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专题2-2 基本不等式
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模块一 知识点与重点题型梳理
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号
常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；
方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值
【例题1】已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ）
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
【答案】C
【解析】，，且，（1），
当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：．
【例题2】已知，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】，由不等式可知，
当且仅当时等号成立，即的最大值为.
【例题3】已知正数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
当且仅当时，等号成立．故的最大值为4．
【例题4】若，，则的最小值为______．
【答案】
【简析】，当且仅当，即，等号成立.
【巩固练习1】若，，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立.
所以的最小值为.
【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________
【答案】
【详解】，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值
【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 .
【答案】 4; 1
【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
故的最小值是4，此时的值为1.
【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________
【答案】
【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立
【题型2】 凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成立
【例题1】若，则的最小值为 .
【答案】0
【解析】由，得，
所以，
当且仅当即时等号成立.
【例题2】已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用基本不等式性质求解即可.
【详解】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
【例题3】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】运用基本不等式计算即可.
【详解】由题意得，则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为3．
【巩固练习1】（24-25高一上·广东茂名·期末）当取得最小值时，（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先对式子进行变形转化，再利用完全平方的非负性，结合基本不等式等知识来找到取得最小值时的情况.
【详解】将变形为.
设（），那么式子就变为.
根据均值不等式则，当且仅当时等号成立.
由（），即，解得（舍去，因为）.
当时，也就是，那么，所以.
当取得最小值时，.
【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【分析】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值．
【详解】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，
4（x﹣3）12≥12+224，
当且仅当4x﹣12时，取得最小值24．
【巩固练习3】（）的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
【题型3】分离常数法求最值
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：（x>0）
例2：
【例题1】若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；故选：C
【例题2】的最小值是______.
【答案】
【详解】，当且仅当时，即时取等号
【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解．
【详解】因为，，，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B．
【巩固练习2】已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______．
【答案】 2； 0
【分析】化简，根据基本不等式求解即可.
【详解】显然，，
则，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最小值是2，此时.
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
【例题1】（广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________
【答案】9
【详解】，当且仅当时等号成立
【例题2】已知且，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为8
【例题3】（24-25广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8.
【详解】由可得：
；
当且仅当，即当时，等号成立.
即的最小值为8.
【例题4】已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为且，，所以，
则，
当且仅当时，即当，时，等号成立.
因此，的最小值是.故选：C.
【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】16
【解析】
当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16.
【巩固练习2】（24-25高一下·湖南娄底·期中）已知，且，则的最小值是 .
【答案】
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，所以
，
当且仅当，即，时取等号.
【巩固练习3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得.
【详解】因，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立．
【巩固练习4】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值．
【详解】，，
当且仅当，即时取等号.
【巩固练习5】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，且，则的最小值是 .
【答案】12
【分析】利用基本不等式中“1”的应用计算即可求得结果.
【详解】根据题意可知：
；
当且仅当，即时，等号成立；
因此的最小值是12.
模块二 解题技巧突破
【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
【例题1】已知，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得的最小值．
【详解】依题意．
当且仅当时等号成立．
【例题2】已知实数x，满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．
【详解】由条件可得
．
当且仅当，即时等号成立
【巩固练习1】若，，且，则有最小是________
【答案】5
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值5
【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．
【详解】因为正实数，满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立．故的最小值是．
【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立.
【题型6】二次比一次型换元法求最值
基本模型：，当且仅当时等号成立
【例题1】已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C． D．或3
【分析】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果.
【详解】由，得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3．
【例题2】函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
【例题3】已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为.
【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
【巩固练习2】若，则函数的最小值为 .
【答案】3
【解析】由题意，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为3.
【巩固练习3】求的最小值 .
【答案】9
【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解.
，
，，
，
当且仅当即时，等号成立.
【题型7】分母换元法（1）：单换元
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.
单分母换元：把其中一个分母进行换元
【例题1】已知，则的最小值是________
A．6 B．8 C．4 D．9
【分析】可以设，则有，求的最小值，用乘“1”法即可
【答案】9
【详解】解：设，则有，
当且仅当，即a时取等号，所以的最小值是9．
【例题2】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【详解】由，
令，，
，
当且仅当即时等号成立.
【例题3】已知，其中，，，则的最小值为 ．
【答案】16
【解析】因为，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16
【巩固练习1】若，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】因为，所以．
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则．故答案为：
【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。
【详解】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为
【巩固练习3】已知，则的最小值是______.
【答案】
【简析】记，则，则有
【巩固练习4】（24-25高一下·河北保定·期中）已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，得，而，
则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为2.
【巩固练习5】（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知实数，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】将原式变形为，利用基本不等式求解.
【详解】，，则，
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
【题型8】分母换元法（2）：双换元+配凑
双分母换元：可以把2个分母都换元
【例题1】若正实数满足，则最小值为________
【答案】
【详解】由
，当且仅当时，等号成立，所以有最小值
【例题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值．
【详解】∵正数满足，
∴，且，则，，
设，，则，，，，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为．
【巩固练习1】已知且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立
【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 .
【答案】
【解析】令，则，
可得，即，
且，
∵，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，
∴，
即的最大值是.
【巩固练习3】（24-25·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，
即，时，等号成立，所以的最小值为
【题型9】 和，积，平方和之间的转化
涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解
常用不等式链：（主要用于和积转换）
【例题1】已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【答案】B
【解析】，则有，
可得，即4，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4.
【例题2】（湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即，
解得或（舍），所以的取值范围为．
【例题3】（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件.
【详解】由，即，又，
所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错；
由，即，
所以，当且仅当时等号成立，C、D错.
【巩固练习1】（高一上·天津河北·期中）若，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，解得（舍去），或，
所以，当且仅当，即时取等号，
即的取值范围是
【巩固练习2】若，则的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
【答案】C
【解析】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________
【答案】
对于选项AB，，
则，当且仅当时等号成立，故的最大值为
【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误；
对于B：因为且，所以，
所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于C：因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于D：由C可知错误
【巩固练习5】（24-25高一上·四川宜宾·期末）(多选)若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】通过对已知条件进行变形，利用均值不等式来分析，，的取值范围，进而判断各个选项的正确性.
【详解】已知，因为，那么.
设（），则，移项得到.
因为，即，也就是，两边平方可得，所以A选项正确、B选项错误.
由可得，因为，所以，当且仅当时取等号，所以C选项正确.
根据完全平方公式，由前面可知，.
那么，当且仅当时取等号，所以D选项正确.
故选：ACD.
【巩固练习6】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值；
（2）若，求的最小值；
（3）已知为正实数，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）8；（3）．
【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号；
所以，的最大值为.
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
（3），．
又，，
，
当且仅当，即时，等号成立．
由得
当，时，取得最小值．
三 【课后作业】
已知，则的最小值是 ．
【答案】16
【解析】由题意得，解得，
等号成立当且仅当，所以的最小值是16.
故答案为：16.
（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值；
（2）若，求的最小值；
（3）已知为正实数，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）8；（3）．
【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号；
所以，的最大值为.
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
（3），．
又，，
，
当且仅当，即时，等号成立．
由得
当，时，取得最小值．
已知，，且，证明：
(1)；(2)．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即，故；
（2）因为，所以，
因为，，所以，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则，即．
（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）(多选)若，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求最值，逐项判断即可.
【详解】对A：因为，即（当且仅当即时取“”），故A项正确；
对B：因为（当且仅当即时取“”），故B项错误；
对C：因为，
所以（当且仅当即时取“”），故C项正确；
对D：由，
所以，由B知：成立，故D项正确.
若，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
设为正实数，且，则的最小值为
【答案】
【解析】由，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，
当且仅当，即时取得最小值.
（江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以
.
当且仅当，即时取等.
的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；故选：C
（24-25高一上·江苏扬州·期末）(多选)已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则对任意实数， B．若，则
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】BCD
【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D.
【详解】A：当，此时，错；
B：由，则，即，对；
C：，
当且仅当时取等号，对；
D：由，则，故，
当时，取得最小值，对；
故选：BCD
（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将变形为，再利用“1”的代换，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为 ，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设，则有，求最小值，结合乘1法即可
【详解】解：5﹣（），
∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，
）（a+1+b+1）（1+4），
4（当且仅当，即a，b时，等号成立），
故（1+49，即，
故5﹣（
已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是
若，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则.
正实数，满足，则的最小值是________
【答案】
【解析】因为正实数，满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立.故的最小值是
正实数a，b满足，则的最小值为______.
【答案】1
【分析】将变为，即可将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为正实数满足，所以，
则，
当且仅当,即时取等号，
所以的最小值为1，
已知，则的最小值是______，此时a=______．
【答案】4 ，
【分析】化简，根据基本不等式求解即可.
【详解】显然，，
则，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，的最小值是4此时.
（2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由正数，满足，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
（1）已知正数、满足，求 的最小值；
（2）求函数的最小值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得 的最小值；
（2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以
，
当且仅当，且，即时，等号成立，
故的最小值为；
（2）因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的最小值.
利用不等式求最值
（1）已知，且，求的最小值.
（2）已知，且，求的最小值.
【答案】（1）9；（2）16
【分析】由条件可得，结合基本不等式分别求和的最小值.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，当且仅当，时等号成立，即时等号成立，
所以的最小值为.
（2）因为，，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
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专题2-2 基本不等式
TOC \o "1-3" \n \h \z \u
模块一 知识点与重点题型梳理
【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号
常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；
方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值
【例题1】已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ）
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
【例题2】已知，则的最大值为 ．
【例题3】已知正数，满足，则的最大值为 ．
【例题4】若，，则的最小值为______．
【巩固练习1】若，，且，则的最小值为 .
【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________
【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 .
【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________
【题型2】 凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
常见的配凑法求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立
【例题1】若，则的最小值为 .
【例题2】已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例题3】已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【巩固练习1】当取得最小值时，（ ）
A．0 B．1 C． D．
【巩固练习2】已知实数x＞3，则的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【巩固练习3】（）的最小值为 ．
【题型3】分离常数法求最值
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：（x>0）
例2：
【例题1】若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【例题2】的最小值是______.
【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【巩固练习2】已知，则的最小值为 .
【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______．
【题型4】“1”的妙用：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
【例题1】若正实数a，b满足，则的最小值是________
【例题2】已知且，则的最小值是 ．
【例题3】已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【例题4】已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ．
【巩固练习2】已知，且，则的最小值是 .
【巩固练习3】已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【巩固练习4】已知，且，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【巩固练习5】已知，，且，则的最小值是 .
模块二 解题技巧突破
【题型5】“1”的妙用（2）：“1”的代换
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
【例题1】已知，，，则的最小值为 ．
【例题2】已知实数x，满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．8
【巩固练习1】若，，且，则有最小是________
【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．
【巩固练习3】已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【题型6】二次比一次型换元法求最值
基本模型：，当且仅当时等号成立
【例题1】已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C． D．或3
【例题2】函数的最小值为 ．
【例题3】已知，则的最小值为 .
【巩固练习1】当时，函数的最小值为 ．
【巩固练习2】若，则函数的最小值为 .
【巩固练习3】求的最小值 .
【题型7】分母换元法（1）：单换元
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.
单分母换元：把其中一个分母进行换元
【例题1】已知，则的最小值是________
A．6 B．8 C．4 D．9
【例题2】已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】已知，其中，，，则的最小值为 ．
【巩固练习1】若，则的最小值是 ．
【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ．
【巩固练习3】已知，则的最小值是______.
【巩固练习4】已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ．
【巩固练习5】已知实数，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【题型8】分母换元法（2）：双换元+配凑
双分母换元：可以把2个分母都换元
【例题1】若正实数满足，则最小值为________
【例题2】设正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知且，则的最小值为 .
【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ．
【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 .
【巩固练习3】已知，，且，则的最小值为 .
【题型9】 和，积，平方和之间的转化
涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解
常用不等式链：（主要用于和积转换）
【例题1】已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【例题2】已知，且，则的取值范围为 ．
【例题3】已知，且，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】若，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若，则的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
【巩固练习3】已知实数，满足，则的最大值为________
【巩固练习4】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习5】(多选)若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】（1）已知，求的最大值；
（2）若，求的最小值；
（3）已知为正实数，，求的最小值.
三 【课后作业】
已知，则的最小值是 ．
（1）已知，求的最大值；
（2）若，求的最小值；
（3）已知为正实数，，求的最小值.
已知，，且，证明：
；(2)．
(多选)若，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
若，且，则的最小值为 ．
设为正实数，且，则的最小值为
设，则的最小值为 ．
设，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
(多选)已知实数满足且，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则对任意实数， B．若，则
C．的最小值是 D．的最小值是
已知，，且，则的最小值为 ．
已知正数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
已知，则函数的最小值是 ．
若，则的最小值为______.
正实数，满足，则的最小值是________
正实数a，b满足，则的最小值为______.
已知，则的最小值是______，此时a=______．
已知正数，满足，则的最小值为 .
（1）已知正数、满足，求 的最小值；
（2）求函数的最小值．
利用不等式求最值
（1）已知，且，求的最小值.
（2）已知，且，求的最小值.
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