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20.2 二次根式的乘除
20.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
　　1.理解二次根式的乘法法则:·＝(a≥0，b≥0).（重点）
2.掌握二次根式的乘法运算，并能应用二次根式的乘法法则，
进行二次根式的乘法计算.（难点）
新 课 导 入
下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作的世界名画，请根据不同的已知条件，分别表示出它的面积.
(1)当长为3m，宽为2n,则面积S = ;
(2)当长为 ,宽为 时，则S = .
6mn
你知道这是什么运算？又如何进行计算呢？
1.计算下列各式:
10
10
12
12
观察计算结果,你发现什么规律？
二次根式的乘法法则
（积的乘方法则）
（算术平方根的意义）
另一方面，≥0.
根据算术平方根的意义，可得是的算术平方根，即.
例1 计算：
(1) (2)
解：
试回顾如何计算3a2·2a3= .
还记得单项式乘以单项式的法则吗？
想一想： 如何计算呢？
6a5
解：
二次根式的乘法扩充法则
第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；
第二步：根式和根式按公式相乘.
利用它可以进行二次根式的化简.
例2 计算:
（1）2×3；
解：（1）原式＝(2×3)(×)＝6
.
(2)
（2）原式＝6×(-2)×
＝-12×
＝-12×
1.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.填空：
D
2
3.计算：
（2）由题意可得，a＞0，b＞0.
4.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.
（1）已知a=,b= ,求S；
解：由题意得：
S = a·b= · = = .
（2）已知a=,b=3，求S.
解：由题意得：
S =a·b= 3= =240.
法则：
二次根式的乘法法则
扩充法则：
20.2 二次根式的乘除
第2课时 积的算术平方根
1. 利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；(重点)
2. 会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点)
复 习 导 入
计算：
（1）· （≥0）； （2）3·2.
解：（1）∵a≥0，
∴原式= =︱4a︱=4a.
（2）原式= 6= 30.
填空：
＝
＝
＝
思考　你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
反过来：
（≥0，b≥0）
（≥0，b≥0）
一般的：
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
例1 化简 ，使被开方数不含完全平方的因数.
解： =
= ×
=
这里，被开方数12=22×3，含有完全平方的因数22，通常可根据积的算数平方根的性质，并利用=a(a≥0)，将这个因数“开方”出来.
例2 判断下列计算是否正确，若不正确，请予以改正．
1.（中考·海南）计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.下列各等式成立的是（ ）
D
2.等式成立的条件是（ ）
A. x ≥ 1 B. x ≥ –1
C. –1 ≤ x ≤ 1 D. x ≥ 1 或 x ≤ –1
A
D
4.计算：
解：
5.设正方形的面积为S，边长为a.
(1)已知S=50，求a；
解：由题意得：
a= = = = ×= 5.
(2)已知S=242，求a.
解：由题意得：
a= = = = ×= 11 .
积的算术平方根
（a≥0，b≥0）
20.2 二次根式乘除
第3课时 二次根式的除法
1.掌握二次根式除法法则和商的算术平方根的性质.（重点）
2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点）
3.理解最简二次根式的概念.（重点）
复 习 导 入

二次根式的乘法法则：
积的算术平方根：
=（a≥0，b≥0）
= （a≥0，b≥0）
1.计算下列各式:
观察计算结果,你发现什么规律？(请用式子表示这一规律).
（≥0，b＞0）
一般地，有
分母不能为0.
这里为什么要求 a ≥ 0，b > 0？
例1 计算
解:
小提醒：
运算结果要最简.
小提醒：
除式是分数（或分式）的先要转化为乘法再进行运算.
请计算：= .
二次根式的乘法扩充法则:
=
二次根式的除法扩充法则:
= (m )
想一想：如何计算
解：原式
（
（2）原式=
=
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.
小提醒：
记住成立的条件！
例3 化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含字母.
二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来。
通常将这种化简过程称为分母有理化。
解：.
化简/计算/带根号的分式/分母有理化
结果满足条件
最简二次根式
被开方数中不含分母
根号中无分母
分母中无根号
被开方数中不含
开的尽方的因数或因式
根号中的数无法再拆下去
例4 化简：（1） ；（2）（要求分母不带根号）
解：（1）
寻找分母的有理化因式，应找最简单的有理化因式，也可灵活运用我们学过的性质和法则，简化、优化解答过程.
（2）.
2.若使等式 成立，则实数k的取值范围是（ ）
A. k≥1 B.k≥2 C.1＜k≤2 D.1≤k≤2
B
1.计算（ ）
A. B.5 C. D.
A
3.若a＞0，把化为最简二次根式为 .
4.已知，则n的取值范围是 .
5.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 .
≤n＜0
法则
二次根式除法
扩充法则：
商的算术平方根：
最简二次根式

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