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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共24分）
1．（本题3分）如图，在中， 为斜边上的中线，点是上方一点，连接 、、，且 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．7
2．（本题3分）如图，菱形的对角线、相交于O点，E、F分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为（ ）
A．5 B． C． D．20
3．（本题3分）如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．（本题3分）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．正方形的对称轴有四条
C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形
D．菱形的对角线相等且互相平分
5．（本题3分）如图，在菱形中，，，对角线相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点，若，则的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
6．（本题3分）如图，在六边形中，， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题3分）如图，在正方形中，、相交于点，、分别为、上的两点，，、分别交、于、两点，连、．以下结论：①；②；③；④，其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
8．（本题3分）如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．12
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知菱形的两条对角线、的长分别为和，则菱形的面积为______．
10．（本题3分）在矩形中，若，则________．
11．（本题3分）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______．
12．（本题3分）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点 ，，，于点 ，则_________．
13．（本题3分）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，四边形是一个矩形，延长 至点，使得，延长至点，使得，连接 ， ， ，， ．
(1)求证：四边形是一个菱形；(2)若，，求菱形的面积．
15．（本题7分）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
16．（本题8分）如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
17．（本题9分）如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求证：．
18．（本题9分）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程．
已知：；
求作：菱形（点在上，点在上，点在上）；
作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、．
所以四边形为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：平分， ，
是线段的垂直平分线，
，，（_____）（填推理依据）
，，
，，
，，
∴四边形为平行四边形．（______）（填推理依据）
，
为菱形．（_____）（填推理依据）
19．（本题10分）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长______，面积为______．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为24，，则完美矩形的周长为______
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
20．（本题12分）为探究平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，现将直角三角板锐角顶点置于原点处，直角边与轴正半轴重合，将边长为的正方形的顶点与原点重合，使正方形的一边紧贴三角板的斜边，当沿方向匀速平移该正方形时，请完成以下研究．
(1)【初探】如图1，已知点，设平移过程中，点横坐标增加，则纵坐标增加 ，平移的距离为 ，点平移后的坐标为 （用含的代数式表示）．
(2)【再探】如图2，已知点，平移正方形，直至点与点重合，设平移过程中，点纵坐标增加，若的长度不小于，不超过，求的取值范围．
(3)【拓展】如图3，已知点，，平移正方形，当正方形某一顶点与、围成以为底边的等腰三角形时，求平移距离．（请直接写出结果）
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第一章：特殊平行四边形
一.选择题：（每小题3分共24分）
1．（本题3分）如图，在中， 为斜边上的中线，点是上方一点，连接 、、，且 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．7
解：在中， 为斜边 上的中线， ，
，
，
，
在 中，．
2．（本题3分）如图，菱形的对角线、相交于O点，E、F分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为（ ）
A．5 B． C． D．20
解：、F分别是、边上的中点，
，
四边形是菱形
，，，，
，
菱形的周长为．
3．（本题3分）如图，在中，，，，则下列结论不正确的是（ ）

A． B． C． D．
解：∵，，，
∴，，，故A正确；
∴，故C正确；
又∵，∴，故B正确；
∴，
∴，，∴，∴，故D错误．
4．（本题3分）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．正方形的对称轴有四条
C．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形
D．菱形的对角线相等且互相平分
解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意；
∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意；
∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意；
∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意．
5．（本题3分）如图，在菱形中，，，对角线相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点，若，则的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
解：菱形中，，，
，，，，
，，
，
，
将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，
，，
，，
．
6．（本题3分）如图，在六边形中，， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
解：四边形是矩形， ，
，，，
和均为等边三角形
，
∵的底边为定值，设点到直线的距离为 ，
则，分段讨论如下：
当点在上运动时 ( )： 点从运动到，在起点 ，
是等边三角形， ，
∴
∴
过点作交的延长线于点，
点到直线的距离为的一半，即
在终点，
而点到直线的距离为 ，
此过程中随的增大而增大，图象为上升线段；
当点在上运动时( )：
，
点到直线的距离不变，恒为
，图象为水平线段；
当点 在上运动时 ( )：点从运动到
在起点时， ，
，
在终点时，同理可得
此过程中随的增大而减小，图象为下降线段
综上所述，函数图象中值先从2上升到4，再保持4不变，最后下降到2．
7．（本题3分）如图，在正方形中，、相交于点，、分别为、上的两点，，、分别交、于、两点，连、．以下结论：①；②；③；④，其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
解：①四边形是正方形，
，，
在和中，，，，
，
，
故①正确；
②由①知：，
，
，
，故②正确；
③四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，故③不正确；
④四边形是正方形，
，，
在和中，，，，
，，
，故④正确．
8．（本题3分）如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．12
解：如图，连接，
根据矩形性质可知：，
，
，
，
故选A．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）已知菱形的两条对角线、的长分别为和，则菱形的面积为______．
解：菱形的两条对角线，的长分别为和，
．
10．（本题3分）在矩形中，若，则________．
解：∵四边形是矩形，为矩形的两条对角线，
∴，
∵，
∴.
11．（本题3分）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______．
解：由题意可得，正方形的周长为，
根据正方形周长公式，正方形的边长为，
根据正方形面积公式，得 ，
因为表示绳子长度，
所以，
y与x的函数解析式为：．
12．（本题3分）如图，四边形是菱形，对角线、相交于点 ，，，于点 ，则_________．
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴在中，．
13．（本题3分）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________．
解：设，
连接，，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴. ，，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
由折叠的性质得：，
∴，
即，
解得：，即．
故答案为：2．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，四边形是一个矩形，延长 至点，使得，延长至点，使得，连接 ， ， ，， ．
(1)求证：四边形是一个菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
(1)证明：∵，，矩形中，
即四边形的对角线互相垂直平分，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴设，，
由勾股定理得，
∴，
解得，
菱形的面积为．
15．（本题7分）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
(1)证明∶，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，
，
，，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
16．（本题8分）如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
(1)证明：四边形是正方形，
，，
，
．
（2）四边形是正方形，
，，
，，
设，则，
在中，，
，
，（舍去）
．
17．（本题9分）如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求证：．
(1)证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴；
(2)证明：∵四边形是菱形，
，
，
，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即．
18．（本题9分）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程．
已知：；
求作：菱形（点在上，点在上，点在上）；
作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、．
所以四边形为所求的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：平分， ，
是线段的垂直平分线，
，，（_____）（填推理依据）
，，
，，
，，
∴四边形为平行四边形．（______）（填推理依据）
，
为菱形．（_____）（填推理依据）
解(1)
(2)线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形
19．（本题10分）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长______，面积为______．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为24，，则完美矩形的周长为______
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
（1）解：由折叠可知，，，，
∴，
∵，将纸片按所示折叠成完美矩形，
∴完美矩形的面积；
（2）解：由折叠可得：，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴完美矩形的周长；
（3）解：连接，如图所示：
∵平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是完美矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴完美矩形的周长．
20．（本题12分）为探究平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，现将直角三角板锐角顶点置于原点处，直角边与轴正半轴重合，将边长为的正方形的顶点与原点重合，使正方形的一边紧贴三角板的斜边，当沿方向匀速平移该正方形时，请完成以下研究．
(1)【初探】如图1，已知点，设平移过程中，点横坐标增加，则纵坐标增加 ，平移的距离为 ，点平移后的坐标为 （用含的代数式表示）．
(2)【再探】如图2，已知点，平移正方形，直至点与点重合，设平移过程中，点纵坐标增加，若的长度不小于，不超过，求的取值范围．
(3)【拓展】如图3，已知点，，平移正方形，当正方形某一顶点与、围成以为底边的等腰三角形时，求平移距离．（请直接写出结果）
解（1）∵点在直线上，点的坐标为，点的坐标为，
设，带入点、点得
，
解得，
∴
当时，
，
∴当点横坐标增加时，则纵坐标增加；
如图，过点作，
由题意可知：，
∵，，
∴，
∴，
当点横坐标增加时，
设，
∵在含有的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，
∴，
∴平移的距离为；
∵点横坐标增加，纵坐标增加，
∴点平移后的坐标为．
故答案为：；；．
（2）∵的长度不小于，不超过，
∴，
由题意可知：，
∴，
∴，
当点到达最高点（点）时，
，
∴，
∵点且点纵坐标增加，
∴点变化后的纵坐标：，
∴，
∴．
（3）当正方形某一顶点与、围成以为底边的等腰三角形时，
∵是等腰三角形的底边，
∴三角形的顶点在边的中垂线上，
由图，过点作，
∵点，
∴，
在中，
，
∴，
根据图象得：点D与点O重合，四边形为正方形，点F在y轴上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当点为顶点时：
∵，
∴纵坐标竖直向上移动了：，即，
过点J作，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即平移的距离为3；
②当点为顶点时：
竖直向上平移的距离为
同理平移距离为；
③当点为顶点时：竖直向上平移的距离为，
同理可得，平移距离为，
综上可得：平移距离为1或3或5．
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