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河北石家庄市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试
数学学科试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的最小正周期为（ ）
A．4π B．2π C．π D．
6．如图，在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
8．已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角△ABC中，不等式恒成立
C．若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是
D．若，则
11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化．
B．无论点N在何处，始终有平面成立．
C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．
D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形．
三、填空题
12．给出下列命题：
①已知集合或，则集合A的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
④设，则“”是“”的必要不充分条件.
其中所有正确命题的序号是______.
13．中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿宇廊檐．攒尖是中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体，如图．已知图中正四棱台上底、下底的长度分别为米，米，侧棱长为5米，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的体积为______立方米．
14．在中，角所对的边分别是，已知，.若存在最大值，则正数的取值范围是__________.
四、解答题
15．（1）计算：.
（2）已知.求的值.
16．已知，，与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17．已知是关于的方程的一个根，其中，．
(1)求的值；
(2)设复数满足是纯虚数，求实数的值．
18．已知的内角的对边分别为，且，且的面积为．
(1)求；
(2)若，求的值．
19．如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，.
(1)若平面与平面相交于直线，求证：；
(2)求与所成的角；
(3)求二面角的余弦值．
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．A
5．C
6．D
7．A
8．C
9．ACD
10．ABD
11．BCD
12．③④
13．70
14．
15．（1）
.
（2）由，
原式
16．（1）因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
（3）向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
17．（1）解：是关于的方程的一个根，
是方程的另外一个根，
，解得，
；
（2）解：，
又是纯虚数，
，
解得．
18．（1）解：因为，由余弦定理，可得，
又因为的面积为，可得，可得，
两式相除，可得，
因为，所以.
（2）解：由（1）可得，可得，
由余弦定理得，
即，可得，所以.
19．（1）因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，故.
（2）过点在平面内作，垂足为点，如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
，故平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，故与所成的角为或其补角，
又因为，则为等腰直角三角形，则，
即与所成的角为.
（3）取的中点，连接，
因为，，，故，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
由平面，平面，则，
而，平面，于是平面，
又平面，则，过作于，连接，
显然，、平面，因此平面，
而平面，则，即是二面角的平面角，
由，，得，
则，，，
所以二面角的余弦值是.

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