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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.1菱形的性质与判定
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（ ）
A． B． C． D．
解：记与相交于点，
四边形是菱形，，，
，，
，
菱形的面积，
，
解得．
2．（本题3分）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
解：如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴、都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，，
∴，
∴．
3．（本题3分）如图，社区要改造一个菱形广场，业主委员会要求绿化面积不低于总面积的，承建商给出如下设计方案(阴影部分为绿化区域)，请你用所学知识判断绿化面积在广场总面积中的占比是（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（本题3分）如图，四边形的对角线、交于点，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形的对角线、交于点，且互相平分，
∴四边形是平行四边形，
添加：，由邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形为菱形，故A选项不符合题意；
添加：，不能证明四边形为菱形，故B选项符合题意；
添加：，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到四边形为菱形，故C选项不符合题意；
添加：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形为菱形，故D选项不符合题意．
5．（本题3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线相等且一组对角被对角线平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分且一组对角被对角线平分的四边形是菱形
D．一组邻边相等且一组对角被对角线平分的四边形是菱形
解：A选项，对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，无法判定为菱形，故A错误；
B选项，对角线相等且一组对角被对角线平分的四边形，不能推出它是邻边相等的平行四边形，无法判定为菱形，故B错误；
C选项，∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴该四边形是平行四边形，
∵一组对角被对角线平分，结合平行四边形对边平行的性质，可推出邻边相等，
∴邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确；
D选项，一组邻边相等且一组对角被对角线平分的四边形，不一定是平行四边形，无法判定为菱形，故D错误．
6．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
7．（本题3分）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，G是的中点，连接交对角线于点H，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
解：连接交于点O，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵G是的中点，
∴是的中位线．
∴，．
∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∵在菱形中，，，平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
8．（本题3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解：∵ 选项A中，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，故A错误；
∵ 选项B中，等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，故B错误；
∵ 选项C中，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C错误；
∵ 选项D中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，命题正确.
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，在菱形中，，，那么对角线的长为___________．
解：如图，连接，交于点，
在菱形中，，，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
10．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为_______．
解：四边形是菱形，
，
点 是边 的中点，
是的中位线，
．
11．（本题3分）如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________．

解：四边形是菱形，
在中，
由勾股定理得
是线段的垂直平分线
的周长为： ．
12．（本题3分）如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________．
解：连接，，
∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当共线，即时，取得最小值，最小值为的长，
∵菱形的周长为20，
∴，
∵菱形的面积为24，
∴，
∴，即的最小值为．
13．（本题3分）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________．
解：连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示，
，
∵菱形 的边长为，，
∴，， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴，
∴，
∴菱形 的面积，
∵ ，
∴，
由平移的性质得：，，，
∴四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
∴重叠部分的面积为：，
∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为 ．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的度数．
(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
15．（本题7分）在中，点、是边和的中点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，求证：四边形是菱形．
(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形；
(2)证明：连接，
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
16．（本题8分）如图，中，为的中点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，交射线于点，连接、．求证：四边形为菱形．
(1)解：
(2)证明：∵，
∴，
又∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
由（1）知，
∴平行四边形为菱形．
解（1）按照尺规作线段的垂线的方法完成即可；
（2）先利用证明，从而得，即可得四边形为平行四边形，再由对角线垂直即可得四边形为菱形．
17．（本题8分）如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明．
(1)证明：∵是中点，
∴，
∵，
∴，，
∴．
(2)
（2）解：，理由如下：
∵
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18．（本题9分）如图，在中，是的平分线，，交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，如果，求的长．
(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点C作交的延长线于点G，

∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
19．（本题11分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：将一副全等的等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是______．
②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______；
(2)迁移探究
小航将一副全等的等腰直角三角板换成一副全等的含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为8 cm，边长为16 cm，过程如下：
将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中．四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中：当为直角三角形时，请直接写出的长为______．
（1）解：①∵，都是等腰直角三角形，
∴，，∴四边形是正方形；
②根据平移的性质可得，如图所示，连接，，
∵，都是等腰直角三角形，
，，
，
∵平移后得到，
，，
∴四边形是平行四边形．
(2)四边形可以是菱形，理由如下：
如图所示，连接，，
中，，，，
，，
由平移的性质可得，，，
∴四边形为平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：①如图，当时，
中，，，，
，
由勾股定理可得，，
，
在中，，，，
，
由勾股定理可得，，
．
②如图，当时，点与点重合，
此时．
综上，的长度为或．
20．（本题12分）如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿折叠得，射线交边于点．
(1)如图1，求的度数．
(2)求证：．
(3)如图2，取边的中点，连结，，当时，求的值．
（1）解：∵四边形是菱形，
，
又，
，
∵将沿折叠得，
，
．
(2)证明：如图1，过作交于点．
∵四边形是菱形，
，，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
∵将沿折叠得，
，，
又，
，
，
，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，，
．
（3）解：如图2，延长，交于点，作于点．
设，．
由（2）得．
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
，
根据折叠可得，
∴，
，
∴，
根据（2）可得，
∴，
∴，
∴，
，
，
根据折叠可得，
根据菱形的性质可得，
，
由（1）得，
，，
，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
．
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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§1.1菱形的性质与判定
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
3．（本题3分）如图，社区要改造一个菱形广场，业主委员会要求绿化面积不低于总面积的，承建商给出如下设计方案(阴影部分为绿化区域)，请你用所学知识判断绿化面积在广场总面积中的占比是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，四边形的对角线、交于点，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线相等且一组对角被对角线平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分且一组对角被对角线平分的四边形是菱形
D．一组邻边相等且一组对角被对角线平分的四边形是菱形
6．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，G是的中点，连接交对角线于点H，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（本题3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）如图，在菱形中，，，那么对角线的长为___________．
10．（本题3分）如图，菱形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若，则的长为_______．
11．（本题3分）如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________．

12．（本题3分）如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________．
13．（本题3分）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分．
(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的度数．
15．（本题7分）在中，点、是边和的中点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，求证：四边形是菱形．
16．（本题8分）如图，中，为的中点．
(1)尺规作图：过点作的垂线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，交射线于点，连接、．求证：四边形为菱形．
17．（本题8分）如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明．
18．（本题9分）如图，在中，是的平分线，，交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，如果，求的长．
19．（本题11分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：将一副全等的等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
根据以上操作，填空：
①图1中四边形的形状是______．
②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______；
(2)迁移探究
小航将一副全等的等腰直角三角板换成一副全等的含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为8 cm，边长为16 cm，过程如下：
将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中．四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长．
(3)拓展应用
在（2）的探究过程中：当为直角三角形时，请直接写出的长为______．
20．（本题12分）如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿折叠得，射线交边于点．
(1)如图1，求的度数．
(2)求证：．
(3)如图2，取边的中点，连结，，当时，求的值．
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