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第二十六章 二次函数
26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质
1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念.
2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的解析式.
3.通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征，经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.
2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤？
图象法、列表法、解析法
①列表
②描点
③连线
回顾 1.函数有几种表示方式？图象法有什么特点？
图象法更直观
问题 用描点法画出 y=x2 的图象.
1.列表.
x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 …
y=x2 … …
9
4
1
1
0
4
9
2.描点.
3.连线.
y=x2
思考：这个图象像什么形状？
可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上.
实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.
我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c .
y=x2
y=x2
在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 ( m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称.
思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？
顶点
对称轴
每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
从二次函数y=x2的图象可以看出：
在对称轴的_____，抛物线从左到右下降；
在对称轴的_____，抛物线从左到右上升.
也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____；
当x＞0时，y随x的增大而_____.
y=x2
思考：你还能从图象中看出什么？
左侧
右侧
减小
增大
用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤
(1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格；
(2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点；
(3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸.
说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确.
在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2，y=2x2 的图象.
例1
x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …
y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
解：分别列表，再画出它们的图象.
y=x2
y=2x2
思考：函数 的图象与函数 的图象（图中的虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？
共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点
是函数图象的最低点.
不同点：开口大小不同，函数 的图象开口最大，函数 的图象开口最小.
y=x2
y=2x2
思考：利用信息技术工具画二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象，改变 的值，函数 y=ax2 的图象也发生了改变. 随着 a 的变化，二次函数 y=ax2 的图象有什么变化？
a的值越大，图象的开口越小.
一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大.
y=x2
y=2x2
探究 回顾上面研究二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数 y=ax2 (a<0) 的图象和性质吗？
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=﹣x2，
y=﹣x2 ，y=﹣2x2的图象.
y=﹣x2
y=﹣x2
y=﹣2x2
共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最高点.
不同点：开口大小不同，函数 y=的图象开口最大，函数y=﹣2 的图象开口最小.
y=﹣x2
y=﹣x2
y=﹣2x2
思考：观察这些抛物线有什么共同点和不同点？
一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小.
当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小.
y=﹣x2
y=﹣x2
y=﹣2x2
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小.
最值 当x=0时，y最小值 =0. 当x=0时，y最大值 =0.
补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点.
二次函数 y=ax2 的图象和性质
已知抛物线 ，回答下列问题：
抛物线 开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
当 时， 随 的增大而______，当 时， 随 的增大而______；
对于任意的 值，总有函数值 ___ 0，当 ___ 时， 有最_____值，是______.
例2
下
减小
y轴
(0,0)
增大
≤
0
大
0
1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
(1)y=3x2; (2)y=-3x2.
解：函数图象如图所示.
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况.
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
抛物线 开口方向 对称轴 顶点 当 x<0 时（y 随 x 的变化） 当 x>0 时（y 随 x 的变化）
y=4x2 向上 y 轴 原点 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大
解：
y= 4x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
y= x2 向上 y 轴 原点 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大
y= x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
3. 已知y＝(m＋1)是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.
解：依题意，得
由②，得m1=-2，m2=1；
由①，得m＞-1.
∴m＝1.
此时，二次函数的解析式为y＝2x2.
二次函数y=ax2的图象和性质
画法
性质
描点法
抛物线
图象
轴对称图形
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
最值

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