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第二十六章 二次函数
26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课时2
1.会画二次函数y＝a(x-h)2 的图象.
2.掌握二次函数y＝a(x-h)2 的性质并会应用.
3.理解y＝ax2与y＝a(x-h)2 之间的联系.
再来讨论当h≠0，k=0时，二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质.
探究
(1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点.
先分别列表：
x … 4 3 2 1 0 1 2 …
y=﹣(x+1)2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
x … 2 1 0 1 2 3 4 …
y=﹣(x-1)2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
然后描点画图，得到 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象（如图）.
y=﹣(x+1)2
y=﹣(x-1)2
探究
(1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 的图象，并分别指出它的开口方向、对称轴和顶点.
y=﹣(x+1)2
y=﹣(x-1)2
可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点 (-1,0) 且与 轴垂直的直线，把它记作 ，顶点是(-1,0)；
抛物线 的开口向下，对称轴是x=1，顶点是(1，0).
探究
(2) 抛物线y=﹣(x+1)2，y=﹣(x-1)2 与抛物线 y=﹣x2有什么关系？
y=﹣(x+1)2
y=﹣(x-1)2
可以发现，把抛物线 （图中的虚线图形）向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；
把抛物线 向右平移 1 个单位长度，就得到抛物线 .
也可以利用信息技术工具画函数 y=a(x-h)2 的图象.
改变h的值，可以发现，随着h的变化，二次函数 y=a(x-h)2 的图象向左或向右平移，即把抛物线 y=ax2 向左 (h<0) 或向右 (h>0) 平移 |h| 个单位长度，就可以得到抛物线y=a(x-h)2 .
思考：你能归纳出二次函数 y=a(x-h)2 的图象特征和性质吗？
抛物线 y=a(x-h)2
抛物线y=a
沿 x 轴向左平移|h|个单位长度
抛物线 y=a(x-h)2
抛物线y=a
沿 x 轴向右平移 h 个单位长度
（1）当h>0时：
（2）当h<0时：
简记为“左加右减自变量”
函数 y=a(x-h)2 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 xh 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小.
最值 当 x=h 时，y最小值 =0 当 x=h 时，y最大值 =0
二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质
在同一平面直角坐标系中，画出函数 与 的图象，并根据图象回答下列问题：
例1
x … -2 -1 0 1 2 …
… -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
解：分别列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y= … -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
描点连线，得函教 y= 与 y=的图象，如图所示.
(1)抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 怎样平移得到？
(2)抛物线 y=﹣(x-2)2 的开口向______，对称轴是_________，顶点坐标是______，除顶点外，抛物线上的点都在 轴的______方.
(3)对于函数 y=﹣(x-2)2，当 x> ____ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x= ____ 时，y 有最大值，最大值是______.
解：(1)抛物线 y=﹣(x-2)2 可以由抛物线 y=﹣ 向右平移2个单位得到.
下
直线x=2
(2,0)
下
2
2
0
1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
y=x2 ，y=(x+2)2 ，y=(x-2)2
指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况.
解：函数图象如图所示.
抛物线 向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y，
抛物线 向右平移2个单位长度，可以得到抛物线
抛物线 开口方向 对称轴 顶点 y 随 x 的变化情况 y=x2
y=(x+2)2
y=(x-2)2
向上
y 轴
原点
当 x<0 时，
y 随 x 的增大而减小
当 x>0 时，
y 随 x 的增大而增大
当 x> 2 时，
y 随 x 的增大而增大
当 x< 2 时，
y 随 x 的增大而减小
当 x>2 时，
y 随 x 的增大而增大
当 x<2 时，
y 随 x 的增大而减小
向上
x= 2
( 2,0)
向上
x=2
( 2,0)
2. 对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2 ( )
A.开口方向相同 B.对称轴相同
C.顶点相同 D.都有最高点
A
3. 抛物线y= x2向左平移3个单位长度所得抛物线是( )
A
A. y= (x+3)2 B. y= (x-3)2
C. y= ﹣ (x+3)2 D. y= ﹣ (x-3)2
4. 把抛物线 y=-x2 沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
y=-(x+3)2 或 y=-(x-3)2
增减性结合开口方向和对称轴才能确定
二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
图象
性质
与抛物线y=ax2的关系
1.开口方向由a的符号决定；
2.h决定对称轴的位置；
3.顶点坐标 (h，0)
平移规律：
左加右减自变量

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