明：d＝r是直线l与☉O相切的充要条件.
[反思感悟]　关于充要条件的证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
知识点三　充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
[延伸探究]　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
[反思感悟]　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系；
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　 　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
2. “三个数a，b，c不全为零”的充要条件是(　 　)
A. a，b，c都不是零
B. a，b，c中至多一个是零
C. a，b，c中只有一个为零
D. a，b，c中至少一个不是零
3. 若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的　 　条件.
4. 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是　 　. (共20张PPT)
四、充分条件与必要条件
导学2　充要条件
集合与常用逻辑用语
第一章
　高中数学 必修 第一册
知 识 点 一
知识点一　充要条件
知 识 梳 理
1. 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有__________，又有__________，就记作__________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为__________条件.
p q
q p
p q
充要
2. 条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q，且q / p 充分不必要条件
q p，且p / q 必要不充分条件
p q，且q p 充要条件
p / q，且q / p 既不充分也不必要条件
例1　判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p：x2＞0，q：x＞0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
解：(1)p：x2＞0，则x＞0，或x＜0，q：x＞0，∴p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，∴也能被3和2整除，q：a能被3整除，∴p是q的充分不必要条件.
(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，∴p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，∴p / q；又是正数，但不是自然数，∴q / p，故p是q的既不充分也不必要条件.
[反思感悟]　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系判断，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也具有传递性.
知 识 点 二
知识点二　充要条件的证明
例2　已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.证明：
d＝r是直线l与☉O相切的充要条件.
证明：设p：d＝r，q：直线l与☉O相切.
①充分性(p q)：如图所示，作OP⊥l于点P，
则OP＝d.若d＝r，则点P在☉O上.在直线l上
任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ
中，OQ＞OP＝r，∴除点P外直线l上的点都
在☉O的外部，即直线l与☉O仅有一个公共
点P，∴直线l与☉O相切.
②必要性(q p)：若直线l与☉O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l，∴d＝OP＝r.
由①②可得，d＝r是直线l与☉O相切的充要条件.
[反思感悟]　关于充要条件的证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
知 识 点 三
知识点三　充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：∵p是q的必要不充分条件，∴q p，p / q.令A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，∴B A，∵m＞0，∴B不为空集，∴且等号不能同时成立，解得m≤3，即m的取值范围是{m|m≤3}.
[延伸探究]　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：∵p是q的充分不必要条件，∴p q，q / p.令A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，∴A B，∵m＞0，∴B不为空集，∴且等号不能同时成立，解得m≥9，即m的取值范围是{m|m≥9}.
[反思感悟]　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系；
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
随 堂 巩 固
1. “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
A
2. “三个数a，b，c不全为零”的充要条件是(　　)
A. a，b，c都不是零
B. a，b，c中至多一个是零
C. a，b，c中只有一个为零
D. a，b，c中至少一个不是零
D
3. 若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的__________条件.
充要
4. 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是__________.
m＝－21.4 导学2　充要条件
知识点一　充要条件
　 知识梳理
1. 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有　p q　，又有　q p　，就记作　p q　，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为　充要　条件.
2. 条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论(p是q的)
p q，且q / p 充分不必要条件
q p，且p / q 必要不充分条件
p q，且q p 充要条件
p / q，且q / p 既不充分也不必要条件
例1　判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p：x2＞0，q：x＞0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然数；q：a是正数.
解：(1)p：x2＞0，则x＞0，或x＜0，q：x＞0，∴p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，∴也能被3和2整除，q：a能被3整除，∴p是q的充分不必要条件.
(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，∴p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数，但0不是正数，∴p / q；又是正数，但不是自然数，∴q / p，故p是q的既不充分也不必要条件.
[反思感悟]　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：利用p q与q p的等价关系判断，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也具有传递性.
知识点二　充要条件的证明
例2　已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.证明：d＝r是直线l与☉O相切的充要条件.
证明：设p：d＝r，q：直线l与☉O相切.
①充分性(p q)：如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d.若d＝r，则点P在☉O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r，∴除点P外直线l上的点都在☉O的外部，即直线l与☉O仅有一个公共点P，∴直线l与☉O相切.
②必要性(q p)：若直线l与☉O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l，∴d＝OP＝r.
由①②可得，d＝r是直线l与☉O相切的充要条件.
[反思感悟]　关于充要条件的证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
知识点三　充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：∵p是q的必要不充分条件，∴q p，p / q.令A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，∴B A，∵m＞0，∴B不为空集，∴且等号不能同时成立，解得m≤3，即m的取值范围是{m|m≤3}.
[延伸探究]　若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：∵p是q的充分不必要条件，∴p q，q / p.令A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，∴A B，∵m＞0，∴B不为空集，∴且等号不能同时成立，解得m≥9，即m的取值范围是{m|m≥9}.
[反思感悟]　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系；
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
　 随堂巩固
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　A　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
2. “三个数a，b，c不全为零”的充要条件是(　D　)
A. a，b，c都不是零
B. a，b，c中至多一个是零
C. a，b，c中只有一个为零
D. a，b，c中至少一个不是零
3. 若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的　充要　条件.
4. 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是　m＝－2　.

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