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专题2-1 等式性质与不等式性质
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模块一 重难点题型突破
【题型1】用不等式（组）表示不等式关系
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
【例题1】（高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，，所以有.
【巩固练习1】下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入元不高于元可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量不小于可表示为“”
D．变量不超过可表示为“”
【答案】C
【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错；
对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错；
对于C，变量不小于可表示为“”，C正确；
对于D，变量不超过可表示为“”，D错.
【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
【例题1】（24-25高一上·广东清远·期中）(多选)下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，若，时，推不出，所以选项A错误，
对于选项B，由，得到，又，所以，即，
所以可以推出，由选项A知推不出，所以是的充分不必要条件，故选项B正确，
对于选项C，易知可以推出，取，显然满足，
但不满足，即推不出，所以是的充分不必要条件，故选项C正确，对于选项D，由选项C知，推不出，所以选项D错误
【例题2】（高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当，则，故A不正确；
对于B，当时，由可得，故B不正确；
对于C，当时，，故C不正确；
对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确.
【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断.
【详解】对于A，若，满足，则，所以A错误，
对于B，因为，，所以，即得，又因为，
则，所以B正确，
对于C，若，满足，则，所以C错误，
对于D，若，则，所以D错误
【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.
【巩固练习3】（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项.
【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误．
对于B，当时，满足，但，所以B错误．
对于C，因为，所以，则，所以C正确．
对于D，当时，，不符合，所以D错误．
【巩固练习4】（多选）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，，，所以，，
所以，
所以，所以C正确，
对于D，若，则，所以D错误，故选：BC
【题型3】作差法比较两数（式）的大小
作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
对任意两个实数、
①；②；③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．
【例题1】已知，则 .（填“”，“”，或“”）
【答案】
【解析】，故.
故答案为：.
【例题2】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设，试比较与的大小.
（2）已知、、、且，，求证：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小；
（2）利用作差法，即可证明．
【详解】（1）
；
因为，所以，，
所以，
所以；
（2）证明：，
因为且，，
所以；
又因为，所以，则，
又，
所以，即．
【巩固练习1】比较下列两式大小：
(1)与
(2)与
【解析】（1）由，
所以.
（2）由，
所以．
【巩固练习2】已知，试比较与的大小.
【解析】由，
因为，，可得，
所以.
【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)与；
(2)与.
【解析】（1），
.
（2），
，
，则，
.
【题型4】作商法比较两数（式）的大小
作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
；②；③．
【例题1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【解析】∵，即.
又，
.
故答案为：>.
【例题2】已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【解析】由题意，由立方和公式，
可得分子，
将其代入原式得，
进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当，
将其代入原式得，
综上所述（当且仅当时取等号）.
【巩固练习1】设，比较与的大小
【答案】
【解析】，
，
，
.
【巩固练习2】，则的大小关系为 ．
【答案】≥
【解析】因为， 则
由
所以
【巩固练习3】已知，试比较和的大小.
【解析】（方法1）因为，所以.
所以.
因为，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
【题型5】其它方法比大小
1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
2、平方法：对两式先平方，再比较大小．
【例题1】比大小：_____．
【答案】>
【分析】对，两边平方，再做差比较大小可得答案.
【详解】因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以.
【例题2】若，，则a、b的大小关系是 ．
【答案】
【解析】，，
因为，所以，
.
故答案为：.
【巩固练习1】比较大小：．（用，或填空）
【答案】<
【详解】此类题是方法是，若a+b=c+d，则两个数越接近，其根式和越大.
【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．MC．M≤N D．M，N大小关系不确定
【答案】B
【分析】平方后作差比较大小即可.
【详解】，
∴M【巩固练习3】设，，则m n（填入“<”或“>”）
【答案】
【解析】依题意，，，而，因此，
所以.
故答案为：
【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）
常见文字语言与符号语言之间的对应关系
文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过
符号语言
【例题1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．5种
【答案】D
【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且，
根据题意可得，
解得符合题意的有序实数对可以是，
共5种不同的购买方式.
【例题2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢.
(1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？
(2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？
【答案】(1)答案见详解
(2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少
【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案；
（2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.
【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节，
则可列不等式组，
利用不等式即可解得，
，或，或.
共有三种方案：
方案一，安排型货厢28节，型货厢22节；
方案二，安排型货厢29节，型货厢21节；
方案三，安排型货厢30节，型货厢20节.
（2）共有三种方案，运费分别为：
安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元
安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元.
安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元.
易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元.
【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）
A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节
C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节
【答案】C
【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则，
A：共50节且，，满足；
B：共50节且，，满足；
C：共50节且，，不满足；
D：共50节且，，满足；
【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）
A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节
C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节
【答案】C
【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则，
A：共50节且，，满足；
B：共50节且，，满足；
C：共50节且，，不满足；
D：共50节且，，满足；故选：C.
【巩固练习3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）．
(1)写出，，，四个长方体容器的体积、、、；
(2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）；
(3)在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由．
【答案】(1)，，，
(2)，，，，，
(3)甲必胜的方案：甲选AD，理由见解析
【分析】（1）直接利用长方体体积公式求解即可；
（2）直接写出各种可能情况即可；
（3）按照，的大小关系，分情况结合不等式的性质以及作差法分析判断，比较大小即可．
【详解】（1），，，的体积分别为，，，，
因为容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，
则，，，．
（2）甲从，，，中任选2个，有，，，，，，共6种可能．
（3）当时，则，即．
则，，即甲取，均不能够稳操胜券；
当时，则，
即，
则，，
即甲取，均不能稳操胜券；
若甲先取，则：，
即，
即甲先取能够稳操胜券，选不能够稳操胜券，
综上所述：甲必胜的方案：甲选AD．
模块二 中档题突破
【题型7】糖水不等式的证明及应用
糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。
其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有：
含义解释：
（1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）.
（2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）.
关键点：
前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数.
结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1.
应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。
【例题1】（高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一）
(2) (其中)（答案形式不唯一）
【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立.
【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，
即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
＝.
∵a，b，m为正实数，且，，
∴，即.
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，
糖水浓度为，且，求证： (其中).
证明：，且，，
，即，
，
即，
，
即.
【例题2】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证；
（2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解；
（3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证.
【详解】（1）由题意，可得不等式.
证明：由，
因为，可得，
所以，即.
（2）由，
由（1）中的结论，可得，即.
（3）证明：因为，
由（1）中的结论，可得，
所以①，
又由，同理可得，
则，
由上述结论，可得，所以②，
综合①②，得.
【巩固练习1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.
【详解】若，，则，则，
反之，若，则，
又，所以，即，此时不一定成立，
比如，此时，所以“”是“”的必要不充分条件.
【巩固练习2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明糖水不等式；
(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由作差法证明；
（2）由糖水不等式变形证明．
【详解】（1），
因为，所以，
所以，即．
（2）因为是三角形的三边，所以，
由（1）知，
同理，
所以，
又，
所以
所以原不等式成立．
【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明.
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小；
（2）首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明；
（3）根据条件建立不等式，再作差证明.
【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，
求证：不等式 (其中a，b，m为正实数，且)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
＝.
∵a，b，m为正实数，且，，
∴，即.
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且，
求证： (其中).
证明：，且，
，即，
，
即，
，
即
（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，
求证： (其中，).
证明：，
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
常用不等式的证明方法
1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
4、平方法：对两式先平方，再比较大小．
5、利用平方公式的非负性
【例题1】（23-24高一上·河北保定·月考）设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）证明:∵，
∴.
a，b，c不同时为，则，∴；
（2）.
∵，取等号的条件为，
而，∴等号无法取得，即，
又，∴，∴.
【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】由题意可得，，，，
，，
，．故选：C．
【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明.
【详解】A选项，当时，，此时即，
当时，，此时即，所以A错误；
B选项，当时，，成立，
当时，，，所以B错误；
C选项，当时，取，此时，不满足，
当时，取，此时，不满足，故C错误；
D选项，等价于，
当时，，，此时，
当时，，，此时，D正确
【巩固练习1】证明：已知，且，求证：.
【解析】因为，且，则，
则，则，则，
则，
则，又
则.
命题得证.
【巩固练习2】（24-25高一上·山西·期末）(多选)已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确.
【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确；
对于B，等价于，
∵，∴，故，故B正确；
对于C，当时满足，但，故C不正确；
对于D，
，故D正确.
故选：BD.
【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可.
【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元，
则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为，
所以，即，
所以乙种购物策略比较经济.
【巩固练习4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】应用作差法判断A、B、D，根据不等式的性质判断C.
【详解】A：，又，
所以，则，即，对；
B：，且，而符号不定，
所以符号不定，错；
C：由题设，若，则，错；
D：，则，对.
【巩固练习5】（1）已知，证明：；
（2）若a，b，c为三角形的三边长，则．
【解析】（1），
由，得，而，，，
则，所以．
（2）为的三边长，则有，，，
由（1）知：，，，
将以上不等式左右两边分别相加得：，
所以．
【巩固练习6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解.
（2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果.
【详解】（1）因为， 所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
当时，两个不等式相加乘可得：，即；
当时，两个不等式相加乘可得：，即，
所以．
的取值范围为；
的取值范围为；
的取值范围为.
（2）．
因为，均为正实数，所以．
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，，此时．
综上可得：当时，；
当时，；
当时，．
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）
例题：已知，且，求和的取值范围.
第一步：令，并化简该式
第二步：列方程组，求出m，n的值．
第三步：分别求出的取值范围．
第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围
第五步：将和平方作差即可得出的取值范围
解析：（1）设，则解得
由已知得，则，
即.
（2）因为，所以，即，
所以，则，所以.
【例题1】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，所以，故选：D
【例题2】（高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，，得，即，
，所以，即，故选：D
【例题3】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由题意得，进而求得即可求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，则，
所以.
【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，则，则有，A正确；
对于B，，则，则有，B正确；
对于C，，，则有，C错误；
对于D，，，则有，D正确；
【巩固练习2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】把看成一个整体变量来表示，再利用同向不等式的可加性求解.
【详解】假设，则，解得，
因为，所以；
又因为，所以；
由上两同向不等式相加得：，
整理得：
【巩固练习3】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围.
【详解】由不等式的性质得，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
当且仅当即时，取到最大值.
【巩固练习4】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的范围是 D．的范围是
【答案】ABC
【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对；
由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对；
设，则，解得，
所以，，
因为，由不等式的可加性可得，C对D错.
故选：ABC.
模块三 【课后作业】
（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，且，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】，则,则.
将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】D
【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为.
因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D
（24-25高一上·贵州贵阳·期末）(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】BC
【分析】由已知结合不等式性质检验各选项即可判断．
【详解】解：当，时，A显然错误；
当时，，则，B正确；
若，则，
所以，
所以，C正确；
若，，则，
所以，D错误．
（24-25高一上·广东惠州·期中）已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质，可得结果.
【详解】因为，，
所以，，所以，即，即.
下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】B
【解析】对于A：当时，，若，则，故A错误；
对于B：因为，所以，即，所以，故B正确；
对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误；
对于D：当时，，故D错误.
已知实数a，b，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误；
对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误；
对于C选项，，所以，故C正确；
对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误，故选：
设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】因为，所以.
已知，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；故选：D.
已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
所以，解得，即可得，
因为，，
所以，故选：A．
（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用不等式的性质可求的范围，利用待定系数法可求的范围.
【详解】因为，，故即，
设，
故，所以，故，
又，，
所以，故答案为：.
已知，，则的范围是 .
【答案】
【解析】设，其中、，
则，解得，所以，，
因为，，则，，
由不等式的基本性质可得，即.
（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．
【答案】
【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，，
依题意，即，
所以改造前的窗户面积最大为平方米.
（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）（1），，求证：；
（2）已知，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可；
（2）令，整理后求出，然后利用不等式的性质可求得结果.
【详解】（1），
因为，所以，
又，所以，
即.
（2）令，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
又，所以，
故的取值范围为.
（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解法1 因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证．
解法2 因为且，所以，且，所以，即．
（2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，．
（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1)设，，，比较，的大小；
(2)设，均为正实数，，，比较，的大小；
(3)设，，，比较，的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解；
（2）借助作差法作差后因式分解即可得；
（3）借助作差法比较即可得.
【详解】（1），
，
由，，
故，即有；
（2）
，
由，均为正实数，故，即；
（3）
，
由，故，，，，
即，故.
不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：
(2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则.
【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】（1）糖水变甜了得出不等式，.
证明：.
.，
，.
（2）设的三边长分别为，则有，
由（1）已证不等式可得：，，，
将以上不等式左右两边分别相加得：，
所以，
（高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
【答案】①；
②；
③；
【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系；
②用作差法比较即可；
③用作差法或作商法比较即可.
【详解】解：
①
，
因为，
所以，
即；
.
②
，
.
③
方法一（作差法）
，
因为，所以，
所以，
所以.
..
方法二（作商法）因为，所以，
所以，
所以.
.
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专题2-1 等式性质与不等式性质
TOC \o "1-3" \n \h \z \u
模块一 重难点题型突破
【题型1】用不等式（组）表示不等式关系
知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，．
【例题1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入元不高于元可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量不小于可表示为“”
D．变量不超过可表示为“”
【巩固练习2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【题型2】利用不等式的性质判断命题真假
不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
（1）对称性：
（2）传递性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
运算性质有：
（1）可加法则：
（2）可乘法则：
（3）可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．
【例题1】(多选)下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例题2】已知，则下列一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【巩固练习2】下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【巩固练习3】已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（多选）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】作差法比较两数（式）的大小
作差比较两个实数大小的法则：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
对任意两个实数、
①；②；③．
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．
【例题1】已知，则 .（填“”，“”，或“”）
【例题2】（1）设，试比较与的大小.
已知、、、且，，求证：.
【巩固练习1】比较下列两式大小：
(1)与
(2)与
【巩固练习2】已知，试比较与的大小.
【巩固练习3】比较下列各题中两个代数式值的大小.
(1)与；
(2)与.
【题型4】作商法比较两数（式）的大小
作商法：作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
；②；③．
【例题1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【例题2】已知，，试比较与的大小；
【巩固练习1】设，比较与的大小
【巩固练习2】，则的大小关系为 ．
【巩固练习3】已知，试比较和的大小.
【题型5】其它方法比大小
1、中间量法：也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
2、平方法：对两式先平方，再比较大小．
【例题1】比大小：_____．
【例题2】若，，则a、b的大小关系是 ．
【巩固练习1】比较大小：．（用，或填空）
【巩固练习2】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　）
A．M>N B．MC．M≤N D．M，N大小关系不确定
【巩固练习3】设，，则m n（填入“<”或“>”）
【题型6】不等式性质的实际应用（设计方案）
常见文字语言与符号语言之间的对应关系
文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过
符号语言
【例题1】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．5种
【例题2】火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢.
(1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？
(2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？
【巩固练习1】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）
A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节
C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节
【巩固练习2】火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）
A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节
C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节
【巩固练习3】甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在、、、四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器、的底面积均为，高分别为，，容器，底面积均为，高分别为，（其中）．
(1)写出，，，四个长方体容器的体积、、、；
(2)列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果（先取再取与先取再取视为相同的取法）；
(3)在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器一定可以获胜），并说明此方案必胜的理由．
模块二 中档题突破
【题型7】糖水不等式的证明及应用
糖水不等式是一个基于生活常识的数学不等式，常用于分式放缩。
其核心表述为：若（代表原有糖水浓度，且)（代表加入的糖量），则必有：
含义解释：
（1）左边不等号：在糖水（溶质a，溶液b）中加入纯糖（m）后，新糖水的浓度一定比原来的浓度更甜（更大）.
（2）右边不等号：加入糖后，浓度依然小于1（即仍是糖水，不可能变成纯糖）.
关键点：
前提：原分数是真分数（），且加入的量m是正数.
结论：分子分母加上同一个正数后，分数值变大（更接近1），但仍小于1.
应用：该不等式简洁有力，在证明涉及分式的不等式、比较大小或进行放缩时非常有用，体现了“加糖变甜”的直观思想在数学中的精确表达。
【例题1】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【例题2】已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：．
【巩固练习1】已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【巩固练习2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明糖水不等式；
(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【巩固练习3】下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明.
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【题型8】不等式的证明及不等式判断综合
常用不等式的证明方法
1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．
2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．
4、平方法：对两式先平方，再比较大小．
5、利用平方公式的非负性
【例题1】设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
【例题2】今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【例题3】已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】证明：已知，且，求证：.
【巩固练习2】(多选)已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”）
【巩固练习4】(多选)已知实数a，b，c满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习5】（1）已知，证明：；
若a，b，c为三角形的三边长，则．
【巩固练习6】（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围（待定系数法）
例题：已知，且，求和的取值范围.
第一步：令，并化简该式
第二步：列方程组，求出m，n的值．
第三步：分别求出的取值范围．
第四步：合并第三步的结果，即得的取值范围
第五步：将和平方作差即可得出的取值范围
解析：（1）设，则解得
由已知得，则，
即.
（2）因为，所以，即，
所以，则，所以.
【例题1】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例题3】已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知，，则下列代数式的范围错误的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知则的取值范围为 ．
【巩固练习3】已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【巩固练习4】（多选）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的范围是 D．的范围是
模块三 【课后作业】
已知，且，则的取值范围是 .
将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（ ）
A． B．或
C． D．
(多选)下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
已知，，则的取值范围是 .
下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
已知实数a，b，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
已知，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知实数，满足，，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
已知，，则的范围是 .
“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米．
（1），，求证：；
（2）已知，求的取值范围.
已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1)设，，，比较，的大小；
(2)设，均为正实数，，，比较，的大小；
(3)设，，，比较，的大小．
不等关系是数学中一种最基本的数关系，生活中随处可见.例如.已知克糖水中含有克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式.并证明这个不等式成立：
(2)利用（1）中的结论证明：若为三角形的三边长，则.
从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
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