资源简介

安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高二下学期春季联赛
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．T C．S D．Z
2．从1，2，4，8，16这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若复数，满足，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
4．已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（ ）
A．20 B．21 C．100 D．101
二、多选题
9．已知随机变量X服从正态分布，定义函数为X取值不超过x的概率，即．若，则（ ）
A． B．
C．在上是减函数 D．
10．已知点F是抛物线C：的焦点，设直线：与抛物线C有唯一公共点P，过点P作直线的垂线交x轴于点R，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（ ）
A．，直线与直线所成的角均为
B．，使得四面体的体积为
C．当时，直线与平面所成角的正切值为
D．当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为
三、填空题
12．乘积式展开后的项数是___________.
13．函数的最大值为_____.
14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为5cm，该纸片上的正六边形的中心为，G、H、M、N、P、Q为圆上的点，，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使得G、H、M、N、P、Q重合，得到六棱锥.当正六边形的边长变化时，所得六棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_____.
四、解答题
15．已知数列的递推关系式为.
(1)记的前项和为，证明：；
(2)若数列各项除以2后所得到的余数构成，记前项和为，求.
16．如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
17．在平面直角坐标系中，设A，B两点的坐标分别为，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，设点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点P，Q在C上，E是平面上不同于P，Q的动点，且满足.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①E在曲线C上；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
18．（1）证明：当且时，，；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取10次，设抽得的10个号码互不相同的概率为.证明：.
19．点S是直线外一点，点M，N在直线上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段上，记；若点M在线段外，记．记．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，点D是射线上一点，且．
(1)若，求；
(2)射线上的点，，，…满足，，
（i）当时，求的最小值；
（ii）当时，过点C作于，记，求证：数列的前n项和．
参考答案
1．C
【详解】任取，则，其中，所以，故，
因此，.
故选：C
2．B
【详解】从5个数中取两个数，总共有种取法，
满足“其中一个数是另一个的两倍”的数对有：，共4对，
所以概率为.
3．A
【详解】由和，得是方程的两个根，
解得，它们互为共轭复数，设，
所以.
4．B
【详解】向量，向量，
则，，
所以在方向上的投影向量为.
5．D
【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意；
对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号，
则与异号，故与题设矛盾，故B不成立；
对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误；
对于D：，设，则，不等式转化为，
因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确.
6．C
【详解】因为，
所以.
设，，则，易知在上单调递增，从而，即，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.
故选:C.
7．C
【详解】由二项式定理，，
对比系数得，即，
则所求表达式为，
利用组合恒等式，得.
8．A
【详解】因为是等腰直角三角形，可设，则，
代入可得，，即，
再结合与的图象交点可知，，
所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，
所以有，故，则点的横坐标为20.
9．AD
【详解】因为随机变量X服从正态分布，
所以，A正确；
，因为，所以，
所以不可能，B不正确；
因为，所以当增大时，也增大，C不正确；
，D正确.
故选：AD.
10．AD
【详解】
抛物线：，焦点，
直线：与抛物线有唯一公共点，即相切，
将代入抛物线得，
由得，化简得，故A正确，B错误.
切点坐标：，，
过点作直线的垂线，斜率为，方程为，
令得，即，
计算，
，
，
故恒成立，故C错误，D正确.
11．ACD
【详解】设，则，
又，所以，解得，
即.
A：建立如图空间直角坐标系，
则，
有，
所以，得，故A正确；

B：因为，，
，，
有，
所以，
得，
所以.
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，则点到平面的距离为，
所以四面体的体积为
，
则该四面体的体积为定值，故B错误；

C：由选项B的分析可知，当时，，
易知平面的一个法向量为，
则，
设直线与平面所成角为，为锐角，
则，所以，故C正确；

D：当时，E、F分别为AD、AB的中点，由正三棱柱的特征可知，
点分别为正方形、、的中心，如图，
则，
有，则，
所以为正三棱柱的高，且，故D正确.

故选：ACD.
12．18
【详解】解：依题意从第一个括号中选一个字母有种方法，
从第二个括号中选一个字母有种方法，
从第三个括号中选一个字母有种方法，
按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为项；
故答案为：
13．1
【详解】
，
设，即，
因此当，即时,.
14．
【详解】由题，连接，交于点，
由题，，设，则，，
六棱锥的高，
底面积，
则，
令，，，
令，即，，
则，则，
所以体积最大值为.
15．(1)证明见解析
(2)1352
【详解】（1）因为，所以，
则有，
以上各式相加得，
又，所以；
（2）根据递推关系及每一项的奇偶性可知，数列各项除以2后所得余数构成新数列1，1，0，1，1，0，…
所以该数列的周期为，1个周期内的项为，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为垂直平分，所以，
又因为，，所以，
从而可得；
（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，设，，
在中，，
过点作于，则，
因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
设直线与平面所成角为，所以，
令，，，
则，
当且仅当，即时，有最大值2，
此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为．
17．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设点的坐标为，
由题意可得，
化简得，点的轨迹方程为.
（2）设，，，
由可得，，
若由①②推③：当在曲线上，则有，
化简得，，
又，所以，即.
若由①③推②：当E在曲线C上，则有，化简得，再由得，从而可得.
若由②③推①：由得，结合.
，
所以E在曲线C上.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）当时，；
当，时，构造函数，其中且，
则，可知，
所以当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增，
所以，故当且时，.
综上，当且时，，；
（2）由题意，从100张卡片中有放回地抽取10次，每次抽取相互独立，总可能结果为，
要使10个号码互不相同，相当于从100个号码中选取10个进行排列，共有种方式.
因此概率为.
对分子中的因数配对并放缩：
，
，
，
.
于是.
由（1）可得，对且，有.
即，两边取倒数得.
因此，原不等式得证.
19．(1)，
(2)
（i）
（ii）当，,所以在线段的延长线上，
所以，
所以,
时，所以，
,，
所以，
综上.
【详解】（1）因为D是线段上一点，，
所以故，
所以为的角平分线，又,所以,
若，在中，由余弦定理可得,
故，
由正弦定理可得,故，解得,
由于是最大的边，所以，
（2）设，
（i）当时，因为,所以在线段的延长线上，
所以，
因为,
,
所以
当且仅当,即取等号，此时，
由于,，等号可以取到，
故的最小值为

展开更多......

收起↑