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浙教版（2024）七上一周一测（二十二）
期末专题训练五 微项目研究问题
1．问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端点与数轴上的点A重合，右端点与数轴上的点B重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点B时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点A时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为8cm．
问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说：”我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦!”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为　 　 岁．
2．根据以下素材，回答问题．
问题背景 吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝2米，BC＝6米．初步设计方案有两种：如图①，点D在线段BC上；如图②，点D在线段BC的延长线上（包括点C）．
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米．项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中．
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米．
任务一 根据图1的设计， 若设AF＝x，则在①中，DE＝　 　 ；（请用含x的代数式表示） 在②中，长方形BFED的周长为 　 　 ．
任务二 根据学校要求，劳动实践基地的长：宽＝2：1，请分别求出不同方案下AF的值．
任务三 在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案：　 　 （填①或②），并求出此时所需的费用．
3．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：
素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？
探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
探索3：若动点P从A出发，始终以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时有一动点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，何时？
4．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边BC上，点E，G在其它三边上，FE和FG为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现∠B′FC′随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把∠BFE记为α，∠CFG记为β．
（1）如图1，当α＝30°，β＝40°时，求∠B′FC′的度数．
（2）如图2，当点F，B′，C′在同一直线上（即∠B′FC′＝0°）时，探究α和β的数量关系，并说明理由．
（3）在∠EFG和∠B′FC′中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求α+β的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）七上一周一测（二十二）
期末专题训练五 微项目研究问题
1．问题背景：数轴是解决数学问题很好的工具，数形结合的方法可以直观解决很多问题．如图（1），将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端点与数轴上的点A重合，右端点与数轴上的点B重合，若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点B时，它的右端点在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点A时，它的左端点在数轴上所对应的数为6，由此可以直观发现这根木棒的长度为8cm．
问题解决：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说：”我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦!”根据对话请你用数轴直观求得奶奶现在的岁数为　60　 岁．
【分析】由题意会发现，将奶奶与丽丽的年龄差看成是木棒的长，丽丽年龄对应数轴上点A，奶奶年龄对应数轴上点B，丽丽出生对应数轴的原点，木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端点移动到点A时，它的左端点在数轴上所对应的数﹣32，木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端点移动到点B时，它的右端点在数轴上所对应的数为106，问题即可解决．
【解答】解：将奶奶与丽丽的年龄差看成是木棒的长，丽丽出生对应数轴的原点，则奶奶与丽丽的年龄差为（106+32）÷3＝46，丽丽年龄为106﹣46﹣46＝14（岁），奶奶年龄为46+14＝60（岁）．
故答案为：60
2．根据以下素材，回答问题．
问题背景 吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线A﹣B﹣C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝2米，BC＝6米．初步设计方案有两种：如图①，点D在线段BC上；如图②，点D在线段BC的延长线上（包括点C）．
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米．项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中．
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米．
任务一 根据图1的设计， 若设AF＝x，则在①中，DE＝x+2　 ；（请用含x的代数式表示） 在②中，长方形BFED的周长为 　18　 ．
任务二 根据学校要求，劳动实践基地的长：宽＝2：1，请分别求出不同方案下AF的值．
任务三 在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案：　①　 （填①或②），并求出此时所需的费用．
【分析】任务一：根据DE＝BF，AB＝2，BC＝6即可求解；
任务二：根据图形，分别表示出DE，EF的长，由长：宽＝2：1，列出方程分别求解即可；
任务三：根据任务二知符合要求的方案为：①；代入数据计算即可．
【解答】解：任务一：∵DE＝BF，AB＝2，BC＝6，
∴DE＝AB+AF＝2+x；
长方形BFED的周长为：AB+BC+10＝18；
故答案为：x+2，18；
任务二：如图①，DE＝x+2，EF＝10﹣（x+2）﹣x＝8﹣2x，
由题意得：x+2＝2（8﹣2x），
解得：，
即；
如图②，DE＝x+2，EF＝7﹣x，
由题意得：7﹣x＝2（x+2），
解得：x＝1，
即AF＝1；
任务三：由任务二知符合要求的方案为：①；
由（2）得，
∴，
∴，
∴面积为（平方米），
∴费用为（元）．
3．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：
素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？
探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
探索3：若动点P从A出发，始终以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时有一动点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，何时？
【分析】探索1：根据动点运动的速度和路程即可求解；
探索2：由探索1可得P在BC段运动时间为：（t﹣16.5）s，进而得到BP，即可求解；
探索3：设t秒后，，用含t的式子表示，解方程即可．
【解答】解：探索1：由题意知，OA＝9，OB＝12，BC＝24﹣12＝12，
P在AO段的速度为2个单位长度/s，在OB段速度为1个单位长度/s，当运动到点B与点C之间的速度为4个单位长度/s，
∴P从点A运动至点B的时间为：，
∴动点P从点A运动至点B需要16.5s；
探索2：由探索1可得：P在BC段运动时间为：（t﹣16.5）s，
∴BP＝4（t﹣16.5）＝4t﹣66，
∴P表示的数为：12+（4t﹣66）＝4t﹣54；
探索3：若动点P从A出发，始终以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时有一动点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，
设t秒后，，
此时点P表示的数为（﹣9+2t），点Q表示的数为（36﹣t），
则有|（﹣9+2t）﹣（36﹣t）|＝5，
∴|﹣9+2t﹣36+t|＝5，
∴|3t﹣45|＝5，
∴3t﹣45＝±5，
解得或，
∴或时，．
4．东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边BC上，点E，G在其它三边上，FE和FG为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现∠B′FC′随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把∠BFE记为α，∠CFG记为β．
（1）如图1，当α＝30°，β＝40°时，求∠B′FC′的度数．
（2）如图2，当点F，B′，C′在同一直线上（即∠B′FC′＝0°）时，探究α和β的数量关系，并说明理由．
（3）在∠EFG和∠B′FC′中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求α+β的度数．
【分析】（1）根据折叠的性质解题即可；
（2）根据折叠的性质计算即可解题；
（3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题．
【解答】解：（1）由折叠可得：∠B′FB＝2∠BFE＝2α＝60°，∠C′FC＝2∠CFG＝2β＝80°，
∴∠B′FC′＝180°﹣∠B′FB﹣∠CFC′＝180°﹣60°﹣80°＝40°；
（2）α+β＝90°，理由如下：
由折叠可得：∠B′FB＝2∠BFE＝2α，∠C′FC＝2∠CFG＝2β，
∴∠B′FC′＝180°﹣∠B′FB﹣∠CFC′＝180°﹣2α﹣2β＝0°，
∴α+β＝90°；
（3）如图1所示，由折叠可得：∠B′FB＝2∠BFE＝2α，∠C′FC＝2∠CFG＝2β，
∴∠B′FC′＝180°﹣∠B′FB﹣∠CFC′＝180°﹣2α﹣2β，
∠EFG＝180°﹣∠BFE﹣∠CFG＝180°﹣α﹣β，
当∠EFG＝3∠B′FC′时，180°﹣α﹣β＝3（180°﹣2α﹣2β），
解得α+β＝72°；
如图3，∠B′FC′＝∠B′FB+∠CFC′﹣180°＝2α+2β﹣180°，
当∠EFG＝3∠B′FC′时，180°﹣α﹣β＝3（2α+2β﹣180°），
解得：；
如图4所示，∠B′FC′＝∠B′FB+∠CFC′﹣180°＝2α+2β﹣180°，
当∠B′FC′＝3∠EFG时，3（180°﹣α﹣β）＝2α+2β﹣180°，
解得：α+β＝144°；
综上所述，在∠EFG和∠B′FC′中，当其中一个角是另一个角的3倍时，α+β的度数为72°或或144°．

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